Закон збереження кількості руху та рівняння руху. Рівняння для швидкості (збереження кількості руху) виведемо спочатку для ідеальної рідини (без в'язкості). Закон збереження головного моменту кількостей руху Імпульс закон збереження кількості

Подивимося тепер, що виходить у разі великої кількості частинок, тобто коли тіло складається з безлічі частинок з безліччю сил, що діють між ними та ззовні. Зрозуміло, ми вже знаємо, що момент сили, що діє на будь-яку частину (т. е. добуток сили, що діє на i-ю частинку, на її плече), дорівнює швидкості зміни моменту кількості руху цієї частки, а момент кількості руху i-ї частинки у свою чергу дорівнює добутку імпульсу частки на його плече. Припустимо тепер, що ми склали моменти сил i всіх частинок і назвали це повним моментом сил . Ця величина повинна дорівнювати швидкості зміни суми моментів кількості руху всіх частинок L i . Цю суму можна прийняти визначення нової величини, яку ми назвемо повним моментом кількості руху L . Точно так, як імпульс тіла дорівнює сумі імпульсів складових його частинок, момент кількості руху тіла теж дорівнює сумі моментів складових його частинок. Таким чином, швидкість зміни повного моменту кількості руху L дорівнює повному моменту сил

З незвички може здатися, що повний момент сил - дуже складна штука. Адже треба враховувати всі внутрішні та зовнішні сили. Однак якщо ми згадаємо, що за законом Ньютона сили дії та протидії не тільки рівні, а й (що особливо важливо!) діють по одній і тій же прямій у протилежних напрямках (неважливо, чи говорив про це сам Ньютон чи ні, неявно він мав на увазі це), то два моменти внутрішніх сил між двома взаємодіючими частинками повинні дорівнювати один одному і спрямовані протилежно, оскільки для будь-якої осі плечі їх будуть однакові. Тому всі внутрішні моменти сил взаємно скорочуються і виходить чудова теорема: швидкість зміни моменту кількості руху щодо будь-якої осі дорівнює моменту зовнішніх сил щодо цієї осі!

Отже, ми отримали до рук потужну теорему про рух великого колективу частинок, що дозволяє вивчати загальні властивості руху, не знаючи деталей його внутрішнього механізму. Ця теорема вірна для будь-якого набору частинок, незалежно від того, утворюють вони тверде тіло чи ні.
Особливо важливим окремим випадком цієї теореми є закон збереження моменту кількості руху, який говорить: якщо систему частинок не діють ніякі зовнішні моменти сил, її момент кількості руху залишається постійним.
Розглянемо один дуже важливий окремий випадокнабору частинок, коли вони утворюють тверде тіло, тобто об'єкт, який завжди має певну форму та геометричний розмір, і може тільки крутитися навколо якоїсь осі. Будь-яка частина такого об'єкта у будь-який момент часу розташована

однаково щодо інших його частин. Спробуємо знайти повний момент кількості руху твердого тіла. Якщо маса i-йчастинки його дорівнює m i , а положення її (x i , y i), то завдання зводиться до визначення моменту кількості руху цієї частки, оскільки повний момент кількості руху дорівнює сумі моментів кількості руху всіх таких частинок, що утворюють тіло. Для точки, що рухається по колу, момент кількості руху дорівнює, звичайно, добутку її маси на швидкість і на відстань до осі обертання, а швидкість у свою чергу дорівнює кутової швидкості, помноженої на відстань до осі:

Підсумовуючи L i для всіх частинок, отримуємо

Цей вираз дуже схожий на формулу для імпульсу, що дорівнює добутку маси на швидкість. Швидкість при цьому замінюється на кутову швидкість, а маса, як бачите, замінюється на деяку нову величину, яка називається моментом інерції I. Ось що відіграє роль маси при обертанні! Рівняння (18.21) і (18.22) свідчать, що інерція обертання тіла залежить як від мас складових його частинок, а й від того, наскільки далеко розташовані вони від осі. Так що якщо ми маємо два тіла рівної маси, але в одному з них маси розташовані далі від осі, то його інерція обертання буде більшою. Це легко продемонструвати на пристрої, зображеному на фіг. 18.4. Маса М у цьому пристрої не може падати дуже швидко, тому що вона повинна крутити важкий стрижень. Розташуємо спочатку маси m біля осі обертання, причому грузик М якось прискорюватися. Однак після того, як ми змінимо момент інерції, розташувавши маси m набагато далі від осі, ми побачимо, що грузик М прискорюється набагато повільніше, ніж раніше. Відбувається це внаслідок зростання інертності обертання, що становить фізичний зміст моменту інерції- суми творів всіх мас квадрати їх відстаней від осі обертання.
Між масою та моментом інерції є суттєва різниця, яка проявляється дивовижним чином. Справа в тому, що маса об'єкта зазвичай не змінюється, тоді як момент інерції легко змінити. Уявіть собі, що ви встали на стіл, який може обертатися без тертя, і тримаєте гантелі в витягнутих руках, а самі повільно обертаєтеся. Можна легко змінити момент інерції, зігнувши руки; при цьому наша маса залишиться тією самою. Коли ми зробимо все це, то закон збереження моменту кількості руху творитиме дива, станеться щось дивовижне. Якщо моменти зовнішніх сил дорівнюють нулю, то момент кількості руху дорівнює моменту інерції. I 1 помноженому на кутову швидкість ω 1 , тобто ваш момент кількості руху дорівнює I 1 ω 1 . Зігнувши руки, ви тим самим зменшили момент інерції до величини I 2 . Але оскільки через закон збереження моменту кількості руху твір I ω має залишитися тим самим, то I 1 ω 1 має дорівнювати I 2 ω 2 . Так що якщо ви зменшили момент інерції, то ваша кутова швидкість внаслідок цього має зрости.

Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

Тоді з рівняння (8.14) випливає, що:

, тобто:
,

а це означає, що
, тобто.
.

Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему дорівнює нулю, вектор кількості руху системи буде постійний за величиною і напрямом.

У випадку, якщо зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад, ОХ) дорівнює нулю:

Тоді проекція кількості руху системи на цю вісь є величина постійна:

Ці результати виражають закон збереження кількості руху системи. Звідси слідує що внутрішні силисистеми не можуть змінити вектор кількості руху системи.

При вирішенні завдань за допомогою закону збереження головного вектора кількостей руху слід дотримуватися наступної послідовності:

Завдання 8.2 (36.3)

Визначити головний вектор кількостей руху маятника, що складається з однорідного стрижня ОАвагою Р 1 довжиною 4 rта однорідного диска Увагою Р 2 радіуси rякщо кутова швидкість маятника в даний момент дорівнює ω .

У цьому завдання система і двох тіл: стрижня, довжиною 4r і однорідного диска радіусом r. Центр мас стрижня перебуває у геометричному центрі (точка З), причому ОС=СА, центр мас диска перебуває у його геометричному центрі (точка У), оскільки тіла однорідні. Тоді для стрижня вектор кількості руху можна обчислити:

Так як
тоді модуль вектора кількостей руху стрижня буде:

Вектор спрямований перпендикулярно стрижню ОА. Для диска вектор кількостей руху дорівнює:

Швидкість у точці Уможна визначити:

Тоді модуль дорівнюватиме:

Модуль вектора кількостей руху системи визначиться так:

тоді

Відповідь:
, вектор кількостей руху спрямований перпендикулярно до стрижня. ОА.

Запитання для самоконтролю:

Що таке кількість руху матеріальної точки та механічної системи?

Теорема про зміну кількості руху у диференційній формі?

Теорема про зміну кількості руху в інтегральній формі?

Література: - .

Лекція 9

Теорема про зміну моменту кількості руху точки

Моментом вектора
щодо даного центру Про або осі Z позначається відповідно
і
називається моментом кількості руху або кінетичним моментом точки щодо центру чи осі.

Обчислюється момент вектора
як і момент сили.

– для моменту вектора
щодо центру:

– для моменту вектора
щодо осі:

де – найкоротша відстань між точкою програми вектора
та віссю або центром;

Звернемося до основного рівняння динаміки обертального руху

і розглянемо окремий випадок, коли на тіло або зовсім не діють зовнішні сили, або вони такі, що їх рівнодіюча не дає моменту щодо осі обертання.

Але якщо зміна величини дорівнює нулю, то отже сама величина залишається постійною:

Рис. 66. Сальто-морталь.

Отже, якщо на тіло не діють зовнішні сили (або результуючий їх момент щодо осі обертання дорівнює нулю), то момент кількості руху тіла щодо осі обертання залишається незмінним. Цей закон має назву закону збереження моменту кількості руху щодо осі обертання.

Наведемо кілька прикладів, що ілюструють закон збереження моменту кількості руху.

Гімнаст під час стрибка через голову (мал. 66) підтискає до тулуба руки та ноги. Цим він зменшує свій момент інерції,

оскільки твір має залишатися незмінним, то кутова швидкість обертання зростає, й у короткий проміжок часу, поки гімнаст перебуває у повітрі, він встигає зробити повний оборот.

Кулька прив'язана до нитки, що намотується на ціпок; у міру того, як зменшується довжина нитки, зменшується момент інерції кульки і, отже, зростає кутова швидкість.

Рис. 67 Обертання людини, що стоїть на лаві Жуковського. прискориться, якщо він опустить руки і сповільниться, якщо він їх підніме.

Рис. 68. Якщо ми піднімемо велосипедне колесо над головою і приведемо його у обертання, то самі разом із платформою почнемо обертатися у протилежний бік.

Ряд цікавих дослідів можна виконати, вставши на платформу, що обертається на шарикопідшипнику (лава Жуковського). На рис. 67 та 68 зображені деякі з цих дослідів.

Зіставляючи рівняння, виведені в останніх параграфах, із законами прямолінійного поступального руху, легко помітити, що формули, що визначають обертальний рух біля нерухомої осі, аналогічні формулам для прямолінійного поступального руху.

У наступній таблиці зіставлені основні величини та рівняння, що визначають ці рухи:

(Див. скан)

Гіроскопи. Реактивний гіроскопічний ефект.Тверде тіло, що обертається з великою кутовою швидкістю навколо осі повної симетрії (вільної осі) називають гіроскопом. За законом збереження вектора моменту кількості руху гіроскоп прагне зберегти напрямок своєї осі обертання незмінним у просторі і виявляє тим більшу стійкість (тобто надає тим більший опір повороту осі обертання), що більше його момент інерції і що більше кутова швидкість обертання.

Коли ми, утримуючи на витягнутих руках якесь масивне нерухоме тіло, повідомляємо йому рух, наприклад зліва направо, то сила інерції, що розвивається тілом, рухає нас у протилежному напрямку. Прояв сил інерції гіроскопа, що обертається, коли ми повертаємо його вісь обертання, виявляється складнішим і на перший погляд несподіваним. Так, якщо ми, утримуючи в руках горизонтально спрямовану вісь обертання гіроскопа, станемо один кінець осі піднімати, а інший опускати, тобто повертати вісь у вертикальній площині, то відчуємо, що вісь чинить тиск на руки не у вертикальній, а в горизонтальній площині, притискаючи одну нашу руку та відтягуючи іншу. Якщо при розгляді праворуч обертання гіроскопа видно тим, що відбувається по руху годинникової стрілки (тобто момент кількості руху гіроскопа спрямований горизонтально наліво), то спроба підняти лівий кінець осі, опускаючи правий вниз, викликає рух лівого кінця осі в горизонтальній площині від нас, а правого - на нас.

Така реакція гіроскопа (так званий гіроскопічний ефект) пояснюється прагненням гіроскопа зберегти незмінним свій момент кількості руху і притому зберегти його незмінним не тільки за величиною, а й у напрямку. Дійсно, щоб при описаному вище повороті осі обертання гіроскопа у вертикальній площині на кут а (рис 69) момент кількості руху геометрично залишався незмінним, гіроскоп повинен придбати додаткове обертання навколо вертикальної осі з моментом кількості руху таким, що геометрично

З вказаної причини гіроскоп, що обертається, врівноважений на рухомій осі гирей (рис. 70), набуває додатково

обертання навколо вертикальної осі, якщо гирю, що врівноважувала гіроскоп, трохи відсунути від точки опори осі (перевішуючи, гиря повідомляє осі деякий нахил, що викликає звернення осі гіроскопа навколо точки опори в напрямку, яке відповідає напрямку вектора на рис. 69).

З тієї ж причини вісь дзиги набуває внаслідок дії сили тяжіння, що перекидає, круговий рух, який називають прецесією (рис. 71).

Отже, якщо до гіроскопа, що обертається, прикласти пару сил, що прагне повернути його біля осі, перпендикулярної до осі обертання, то гіроскоп дійсно стане повертатися, але тільки навколо третьої осі, перпендикулярної до перших двох. Щоб повернути гіроскоп, що обертається (наприклад, у напрямку як показано на рис. 72), потрібно до осі гіроскопа прикласти крутний момент у площині, перпендикулярній до напрямку повороту.

Рис. 71. Схема руху дзиги.

Більш детальний аналіз явищ, аналогічних описаним вище, показує, що гіроскоп прагне розташувати вісь свого обертання таким чином, щоб вона утворила можливо менший кут з віссю обертання, що змушується, і щоб обидва обертання відбувалися в одному і тому ж напрямку.

Ця властивість гіроскопа використовується в гіроскопічному компасі, що набув широкого поширення особливо у військовому флоті. Гирокомпас являє собою дзига, що швидко обертається (мотор трифазного струму, що робить до 25 000 об/хв), який на особливому поплавці плаває в посудині з ртуттю і вісь якого встановлюється в площині меридіана. У разі джерелом зовнішнього крутного моменту є добове обертання Землі навколо її осі. Під його дією вісь обертання гіроскопа прагне збігтися у напрямку з віссю обертання Землі, бо обертання Землі діє на гіроскоп безперервно, то вісь гіроскопа, нарешті, і приймає це положення, тобто встановлюється вздовж меридіана, і продовжує в ньому залишатися зовсім так само, як звичайна магнітна стрілка.

Гіроскопи часто застосовують як стабілізатори. Їх встановлюють зменшення качки на океанських пароплавах.

Були сконструйовані також стабілізатори для однорейкових. залізниць; масивний гіроскоп, що швидко обертається, поміщається всередині вагона однорейкової дороги, перешкоджає перекиданню вагона. Ротори для гіроскопічних стабілізаторів виготовляють вагою від 1 до 100 і більше тонн.

У торпедах гіроскопічні прилади, автоматично діючи на рульове управління, Забезпечують прямолінійність руху торпеди в напрямку пострілу.

Рис. 73. Прецесія земної осі.

Добове обертання Землі робить її подібною до гіроскопа. Так як Земля є не куля, а фігуру, близьку до еліпсоїда, то тяжіння Сонця створює рівнодіючу, що не проходить через центр мас Землі (як було б у разі кулі). Внаслідок цього виникає крутний момент, який прагне повернути вісь обертання Землі перпендикулярно до площини її орбіти (рис. 73). У зв'язку з цим земна вісь зазнає прецесійного руху (з повним оборотом приблизно за 25 800 років).

Лекція 5. Кількість руху системи (імпульс системи).

У цій лекції розглядаються наступні питання:

1. Кількість руху системи (імпульс системи).

2. Теорема про зміну кількості руху (імпульсу).

3. Закон збереження кількості руху (імпульсу).

4. Головний момент кількостей руху (імпульсу) системи.

5. Теорема моментів.

6. Закон збереження головного моменту кількостей руху (імпульсу).

Вивчення даних питань необхідне динаміки коливального руху механічної системи, на вирішення завдань у дисциплінах «Теорія машин і механізмів» і «Деталі машин».

У попередніх лекціях викладалися методи визначення руху матеріальної системи, які зводилися до складання диференціальних рівнянь, зазвичай другого порядку. І рішення їх виявлялося не завжди простим.

Якщо запровадити нові узагальнені поняття, що характеризують властивості і рух системи загалом, ці труднощі нерідко можна оминути. До них відносяться поняття про центр мас і кінетичної енергії, які вже нам знайомі, поняття про кількість руху матеріальної системи та момент кількості руху.

Теореми, що визначають зміну цих характеристик, дозволяють отримати повніше уявлення про рух матеріальної системи.

Кількість руху системи (імпульс системи).

Кількість руху (імпульс тіла)- Векторна фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість:

Імпульс (кількість руху) – одна з найбільш фундаментальних характеристик руху тіла чи системи тіл.

Запишемо II закон Ньютона в іншій формі, враховуючи, що прискорення отже

Твір сили на час її дії дорівнює збільшенню імпульсу тіла (рис. 1):

Де – імпульс сили, який показує, що результат дії сили залежить не тільки від її значення, а й від тривалості її дії.

Рис.1

Кількість руху системи (імпульсом) будемо називати векторну величину , рівну геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху (імпульсів) всіх точок системи (Рис.2):

З креслення видно, що незалежно від величин швидкостей точок системи (якщо ці швидкості не паралельні) вектор може приймати будь-які значення і навіть виявитися рівним нулю, коли багатокутник, побудований з векторів , замкнеться. Отже, за величиною не можна судити про характер руху системи.

Рис.2

Знайдемо формулу, з допомогою якої значно легше обчислювати величину, і навіть усвідомити її сенс.

З рівності

випливає, що

Беручи від обох частин похідну за часом, отримаємо

Звідси знаходимо, що

тобто. кількість руху (імпульс) системи дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість її центру мас . Цим результатом особливо зручно користуватися для обчислення кількостей руху твердих тіл.

З формули видно, що й тіло (чи система) рухається отже центр мас залишається нерухомим, то кількість руху тіла дорівнює нулю. Наприклад, кількість руху тіла, що обертається навколо нерухомої осі, що проходить через його центр мас, дорівнюватиме нулю.

Якщо ж рух тіла є складним, то величина не характеризуватиме обертальну частину руху навколо центру мас. Наприклад, для колеса, що котиться незалежно від того, як обертається колесо навколо його центру мас З.

Таким чином, кількість руху характеризує лише поступальний рух системи. При складному русі величина характеризує лише поступальну частину руху системи разом із центром мас.

Теорема про зміну кількості руху (імпульсу).

Розглянемо систему, що складається з пматеріальних точок. Складемо для цієї системи диференційне рівнянняруху та складемо їх почленно. Тоді отримаємо:

Остання сума за якістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,

Остаточно знаходимо:

Рівняння висловлює теорему про зміну кількості руху (імпульсу) системи у диференційній формі: похідна за часом від кількості руху (імпульсу) системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил .

Знайдемо інший вираз теореми. Нехай у момент t=0 кількість руху системи дорівнює , а в момент стає рівним. Тоді, помножуючи обидві частини рівності на dtта інтегруючи, отримаємо:

оскільки інтеграли, які стоять праворуч, дають імпульси зовнішніх сил.

Рівняння висловлює теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів діючих на систему зовнішніх сил за той самий проміжок часу.

У проекціях на координатні осі матимемо:

Вкажемо на зв'язок між доведеною теоремою та теоремою про рух центру мас. Оскільки те, підставляючи це значення у рівність і враховуючи, що ми отримаємо .

Отже, теорема про рух центру мас і теорема про зміну кількості руху системи є, по суті, дві різні форми однієї і тієї ж теореми. У тих випадках, коли вивчається рух твердого тіла (або системи тіл), можна однаково користуватися будь-якою з цих форм.

Практична цінність теореми у тому, що дозволяє виключити з розгляду наперед невідомі внутрішні сили (наприклад, сили тиску друг на друга частинок рідини).

Закон збереження кількості руху (закон збереження імпульсу).

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки:

1) Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на замкнуту систему, дорівнює нулю:

Тоді з рівняння випливає, що Q = = const. Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на замкнуту систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху (імпульсу) системи буде постійний по модулю і напрямку.

2) Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад Оx) дорівнює нулю:

Тоді з рівняння слід, що у своїй Q x = const. Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху (імпульсу) системи на цю вісь є величина постійна.

Ці результати і висловлюють закон збереження кількості руху системи: за будь-якого характеру взаємодії тіл, що утворюють замкнуту систему, вектор повного імпульсу цієї системи постійно залишається постійним.

З них випливає, що внутрішні сили змінити сумарну кількість руху системи не можуть.

Закон збереження повного імпульсу ізольованої системи – універсальний закон природи. У більш загальному випадку, коли система незамкнута, слід, що повний імпульс незамкнутої системи не залишається постійним. Його зміна за одиницю часу дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил.

Розглянемо деякі приклади:

а) Явище віддачі чи отката. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити сумарну кількість руху системи. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це спричинить рух гвинтівки тому, тобто. так звану віддачу. Аналогічне явище виходить при стрільбі зі зброї (відкат).

б) Робота гребного гвинта (пропелера). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища як внутрішні не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) отримує відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишиться рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.

Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.

в) Реактивний рух. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору хвостової частини ракети (із сопла реактивного двигуна). Сила тиску, що діє при цьому, будуть силами внутрішніми, і вони не можуть змінити сумарну кількість руху системи ракета - продукти горіння палива. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість руху вперед.

приклад 1.На рейках стоїть платформа масою m 1 =10 т. На платформі закріплено знаряддя масою m 2 =5 т, з якого виробляється постріл уздовж рейок. Маса снаряда m3 = 100 кг; його початкова швидкість щодо зброї v 0 = 500 м/с. Знайти швидкість платформи у перший момент після пострілу, якщо: 1) платформа стояла нерухомо ( v= 0); 2) платформа рухалася зі швидкістю v= 18 км/год, а постріл був зроблений у напрямку її руху; 3) платформа рухалася зі швидкістю v= 18 км/год, а постріл був зроблений у напрямку, протилежному до напряму її руху.

Рішення.Для вирішення задачі скористаємося законом збереження імпульсу, який стверджує, що імпульс замкнутої системи залишається постійним.

Запишемо імпульс системи, що складається з гармати, зброї та снаряда, до пострілу () і після нього (), внаслідок якого цей імпульс змінюється. Нагадаємо, що сумарний імпульс системи є векторною сумою імпульсів тіл, що входять в систему.

1) Імпульс системи до пострілу

т.к. спочатку платформа з гарматою лежала ( v=0).

Після пострілу імпульс системи

За законом збереження імпульсу , отже,

Спроектуємо це рівняння на обрану вісь х(Рис.3):

Рис.3

Звернімо увагу на наступний факт. З досвіду ми знаємо, що в результаті пострілу платформа зі зброєю відкотиться у бік, протилежний пострілу, тому при проектуванні ми відразу можемо врахувати це, поставивши знак мінус перед швидкістю uплатформи. Тоді ми отримаємо

У ряді випадків, коли заздалегідь немає ясності в тому, в який бік рухатиметься об'єкт, вважаємо, що швидкість спрямована вздовж осі х. У цьому випадку позитивне значення отриманого результату обчислень підтвердить наше припущення, а негативне – вкаже на те, що рух відбувається у протилежному напрямку обраному.

2) Закон збереження імпульсу у разі, коли платформа рухається зі швидкістю v=18 км/год = 5 м/с, має вигляд

У проекціях на вісь х(Рис.4):

Рис.4

Звернемо увагу на те, що, вважаючи, як у попередньому випадку, що платформа після пострілу почне рухатися в зворотний бікми помилилися, на що вказує знак «мінус» в отриманій відповіді. Отже, напрямок руху платформи залишився тим самим, але швидкість її зменшилася.

3) Закон збереження імпульсу у разі має вигляд, аналогічним з того що був записаний для другого випадку, тобто.

з тією лише різницею, що при проектуванні на вісь х(Рис.5), отримаємо інші знаки для швидкостей:

Рис.5

Таким чином, платформа рухатиметься в тому ж напрямку зі швидкістю більшою, ніж початкова.

приклад 2.На залізничній платформі, що рухається за інерцією зі швидкістю v, укріплено знаряддя, ствол якого спрямований у бік руху платформи під кутом α до горизонту (рис.5.1). Зброя зробила постріл, внаслідок чого швидкість платформи зі зброєю зменшилася втричі. Знайти швидкість снаряда щодо зброї при вильоті зі ствола. Маса снаряда m 1 маса платформи з знаряддям m 2 .

Рис.5.1

Рішення.На систему тіл "платформа з знаряддям + снаряд" діють зовнішні сили - тяжкості і нормального тиску з боку рейок, спрямовані вертикально (горизонтальні сили тертя можна вважати дуже малими) і внутрішня сила - тиску газів, що утворюються при пострілі. Слід врахувати, що при пострілі сила нормального тиску перевищує силу тяжкості, їхня рівнодіюча не дорівнює нулю. Отже, при пострілі вертикальна складова імпульсу системи не зберігається, горизонтальна складова імпульсузалишиться незмінною.

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки:

1) Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху системи буде постійний по модулю і напрямку.

Тоді з рівняння випливає, що при цьому . Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи цю вісь є величина постійна.

Ці результати і висловлюють закон збереження кількості руху системи.З них випливає, що внутрішні сили змінити сумарну кількість руху системи не можуть. Розглянемо деякі приклади:

Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.

Принцип Даламбер.

Усі методи вирішення завдань динаміки, які ми досі розглядали, ґрунтуються на рівняннях, що випливають або безпосередньо із законів Ньютона, або ж із загальних теорем, які є наслідками цих законів. Однак цей шлях не є єдиним. Виявляється, що рівняння руху чи умови рівноваги механічної системи можна отримати, поклавши основою замість законів Ньютона інші загальні становища, звані принципами механіки. У ряді випадків застосування цих принципів дозволяє, як ми побачимо, знайти більше ефективні методирозв'язання відповідних завдань. У цьому розділі буде розглянуто один із загальних принципівмеханіки, що називається принципом Даламбера.

Нехай ми маємо систему, що складаються з nматеріальних точок. Виділимо якусь із точок системи з масою. Під дією прикладених до неї зовнішніх і внутрішніх сил (в які входять і активні сили, і реакції зв'язку) точка отримує по відношенню до інерційної системи відліку деяке прискорення .

Введемо на розгляд величину

має розмірність сили. Векторну величину, рівну за модулем добутку маси точки на її прискорення і спрямовану протилежно до цього прискорення, називають силою інерції точки (іноді даламберової силою інерції).

Тоді виявляється, що рух точки має таку загальну властивість: якщо у кожний момент часу до фактично діючих на точку сил і додати силу інерції , то отримана система сил буде врівноваженою, тобто. буде

Цей вислів виражає принцип Даламбера для однієї матеріальної точки. Неважко переконатися, що воно еквівалентне другому закону Ньютона і навпаки. Справді, другий закон Ньютона для цієї точки дає . Переносячи тут член у праву частину рівності і прийдемо до останнього співвідношення.

Повторюючи виконані вищі міркування стосовно кожної з точок системи, прийдемо до наступного результату, що виражає принцип Даламбер для системи: якщо в будь-який момент часу до кожної з точок системи, крім фактично діючих на ній зовнішніх і внутрішніх сил, докласти відповідних сил інерції, то отримана система сил буде перебувати в рівновазі і до неї можна буде застосовувати всі рівняння статики.

Значення принципу Даламбера у тому, що з безпосередньому його застосуванні до завдань динаміки рівняння руху системи складаються у вигляді добре відомих рівнянь рівноваги; що робить одноманітний підхід до вирішення завдань і зазвичай набагато спрощує відповідні розрахунки. Крім того, у поєднанні з принципом можливих переміщень, який буде розглянуто в наступному розділі, принцип Даламбер дозволяє отримати новий загальний метод вирішення задач динаміки.

Застосовуючи принцип Даламбера, слід пам'ятати, що у точку механічної системи, рух якої вивчається, діють лише зовнішні й внутрішні сили і , що виникають у результаті взаємодії точок системи друг з одним і з тілами, які входять у систему; під дією цих сил точки системи та рухаються з відповідними прискореннями. Сили ж інерції, про які йдеться в принципі Даламбера, на точки, що рухаються, не діють (інакше, ці точки перебували б у спокої або рухалися без прискорень і тоді не було б і самих сил інерції). Введення сил інерції - це лише прийом, що дозволяє складати рівняння динаміки за допомогою більш простих методівстатики.

Сподобалася стаття? Поділіться їй

Роздрукувати статтю

Завдання 8.2 (36.3)

Запитання для самоконтролю:

Лекція 9

Теорема про зміну моменту кількості руху точки