Markazlashtirilgan, past kuchlanishli kattalikning kuchi. Ikki fazali kattaliklar sistemasining sonli xarakteristikalari. Kovariatsiya va korrelyatsiya koeffitsienti. Vipadkovik miqdorlarni qayta tiklash

Matematik tadqiqotlar diskret o'zgaruvchan qiymat barcha yaratilishlar yig'indisi deyiladi mumkin bo'lgan ma'no ularning ishonchliligi haqida

Hurmat. Buning ma'nosi shundan kelib chiqadiki, diskret fazali qiymat va fazali bo'lmagan (statsionar) miqdor o'rtasida matematik farq mavjud.

Uzluksiz pasayish qiymatining matematik hisobini formuladan foydalanib hisoblash mumkin

M(X) =
.

Matematik hisoblar taxminan qadimiydir(Aniqroq bo'lsa, sinovlar soni shunchalik ko'p bo'ladi) o'zgaruvchan qiymatning o'rtacha arifmetik qiymati, undan qochish kerak.

Matematik tushunchaning kuchi.

Vakolat 1. Doimiy qiymatni matematik hisoblash qadimiy va zamonaviydir:

Hokimiyat 2. Doimiy multiplikatorni matematik tushunish belgisi sifatida olish mumkin:

Hokimiyat 3. Ikki mustaqil chiziqli miqdorni yaratishning matematik hisobi ularning matematik hisoblarini yaratishga o'xshaydi:

M(XY) = M(X) * M(Y).

Vakolat 4. Ikki bosqichli miqdorlar yig'indisining matematik hisobi dodanki matematik hisoblarining oldingi yig'indisi bilan bir xil:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

12.1. Yiqilish qiymati va quvvatning tarqalishi.

Darhaqiqat, ko'pincha o'rtacha qiymat atrofida tushish qiymatining tarqalishini farqlash kerak. Masalan, artilleriyada urish mumkin bo'lgan belgi yaqiniga qancha snaryad tushishini bilish muhimdir.

Bir qarashda, dispersiyani baholash uchun tushish qiymatining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini hisoblash va keyin uning o'rtacha qiymatini topish eng oson deb o'ylashingiz mumkin. Biroq, bunday yo'llar hech narsa bermaydi, chunki farqning o'rtacha qiymati, keyin M, har qanday turdagi qiymatlar uchun nolga teng.

Shuning uchun, ko'pincha boshqa yo'l bilan borish - dispersiyani hisoblash uchun vikoriydan foydalanish.

farq(Ruslar) tushish qiymati matematik hisobdan tushgan qiymat kvadratining matematik hisobi deb ataladi:

D(X) = M2.

Dispersiyani hisoblash uchun ko'pincha rivojlangan teoremaga murojaat qilish kerak.

Teorema. Dispersiya - bu X o'zgaruvchan qiymat kvadratining matematik hisoblari va matematik hisobning kvadrati o'rtasidagi farq.

D(X) = M(X 2) - 2.

Dispersiya kuchi.

Vakolat 1. Statsionar dispersiyaCnoldan oldin:

Hokimiyat 2. Doimiy ko'paytuvchini dispersiya belgisi bilan kvadratlash mumkin:

D(CX) =C 2 D(X).

Hokimiyat 3. Ikki mustaqil o'zgaruvchan miqdorlar yig'indisining dispersiyasi bu miqdorlarning dispersiyasi yig'indisiga teng:

D(X+Y) = D(X) + D(Y).

Vakolat 4. Ikki mustaqil o'zgaruvchi qiymat o'rtasidagi farqning dispersiyasi ularning farqlari yig'indisi bilan bir xil:

D (X-Y) = D (X) + D (Y).

13.1. Standartlashtirilgan tushish qiymatlari.

dispersiyasi 1 ga va matematik hisobi 0 ga teng.

Vipadkova qiymati normallashtirildi V – berilgan tushish qiymati X ning o‘rtacha kvadratik o‘zgarish s ga nisbati

O'rtacha kvadratik evolyutsiya– bu dispersiyaning kvadrat ildizi

Normallashtirilgan pasayish qiymatining matematik hisobi va dispersiyasi X ning xarakteristikalari orqali quyidagicha ifodalanadi:

de v - chiqish o'zgaruvchisi qiymatining o'zgarish koeffitsienti X.

F V (x) bo‘linish funksiyasi va f V (x) bo‘linish qalinligi uchun biz:

F V (x) = F (sx), f V (x) = f (sx),

de F(x)- Chiqish va tushish qiymatining bo'linishi funktsiyasi X, A f(x)- Bu intensivlik va xilma-xillik.

Fazali ikki o'lchovli vektor (X,Y) tizimining raqamli xarakteristikalari sifatida turli tartibli qo'pol va markaziy momentlar ko'rib chiqiladi.

Kob momenti k+s tartibida Ikki o‘lchovli miqdorlar sistemasi (X,Y) yoki ikki o‘lchovli chiziqli vektor Y s bo‘yicha X k hosil qilishning matematik hisobi deyiladi.

ak, s = M (1)

K+s tartibining markaziy momenti Ikki fazali kattaliklar tizimi (X,Y) yaratish uchun matematik hisob deyiladi.

de , - markazlashtirilgan qiymatlar.

Markazlashtirilgan Tushilgan qiymat matematik hisobdan tushadigan qiymatning o'zgarishi deb ataladi.

Diskret to'lqin shaklidagi miqdorlar tizimi uchun (X, Y) biz rad etishimiz mumkin

P (X = x i, Y = y j) = p ij

Uzluksiz o'zgaruvchan miqdorlar tizimi uchun (X, Y)

Tartibda; ... uchun cob (yoki markaziy moment) k+s indekslarining yig'indisi deyiladi.

Birinchi narsalar:

a 1,0 = M = M [X] = m x, a 1,0 = m x

a 0,1 = M = mening, a 0,1 = mening (7)

X va Y tushish qiymatlarining matematik hisoblari.

Birinchi tartibning markaziy momentlari tabiiy ravishda nolga intiladi.

Pochatkovning lahzalari boshqacha tartibda:

Boshqa tartibdagi markaziy nuqtalar:

Birinchi ikki moment dispersiyani ifodalaydi, uchinchisi esa chaqiriladi yondashuv(yoki korrelyatsiya momenti) tushish qiymatlari (X,Y), K xy bilan belgilanadi:

Aniqlangan kovariatsiya uchun

Kxy = Kyx (11)

tobto. Indekslarni bir kundan ikkinchi kunga o'zgartirganda, kovariatsiya o'zgarmaydi.

Yiqilish qiymatlarining tarqalishi bo'lishi mumkin okremy vipadok foydalanish imkoniyati:

tobto. O'zgaruvchan qiymatlarning tarqalishi "o'z-o'zidan kovariatsiya" dan boshqa narsa emas. (Mustaqil o'zgaruvchan qiymatlar uchun kovariatsiya 0 ga teng. Mustaqil ravishda sozlang).

K xy kovariatsiyasi quyi tartibli kob momentlari orqali qo'lda ifodalanishi mumkin:

K xy =a 1,1 -a 1,0 ×a 0,1 yoki oldin xy =M-M[X]×M[Y] (13)

Ushbu formulani eslab qolishga arziydi: ikki fazali miqdorlarning kovariatsiyasi matematik hisob-kitoblarni qo'shishni hisobga olmaganda, uni yaratishning matematik hisobiga teng.

Kovariatsiya pasayish qiymatlarining davomiyligi bosqichini tavsiflaydi, a.k.a. Ularning nuqta atrofida chizishlari (m x, m y).

Kovariatsiyaning o'lchovliligi X va Y fazali kattaliklarning o'lchamlariga qo'shimcha qo'shimcha hisoblanadi. Uzoq umrni tavsiflovchi o'lchovsiz qiymatni saqlash uchun kovariatsiya qattiq p.c.o.ga bo'linadi. s x s y .

r xy = K xy / s x s y (14)

r xy miqdori deyiladi korrelyatsiya koeffitsienti tushish qiymatlari X va Y. Bu koeffitsient bosqichini tavsiflaydi chiziqli bu miqdorlarni saqlash. Bir turdagi kuzning o'sishi bilan qiymatning uzoq umr ko'rishi ham o'sish (va o'zgarish) tendentsiyasini ko'rsatadi. Birinchi epizodda r xy >0 va X va Y faza qiymatlari ijobiy korrelyatsiya bilan bog'langanga o'xshaydi, ikkinchisida r xy<0, и корреляция отрицательна.

X va Y o'zgaruvchan miqdorlarning har qanday turi uchun

Ikki fazali kattaliklarning kovariatsiyasi nolga teng bo'lgani uchun: K xy = 0, u holda X va Y fazali miqdorlar deyiladi. koreys emas agar K xy ¹0 bo'lsa, u holda Korelianami.

O'zgaruvchan qiymatlarning mustaqilligi tufayli korrelyatsiya etishmasligi mavjud; Chiziqli qiymatlarning korrelyatsiyasizligidan (r xy =0) Proteus ham ularning korrelyatsiyasizligini ko'rsatadi. r xy = 0 bo'lgani uchun, bu ko'proq narsani anglatadi chiziqli ulanishlar soni tushish qiymatlari o'rtasida; Boshqa har qanday ulanish turi mavjud bo'lishi mumkin.

Vipadkovik miqdorlarni qayta tiklash

Teri vipade qiymati ortida X yana uchta miqdorni bildiradi - markazlashtirilgan Y normallashtirilgan V Men buni ta'kidlayman U. Vipadkova miqdori markazlashtirilgan Y- berilgan tushish qiymati orasidagi farq X va matematika fanlariga M(X), tobto. Y = X - M (X). Markazlashtirilgan va chiziqli qiymatni matematik hisoblash Y 0 ga teng, dispersiya esa berilgan o‘zgaruvchan qiymatning dispersiyasidir: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Ro'yxat funktsiyasi F Y(x) markazlashtirilgan tushish qiymati Y bo'linish funktsiyasi bilan bog'liq F(x) chiqish va tushish qiymatlari X munosabatlaringizga:

F Y(x) = F(x + M(X)).

Ushbu tushish qiymatlarining qalinligi uchun tenglik amal qiladi

f Y(x) = f(x + M(X)).

Vipadkova qiymati normallashtirildi V- Bu berilgan tushish qiymatlari o'rtasidagi bog'liqlik X o'rtacha kvadratik qiymatga, keyin. . Normallashtirilgan tushish qiymatining matematik hisobi va dispersiyasi V xususiyatlar orqali o'zini namoyon qiladi X Shunday qilib:

,

de v- chiqish fazasi qiymatining o'zgarish koeffitsienti X. Bo'linish funktsiyasi uchun F V(x) va qalinligi f V(x) normallashtirilgan pasayish qiymati V ma'mo:

de F(x) - Chiqish va tushish qiymatining bo'linishi funktsiyasi X, A f(x) - Bu intensivlik va xilma-xillik.

Vipadkova qiymati induktsiya qilinadi U- qiymat markazlashtirilgan va normallashtirilgan:

.

Induktsiya qilingan tushish qiymati uchun

Normalizatsiya, markazlashtirish va induktsiya qiymatlari nazariy tadqiqotlarda ham, algoritmlar, dasturiy mahsulotlar, normativ-texnik va o'quv-uslubiy hujjatlarda ham doimiy ravishda ishlab chiqilmoqda. Zokrema, rashkchi usullarni ishlab chiqish, teoremalarni shakllantirish va formulalarni ishlab chiqishni soddalashtirishga imkon beradi.

Vikoristovuyutsya kuzgi qiymatlarni qayta yaratish va kattaroq reja. Ha, ha Y = aX + b, de aі b- Deyaki raqamlari

Butt 7. Shunga o'xshash narsa Y– tushish qiymati induktsiya qilinadi va (8) formula (7) formulaga o'tkaziladi.

Terining vipade qiymati bilan X hech qanday kuzgi qiymatlarsiz trikotaj qilinishi mumkin Y, formula bilan berilgan Y = aX + b turli uchun a> 0 bu b. Bu qo'ng'iroq qilish uchun shaxsiy bo'lmagan narsa katta oila, keling, vipadka qiymatini yarataylik X. Bo'limning funktsiyalari F Y(x) bo'linish funktsiyasi tomonidan yaratilgan keng ko'lamli bo'linmalar oilasini birlashtiring F(x). Zamist Y = aX + b ko'pincha vikorist posti

Raqam h zsuwu parametri va raqam deb ataladi d- masshtab parametri. Formula (9) buni ko'rsatadi X- har qanday kattalikdagi o'zgarish natijasi - o'ting U- vimiruning natijasi bir xil o'lchamda bo'ladi, agar vimiru kobi nuqtaga ko'chirilsa. h, va keyin yangi yo'q bo'lib ketish birligini vikorystovat, d qarilik uchun yana bir bor.

Keng miqyosdagi vatan uchun (9) bo'linish X standart deb ataladi. Standart normal bo'linma, standart Veybull-Gnidenko bo'limi, standart gamma bo'linmasi va boshqalar boshqa amaliy tadqiqotlar uchun ilmiy va statistik usullarda qo'llaniladi. (quyida bo'lim).

Kutish qiymatlarining boshqa o'zgarishlarini to'xtatib turish. Misol uchun, ijobiy tushish qiymati uchun X qaramoq Y= jurnal X de lg X– sonning o‘ninchi logarifmi X. Rashklar nayzasi

FY(x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)

funksiyalarni bo‘linmalar bilan bog‘laydi Xі Y.

Yiqilish qiymatining yana bir xususiyati bo'linish qonunidir. Darhaqiqat, bu xususiyatni kelajakda eksperimental natijalarni birlashtirish orqali yo'q qilish mumkin. Ushbu epizodlarda bo'linish qonunlari o'rniga vikorist epizodik qiymatlarni tavsiflashga yondashadi, ular yuzaga kelmaydigan xususiyatlarning minimal sonidan oshadi. Ushbu xususiyatlarning soni kichik bo'lishi mumkin, ammo bo'linishning eng muhim xususiyatlarini aks ettirish kerak:

· pasayish qiymatini matematik hisoblash;

· Dispersiya (nol tartibli moment, 1-chi).

Diskret o'zgaruvchan qiymatning eng oddiy raqamli xarakteristikasi X - o'rtacha qiymat: bu erda - o'zgaruvchan qiymatning o'rtacha qiymati; N - namunalar soni; - sinovdan o'tkazilganda N da qabul qiladigan pasayish qiymatining qiymati.

Ushbu seriyadagi diskret o'zgaruvchan qiymat qiymatining dispersiyasini tavsiflash uchun o'zgaruvchan qiymat qiymatlari va o'rtacha qiymatlar o'rtasidagi farqning kvadrati hisoblanadi: , X o'zgaruvchan qiymatining de-statistik dispersiyasi. Amaliy Hunka bilan, dispersiya o'rniga, o'rtacha kvadrat o'zgarishi turg'un bo'ladi: qiymat qanchalik kichik bo'lsa, bosqichli qiymatlar qanchalik guruhlangan bo'lsa, oqning qiymati o'rtacha qiymatdir.

Tajriba natijalari bitta o'zgaruvchan qiymat bilan tavsiflanganligi sababli va ushbu xususiyatlarga qo'shimcha ravishda ushbu o'zgaruvchan qiymatlar orasidagi uzluksizlik bosqichini tavsiflovchi qiymatlar kiritiladi. Bunday xususiyatlar kontekstida, masalan, ushbu tadqiqotlar seriyasi uchun 2 turdagi x va y qiymatlari uchun quyidagi qiymat qabul qilinadi: . Rashk (4) - statik korrelyatsiya momenti. Ortib borayotgan chastota qiymatlari bilan bu bosqichlarning ko'rinishi ehtimollikka yaqinlashadi. Va matematik hisob-kitob qiymatining arifmetik o'rtacha qiymati: qiymatning haqiqiyligi paydo bo'ldi. Ushbu atama, X diskret o'zgaruvchi qiymatining matematik hisobi, bu qiymatlarning ko'rinishining izchilligi bo'yicha barcha mumkin bo'lgan x qiymatlarini yaratish yig'indisidir. , Yiqilish qiymatining dispersiyasi farq kvadratining matematik hisobi deb ataladi. Vipadkova miqdori markazlashtirilgan, , . Korrelyatsiya momenti: tushish qiymati nima ekanligini aldash x, y ma'nosini qabul qiling x i, y i, .

Vaqtinchalik bo'lmagan o'zgaruvchan qiymatlar uchun matematik hisob, dispersiya va korrelyatsiya momenti qalinlik orqali hisoblanadi: .

Mustaqil kuz qiymatlari uchun: todi , . Ko'rinib turibdiki (9) mustaqil tushish qiymatlari uchun ikkita tushish qiymati 0 o'zgaruvchan qiymatga ega, bu ular o'rtasida yolg'on mavjudligini ko'rsatadi. Ushbu qiymatlar korrelyatsiya bo'lmagan qiymatlar deb ataladi. miqdorlarning saqlanishini, ularning tarqalishini tavsiflaydi. Agar, masalan, X yoki Y miqdorlaridan biri uning matematik tushunchasidan unchalik ko'rinmas bo'lsa, u holda korrelyatsiya momenti kichik bo'ladi, qanchalik muhim bo'lmasin, odamning miqdorlari kichik emas.

Ushbu kamchilikni bartaraf etish uchun o'lchovsiz xarakteristika kiritiladi, bu korrelyatsiya koeffitsienti deb ataladi: . Agar biz mexanik talqindan foydalansak, u holda abscissa figuraning og'irlik markazi, dispersiya esa tekis figuraning inertsiyasi bo'lishi mumkin.