Qaysi vektorlar chiziqli mustaqil. Vektorlarning chiziqliligi va mustaqilligi. Vektor asoslari. Afina koordinata tizimi

Viraz aql chaqirdi vektorlarning chiziqli birikmasi A 1 , A 2 ,..., A n koeffitsientlar bilan l 1, l 2 ,...,l n.

Vektor tizimining chiziqli pozitsiyasining qiymatlari

Vektor tizimi A 1 , A 2 ,..., A n chaqirdi chiziqli ravishda yotqizilgan, Nolga teng bo'lmagan raqamlar to'plami natijasida l 1, l 2 ,...,l n, vektorlarning har qanday chiziqli birikmasi uchun l 1 *A 1 +l 2 *A 2 +...+l n *A n nol vektordan kattaroq, Keyin darajalar tizimi: Nolga teng bo'lmagan qaror mavjud.
Raqamlarni tering l 1, l 2 ,...,l n ê nolga teng emas, agar siz raqamlardan birini xohlasangiz l 1, l 2 ,...,l n noldan o'zgartirish.

Vektor tizimining chiziqli mustaqilligi qiymatlari

Vektor tizimi A 1 , A 2 ,..., A n chaqirdi chiziqli mustaqil, bu vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida l 1 *A 1 +l 2 *A 2 +...+l n *A n nol raqamlar to'plamidan ko'ra nol vektordan ko'proq l 1, l 2 ,...,l n , Keyin darajalar tizimi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =D Faqat bitta yechim bor.

Butt 29.1

Bu vektorlarning chiziqli tizimi ekanligini tekshiring

Qaror:

1. Biz darajalar tizimini yaratamiz:

2. Gauss usuli bilan tasdiqlangan. Jordano tizimining transformatsiyasi 29.1-jadvalda ko'rsatilgan. Tizimning o'ng qismi kengaytirilganda, fragmentlar yozilmaydi, ular nolga etadi va Iordaniya o'zgarishlari tufayli o'zgarmaydi.

3. Jadvalning qolgan uchta qatori chiqishga teng ruxsat etilgan tizimni qayd qiladi tizim:

4. Tizimning yashirin yechimi yo'q qilinadi:

5. Hokimiyatdan erkin o'zgarish qiymatini so'rab, x 3 =1, Nolga teng bo'lmagan qarorlar qat'iyan chiqarib tashlanadi X = (-3,2,1).

Dalil: Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan sonlar to'plami (-3,2,1) bilan vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektor -3A1+2A2+1A3=T ga teng. Otje, vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Vektor tizimlarining kuchi

Quvvat (1)
Agar vektorlar sistemasi chiziqli bo`ysunuvchi bo`lsa, vektorlardan biri boshqalardan keyin parchalansa, sistema vektorlaridan biri boshqalardan keyin parchalansa, vektorlar sistemasi chiziqli bo`ysunuvchi bo`ladi.

Quvvat (2)
Vektorlarning har bir quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lganligi sababli, butun tizim chiziqli bog'liqdir.

Quvvat (3)
Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, quyi tizim chiziqli mustaqildir.

Hokimiyat (4)
Nol vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi mavjudmi, u chiziqli eskirgan.

Hokimiyat (5)
M o'lchamli vektorlar tizimi har doim chiziqli bo'ladi, agar n vektorlar soni ularning o'lchamidan (n>m) katta bo'lsa.

Vektor tizimining asoslari

Vektor tizimining asosi A 1 , A 2 ,..., A n bu quyi tizim B 1 , B 2 ,..., B r deb ataladi.(B 1, B 2,..., B r vektorlaridan biri A 1, A 2,..., A n vektorlaridan biri), bu kunning aqlini qondiradi:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r vektorlarning chiziqli mustaqil tizimi;
2. nima bo'lishidan qat'iy nazar vektor A j A 1 , A 2 ,..., A n sistemalar B 1 , B 2 ,..., B r vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi.

r- bazaga kiritilgan vektorlar soni.

Teorema 29.1 Vektorlar sistemasining unitar asosi haqida.

Agar m o lchamli vektorlar sistemasida m xil E 1 E 2 ,..., E m bitta vektor bo lsa, ularning barchasi sistemaning asosini tashkil qiladi.

Vektor sistemasining asosini topish algoritmi

A 1 , A 2 ,..., A n vektor sistemasining asosini bilish uchun quyidagilar zarur:

• Yagona vektorlar tizimini yagona darajalar tizimiga katlayın A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =D
• Qiu tizimini tanishtiring

Zavdannya 1. E'tibor bering, vektorlar tizimi chiziqli mustaqildir. Vektorlar tizimi komponentlari vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan tizim matritsasi bilan belgilanadi.

.

Qaror. Keling, chiziqli kombinatsiyaga ega bo'laylik nolga teng. Ushbu tekislashni koordinatalarga yozib, biz quyidagi tekislash tizimini olishimiz mumkin:

.

Ushbu darajalar tizimi trikutan deb ataladi. Faqat bitta qaror bo'lishi mumkin . Ozhe, vektorlar chiziqli mustaqil.

Zavdannya 2. Bu vektorlarning chiziqli mustaqil tizimi ekanligini tushuning.

.

Qaror. Vektorlar chiziqli mustaqil (1-bo'lim). Vektor vektorlarning chiziqli birikmasi ekanligini isbotlaylik . Vektorlar uchun parchalanish koeffitsientlari martaba tizimidan chegirib tashlanadi

.

Ushbu tizim, uch qismli tizim kabi, bitta yechimga ega.

Ozhe, vektorlar tizimi chiziqli tarzda joylashtirilgan.

Hurmat. 1-masaladagi kabi turdagi matritsalar deyiladi trikutnymi , va vazifalar 2 - o'xshash . Vektor tizimining chiziqli taqsimotining quvvat manbai osongina sozlanishi mumkin, chunki matritsa ushbu vektorlarning koordinatalaridan iborat va ko'pincha tricustomary. Agar matritsa maxsus ko'rinishga ega bo'lmasa, unda yordam uchun qatorlarni elementar qayta yaratish Hamkorlar o'rtasidagi chiziqli munosabatlarni saqlab qolish uchun uni xuddi shunday murakkab ko'rinishga keltirish mumkin.

Qatorlarni elementar qayta yaratish matritsalar (EPS) matritsada quyidagi amallar deyiladi:

1) qatorlarni qayta joylashtirish;

2) bir xil sondagi qatorni nolga ko'paytirish;

3) qo'shimcha songa ko'paytiriladigan boshqa qatorning qatoriga qo'shish.

Zavdannya 3. Maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimni toping va vektor sistemaning darajasini hisoblang

.

Qaror. Keling, qo'shimcha EPS yordamida tizim matritsasi ko'pincha qiyin bo'lib ko'rinmaguncha keltiraylik. Harakatlar tartibini aniqlashtirish uchun qayta yaratilayotgan matritsa raqamiga ega qator belgi bilan ifodalanadi. O'qdan keyingi bo'limda yangi matritsaning qatorlarini olib tashlash uchun bosish kerak bo'lgan matritsa satrlari ustidagi amallar mavjud.

.

Shubhasiz, olingan matritsaning dastlabki ikkita ustuni chiziqli mustaqil, uchinchi ustun bir xil chiziqli kombinatsiya, to'rtinchisi esa birinchi ikkitasi bilan yotmaydi. Vektorlar asosiy deyiladi. Ular tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimini yaratadilar , Va tizimning darajasi uchtadir.

Bazis, koordinatalar

Zavdannya 4. Koordinatalari aqlni qanoatlantiradigan geometrik vektorlarning shaxssizligi bo'yicha ushbu asos vektorlarining asosini va koordinatalarini toping. .

Qaror. Koordinatalar donasidan o'tishi mumkin bo'lgan juda ko'p tekislik mavjud. Tekislikdagi to'liq asos ikkita kollinear bo'lmagan vektordan iborat. Tanlangan asos uchun vektorlarning koordinatalari chiziqli sathlarning chiziqli tizimini ajratish orqali aniqlanadi.

Agar siz koordinatalar orqasida asos topsangiz, bu vazifani bajarishning yana bir usuli bor.

Koordinatalar tekislikdagi koordinatalari bo'lgan bo'shliqlar, bo'laklar munosabatlar bilan bog'liq keyin mustaqil emas. Mustaqil o'zgaruvchilar i (ular erkin deb ataladi) i tekislikdagi vektorni yagona tarzda belgilaydi va keyin koordinatalar sifatida ifodalanishi mumkin. Todi asosi katta o'zgaruvchanlarning mos keladigan to'plamlarida joylashgan vektorlardan iborat і , keyin.

Zavdannya 5. Kosmosdagi juftlanmagan koordinatalari bir-biriga teng bo'lgan barcha vektorlar asosida shu asosda vektorlarning bazisi va koordinatalarini toping.

Qaror. Biz oldingi vazifada bo'lgani kabi, kosmosdagi koordinatalarni tanlaymiz.

Shunday qilib , keyin bepul almashtirish í va shuningdek, ê vektorlari koordinatalar bilan noyob tarzda belgilanadi. Yakuniy asos vektorlardan iborat.

Zavdannya 6. Barcha matritsa turlari asosida shu bazis vektorlarining bazis va koordinatalarini toping , de - Ko'proq raqamlar.

Qaror. Teri matritsasi quyidagi shaklda aniq ifodalanadi:

Bu vektorning asosdan parchalanishi natijasidir
koordinatalari bilan .

Zavdannya 7. Vektor sistemaning chiziqli qobig'ining o'lchami va asosini toping

.

Qaror. Qo'shimcha EPS dan foydalanib, biz matritsani tizim vektorlarining koordinatalaridan shunga o'xshash murakkab ko'rinishga o'zgartirishimiz mumkin.

.

Stovptsi qolgan matritsalar chiziqli mustaqil, qolgan matritsalar Ular o'zlarini atrofida chiziqli tarzda ifodalaydilar. Ozhe, vektorlar asos yaratish , і .

Hurmat. Asos y tanlov noaniq. Masalan, vektorlar asosini ham belgilaydi .

Qani ketdik L- etarli chiziqli bo'shliq, a i Î L,- Yogo elementi (vektorlar).

Qiymat 3.3.1. Viraz de, - chiziqli birikmalar deb ataladigan qo'shimcha nutq raqamlari vektorlar a 1, a 2,…, a n.

Yaksho vektor R = , keyin shunday tuyuladi R vektorlar orqasida parchalanish a 1, a 2,…, a n.

Qiymat 3.3.2. Vektorlarning chiziqli birikmasi deyiladi ahamiyatsiz Agar o'rta raqamlar mavjud bo'lsa, siz nolning bitta bo'linishini xohlaysiz. Aks holda, chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz.

Vitsenzennya 3.3.3 . a 1 , a 2 ,…, a vektorlari n notrivial chiziqli birikma bo'lgani uchun chiziqli eskirgan deb ataladi

= 0 .

Vitsenzennya 3.3.4. a 1 , a 2 ,..., a vektorlari n chiziqli mustaqil deb ataladi, chunki hasad = 0 barcha raqamlar bo'lsa, ehtimol undan ham ko'proq l 1, l 2,…, l n darhol nolga erishing.

Har qanday nolga teng bo'lmagan element 1 ni chiziqli mustaqil tizim sifatida ko'rish mumkinligi muhimdir l a 1 = 0 ehtimol siz o'ylaganingizdan ham ko'proq l= 0.

3.3.1 teorema. Kerakli va etarli aqliy chiziqli pozitsiya a 1 , a 2 ,…, a n Masalan, boshqalardan ko'ra ushbu elementlardan birini ochish imkoniyati mavjud.

Tugallandi. Zaruriyat. a 1 , a 2 ,…, a elementlari boʻlsin n chiziqli konlar. Tse shuni anglatadiki = 0 , va men raqamlardan birini xohlayman l 1, l 2,…, l n noldan o'zgartirish. Qo'shiq aytaman l 1 ¹ 0. Todi

keyin a 1 elementi a 2 , a 3 , …, a elementlaridan keyin joylashadi n.

Etarlilik. a 1 elementi a 2 , a 3 , …, a elementlariga boʻlinsin n, ya'ni a 1 =. Todi = 0 , u holda a 1 , a 2 ,…, a vektorlarining ahamiyatsiz chiziqli birikmasi mavjud. n, Rivna 0 Shuning uchun ham badbo'y hid chiziqli eskirgan .

3.3.2 teorema. Agar siz a 1 , a 2 ,…, a elementlaridan birini xohlasangiz n nolga teng, vektorlar esa chiziqli.

Tugallandi . Qani ketdik a n= 0 todi = 0 elementlar ma'nosining chiziqli joylashishini bildiradi.

3.3.3 teorema. Agar o'rta n vektor p ga o'xshash bo'lsa (s< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Tugallandi. a 1 , a 2 ,..., a elementlari boʻlsin p chiziqli konlar. Bu shuni anglatadiki, bunday noaniq chiziqli birikma mavjud = 0 . G'ayratlilik ikkala qismga elementlarni qo'shish orqali saqlanib qolish uchun mo'ljallangan. Todi + = 0 nega raqamlardan birini xohlaysiz? l 1, l 2,…, lp noldan o'zgartirish. Otzhe, vektorlar a 1 , a 2 ,..., a nê chiziqli yotqizilgan.

Naslidok 3.3.1. Agar n ta element chiziqli mustaqil bo'lsa, ularning har biri chiziqli mustaqildir (k< n).

3.3.4 teorema. Yakscho vektorlari a 1, a 2,…, a n- 1 chiziqli mustaqil va elementlar a 1, a 2,…, a n- 1, a n chiziqli, keyin vektor a n vektorlarga kengaytirilishi mumkin a 1, a 2,…, a n- 1 .

Tugallandi. Lavabo ortidagi parchalar a 1, a 2 ,…, a n- 1, a n chiziqli yotqizilgan, keyin asosiy noaniq chiziqli birikma = 0 , va (aks holda, chiziqli ko'rinadi eskirgan vektorlar a 1, a 2,…, a n- 1). Ale todi vektori

nima olib chiqish kerak edi.

Qani ketdik L - Maydon ustidagi chiziqli fazo R . Qani ketdik A1, a2, …, an (*) vektorlarning oxirgi tizimi L . Vektor U = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) chaqirdi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki aks holda bu vektorga o'xshaydi U vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.

Vitsensiya 14. Vektor tizimi (*) deyiladi Chiziqli yotqizilgan a1, a2, …, an koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami bo'lsa, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Yaksho w a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi Lineer mustaqil.

Chiziqli ajralish va mustaqillik kuchi.

10. Agar vektor sistemasi nol vektorni almashtirsa, u chiziqli bog'liqdir.

Tizim (*) vektoridagi kabi samarali A1 = 0, Bu 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Agar vektor tizimi ikkita proportsional vektorni birlashtirsa, u chiziqli bog'liqdir.

Qani ketdik A1 = L×a2. Todi 1× A1 -l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. n ³ 2 bo'lgan vektorlarning oxirgi tizimi (*) uning vektorlaridan biri tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa yoki faqat bittasi bilan chiziqli bog'liqdir.

Þ Uni chiziqli ravishda (*) qo'ying. Keyin a1, a2, … an koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, ular uchun a1 × A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Uyquchanlikni buzmasdan, a1 ¹ 0 ekanligini hisobga olishingiz mumkin. A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Otje, vektor A1 Bu boshqa vektorlarning chiziqli birikmasidir.

Ü Vektorlardan birini (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bilan birlashtiring. Buni birinchi vektor deb aytishingiz mumkin. A1 = B2 A2+ … + milliard A N, Zvidsi (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard A N= 0 , Ya'ni (*) chiziqli.

Hurmat. Vikorist va qolgan kuch, bu vektorlarning uzluksiz tizimining chiziqli ahamiyati va mustaqilligining ahamiyatini sanab o'tish mumkin.

Viznachennya 15. Vektor tizimi A1, a2, …, an , … (**) chaqirildi Chiziqli yotqizilgan, Agar xohlasangiz, bu vektor boshqa vektorlarning ma'lum bir terminal sonining chiziqli birikmasidir. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi Lineer mustaqil.

40. Vektorlarning so‘nggi tizimi chiziqli mustaqil bo‘ladi, agar vektorlardan birini boshqa vektorlar orqali chiziqli aniqlash mumkin bo‘lmasa.

50. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lganidek, har qanday quyi tizim ham chiziqli mustaqildir.

60. Berilgan vektorlar sistemasining har bir quyi tizimi chiziqli bog'liq, butun sistema ham chiziqli bog'liqdir.

Ikki vektor sistemasini keltiring A1, a2, …, an , … (16) bu V1, v2, …, vs, … (17). (16) sistemaning vektori (17) sistema vektorlarining terminal sonining chiziqli birikmasi bo'lishi mumkinligi sababli, sistema (17) chiziqli ravishda (16) tizim orqali ifodalanganligini aytishimiz mumkin.

Vitsensiya 16. Ikki vektorli tizim deyiladi Ekvivalent ularning terisi ikkinchisi orqali qanday qilib chiziqli tarzda ifodalanadi.

Teorema 9 (Chiziqli saqlash haqidagi asosiy teorema).

Ketishimga ruxsat bering – ikkita end vektor tizimi bilan L . Birinchi tizim chiziqli mustaqil va bir-biri orqali chiziqli ravishda ifodalanganligi sababli N£ s.

Tugallandi. Aytaylik N> S. Aql teoremasi orqasida

(21)

Agar tizim chiziqli mustaqil bo'lsa, u holda tenglik (18) X1 = x2 = ... = xN = 0. Bu yerda vektorlar ifodalarini almashtiramiz: …+=0 (19). Zvidsi (20). Umovi (18), (19) va (20) aniq ekvivalentdir. Ale (18) faqat uchun imzolangan X1 = x2 = ... = xN = 0. Biz g'ayrat to'g'ri yoki yo'qligini bilamiz (20). Agar sizning koeffitsientingiz nolga teng bo'lsa, bu aniq to'g'ri. Ularni nolga tenglashtirib, tizimni rad etamiz (21). Shunday qilib, tizim nolga teng bo'lgani uchun

uxlash joyi Tenglar soni noma'lumlar sonidan katta bo'lganligi sababli, tizim cheksiz boy yechimga ega. Oh, azizim, nol bo'lmagan bo'lishi mumkin X10, x20, …, xN0. Ushbu tenglik qiymatlari (18) bilan vektorlar tizimi chiziqli mustaqil ekanligi haqiqatdir. Ota, bizning vijdonimiz haq emas. Otje, N£ s.

Tekshiruv. Ikki ekvivalent vektor tizimi terminal va chiziqli mustaqil bo'lgani uchun ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga olishi kerak.

Viznachennya 17. Vektor sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi Chiziqli fazo L chunki u chiziqli mustaqil, lekin unga biron bir vektor qo'shilsa L Agar siz ushbu tizimga kirmasangiz, u chiziqli eskirib qoladi.

Teorema 10. bilan ikkita terminalli maksimal chiziqli mustaqil vektorli tizimlar mavjudmi L Biroq, vektorlar soni bir xil.

Tugallandi har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil vektor sistemalarining ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .

Fazoda chiziqli mustaqil vektorlar tizimi bo'ladi, degan xulosaga kelish oson L Ushbu bo'shliqqa maksimal chiziqli mustaqil vektor tizimini qo'shishingiz mumkin.

Qo'llash:

1. Ko'pgina kollinear geometrik vektorlar maksimal chiziqli mustaqil bo'lgan bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat tizimga ega.

2. Ko'pgina koplanar geometrik vektorlar uchun yoki ikkita kollinear bo'lmagan vektorlar maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.

3. Trivimiral Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari uchun maksimal chiziqli mustaqillikka ega uchta tekis bo'lmagan vektorlar tizimi mavjud.

4. Boy a'zolar uchun daraja kattaroq emas N Aktiv (murakkab) koeffitsientlar bilan, boy a'zolar tizimi 1, x, x2, … , xnЄ maksimal chiziqli mustaqil.

5. Aktiv (murakkab) koeffitsientlarga ega bo'lgan boy a'zolar butts maksimal chiziqli mustaqil tizimga ega.

A) 1, x, x2, ..., xn, ...;

b) 1, (1 x), (1 x)2, … , (1 x)N, ...

6. O'lchamlarning shaxssiz matritsasi M´ N chiziqli bo'shliq bilan (uni aylantiring). Ushbu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil tizimning ko'tgi matritsa tizimidir E11= , E12 =, …, EMn = .

Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin S1, s2, …, rivn (*). (*) dan vektor quyi tizimi chaqiriladi Maksimal chiziqlilik Quyi tizim Tizimlar ( *) U chiziqli mustaqil bo'lgani uchun, agar unga boshqa vektor qo'shilmasa, tizim chiziqli mustaqil bo'ladi. Tizim (*) chekli bo'lganligi sababli, quyi tizim bir xil miqdordagi vektorlardan chiziqli mustaqildir. (Tasdiqlash mustaqil ravishda amalga oshirilishi kerak). Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi Daraja Bu tizimlar. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.

Qiymat 1. Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil deb ataladi, chunki tizim vektorlaridan biri tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi yoki boshqa chiziqli mustaqil bo'lishi mumkin.

Qiymat 1. Agar raqamlar topilsa, vektorlar tizimi chiziqli eskirgan deb ataladi h 1 , h 2 , …, h k , hammasi ham nolga teng emas, bu koeffitsientlar bilan vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'ladi: = , aks holda tizim chiziqli mustaqil deb ataladi.

Keling, bu qiymatlar ekvivalent ekanligini ko'rsataylik.

Keling, 1 ning ma'nosini unutmaylik. Tizim vektorlaridan biri boshqalarning an'anaviy chiziqli birikmasidir:

Vektor tizimining chiziqli birikmasi nol vektorga teng va bu birikmaning koeffitsienti nolga yetishi shart. Ma'nosi 1 yakunlangan.

Qiymati bilan tugasin 1. Vektor tizimining chiziqli birikmasi qadimiy bo'lib, kombinatsiyaning barcha koeffitsientlari nolga teng emas, masalan, vektorning koeffitsientlari.

Tizimning vektorlaridan biri boshqalarning chiziqli birikmasiga o'xshaydi. 1-qiymat aniqlanadi.

Qiymat 2. Bitta vektor yoki ort deyiladi n o'lchovli vektor, kimdan i--chi koordinata bitta, boshqa koordinata nolga teng.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Yagona qirg'in vektorlari n-tinch fazo chiziqli mustaqil.

Tugallandi. Ushbu vektorlarning etarli koeffitsientlarga ega bo'lgan har qanday chiziqli birikmasi nol vektor bilan taqqoslanadi.

Shu nuqtai nazardan, barcha koeffitsientlar nolga etadi. Bu nihoyasiga yetdi.

Kozhen vektori n- tinch makon ā (A 1 , A 2 , ..., A n) koeffitsientlari vektor koordinatalariga teng bo'lgan yagona vektorlarning chiziqli ko'rinadigan kombinatsiyasi tasvirlari bo'lishi mumkin.

Teorema 2. Agar vektor tizimi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Tugallandi. Aytaylik, vektorlar sistemasi bor va vektorlardan biri nolga teng, masalan = . Keyin, ushbu tizimning vektorlari bilan siz nol vektorga ekvivalent bo'lgan chiziqli kombinatsiyani qo'shishingiz mumkin va barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lmaydi:

Tizim ham chiziqli.

Teorema 3. Xuddi vektor tizimining quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lgani kabi va butun tizim chiziqli bog'liqdir.

Tugallandi. Vektorlar sistemasi berilgan. Tizimning chiziqli tarzda yotishi qabul qilinadi. raqamlar bo'ladi h 1 , h 2 , …, h r , Hamma narsa nolga teng emas, masalan = . Todi

Ma'lum bo'lishicha, butun tizimdagi vektorlarning chiziqli birikmasi qadimiy bo'lib, bu kombinatsiyaning barcha koeffitsientlari nolga teng emas. Shuningdek, vektorlar tizimi chiziqli.

Tekshiruv. Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lgani kabi, har qanday quyi tizim ham chiziqli mustaqildir.

Tugallandi.

Unda qabul qilmaylik. Quyi tizim chiziqli tarzda joylashtirilgan. Teorema shuni ko'rsatadiki, butun tizim chiziqli yotadi. Biz super asrlarni boshdan kechirdik.

Teorema 4 (Shtaynits teoremasi). Har bir teri vektorlardan tashkil topgan va vektorlarning chiziqli birikmasidir m>n vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Tekshiruv. Har qanday n-fazilatli vektorlar tizimi n dan ortiq chiziqli mustaqil vektorlarga ega bo'lishi mumkin emas.

Tugallandi. Kojen n-virtual vektor n ta bitta vektorning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi. Chunki tizim qasos oladi m vektorlar m>n, u holda, teoremaga ko'ra, bu tizim chiziqli bog'liqdir.