Nolga tushadigan funktsiyalarni qo'shish.

Kanoplar

Golovna cheksiz kichik va buyuk sanash

Cheksiz kichik hisoblash

- cheksiz kichik miqdorlardan hosil bo'lgan hisob-kitoblar, bunda yakuniy natija cheksiz kichik miqdorlarning cheksiz yig'indisi sifatida qabul qilinadi. Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblash zamonaviy matematikaning asosi bo'lgan differentsial va integral hisoblar uchun asosiy tushunchadir. Cheksiz kichik kattalik tushunchasi chegara tushunchasi bilan chambarchas bog'liq. Juda kichik Ketma-ketlik a

n chaqirdi cheksiz kichik yakscho .

n Masalan, raqamlar ketma-ketligi cheksiz kichikdir. Funktsiya chaqiriladi chekkasida cheksiz kichik nuqta .

x 0, yakscho nomuvofiqlik bo'yicha cheksiz kichik(cheksiz kichik) − Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblash zamonaviy matematikaning asosi bo'lgan differentsial va integral hisoblar uchun asosiy tushunchadir. = α( cheksiz kichik) , .

, yakscho

yoki boshqa cheksiz kichik Bundan tashqari, funktsiya cheksiz darajada kichik, ya'ni funktsiyalar va chegaralar o'rtasida farq bor, shuning uchun cheksiz kichik, Bu

- cheksiz kichik miqdorlardan hosil bo'lgan hisob-kitoblar, bunda yakuniy natija cheksiz kichik miqdorlarning cheksiz yig'indisi sifatida qabul qilinadi. Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblash zamonaviy matematikaning asosi bo'lgan differentsial va integral hisoblar uchun asosiy tushunchadir. Cheksiz kichik kattalik tushunchasi chegara tushunchasi bilan chambarchas bog'liq. Juda kichik f Funktsiya chaqiriladi .

n Cheksiz katta hajm cheksiz kichik yakscho .

n Quyidagi barcha formulalarda o'ng qo'lning nomuvofiqligi qo'shiq belgisiga (ortiqcha yoki minus) hurmatga asoslangan. Funktsiya chaqiriladi chekkasida cheksiz kichik nuqta .

Masalan, funktsiya

gunoh

, har ikki tomondan chegaralanmagan, cheksiz katta emas.
cheksiz ajoyib

nuqtaning chekkasida cheksiz ajoyib

cheksizlikda cheksiz buyuk cheksiz kichik Cheksiz kichik va cheksiz buyuk kuchlar cheksiz kichik Cheksiz kichik miqdorlarni tenglashtirish

Cheksiz kichik miqdorlarni qanday sozlash mumkin?

Cheksiz kichik miqdorlarni o'rnatish ahamiyatsizlik deb ataladigan narsani yaratadi.

Viznachennya Faraz qilaylik, bizda bir xil qiymat uchun cheksiz kichik qiymatlar mavjud a() va b( cheksiz kichik 5 = ) (yoki ma'no uchun hech qanday ahamiyatga ega bo'lmasa-da, ketma-ketlik cheksiz kichik).(cheksiz kichik 3). Bunday ma'lumotlarni hisoblash uchun L'Hopital qoidasidan foydalanish tavsiya etiladi. 2cheksiz kichik 2 + 6cheksiz kichik = Tozalashni qo'llang(cheksiz kichik) і cheksiz kichik = Tozalashni qo'llang(2cheksiz kichik 2 + 6cheksiz kichik).

Z vikoristannyam

nuqtaning chekkasida cheksiz ajoyib

Haqida - Belgilar va natijalar real vaqt rejimida yozilishi mumkin ().
o

Bunday holda, adolatli yozuvlar

O

Ekvivalent qiymatlar.

Darhaqiqat, a va b juda kichik miqdorlar deyiladi

ekvivalent

Shubhasiz, biz ekvivalent miqdorlarni bir xil kichiklik tartibidagi cheksiz kichik miqdorlar qatori bilan yaxlitlaymiz. Agar quyidagi ekvivalentlik to'g'ri bo'lsa (o'rtadagi yirtqich hayvonlarning merosi kabi):TeoremaCheksiz kichik kattalik tushunchasi chegara tushunchasi bilan chambarchas bog'liq. 2cheksiz kichik Ikki cheksiz kichik miqdor o'rtasida hech qanday o'zgarish bo'lmaydi, agar ulardan biri (yoki qoidabuzarlik) ekvivalent miqdor bilan almashtirilmasa. cheksiz kichik Bu teorema (div. dumba) orasidagi tushunishga kelganda amaliy ahamiyatga ega.

Vikoristanny dumba

"Cheksiz kichik" tushunchasi qadimgi davrlarda bo'linmas atomlar tushunchasi bilan bog'liq holda muhokama qilingan, ammo u klassik matematikaga aylanmagan.

16-asrda "individual usul" paydo bo'lishi - kichik sohalarda tadqiqotning rivojlanishi bilan yana paydo bo'la boshladi. 17-asrda cheksiz kichik sonlarni algebralash rivojlandi. Noxush hid paydo bo'la boshladi

raqamli qiymatlar , bu har qanday oxirgi (nol bo'lmagan) qiymatdan kichik va hali ham nolga teng emas. Tahlilning maqsadi cheksiz kichik (differensial) sodir bo'lgan murakkab munosabatlarda va uning integratsiyasida yotadi. Qadimgi maktab matematiklari kontseptsiyani ishlab chiqdilar cheksiz kichik

qattiq tanqid.

Mishel Rol yangi raqam "

daho sovg'alar to'plami

";

Volter, isbotlab bo'lmaydigan nutqlarni hisoblash va to'g'ri o'chirish uchun hisob-kitob kuchini juda hurmat qildi. Biroq, Gyuygens yuqori darajadagi farqlar tuyg'usini tushunishini bilar edi. Ajablanarlisi shundaki, asrning o'rtalarida nostandart tahlilning paydo bo'lishini ko'rish mumkin, bu birlamchi nuqtai nazar - haqiqiy cheksiz kichiklar ham ajoyib emasligini va tahlil qilish uchun asos sifatida ishlatilishi mumkinligini ko'rsatadi. .

Div. shuningdek Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Cheksiz kichik kattalik" nima ekanligiga hayron bo'ling:

JUDA KICHIK QIYMAT

- Joriy jarayondagi o'zgaruvchan qiymat, chunki bu jarayonda u cheksiz ravishda (pragna) nolga yaqinlashadi ... Katta politexnika entsiklopediyasi

nuqtaning chekkasida cheksiz ajoyib

- cheksiz kichik miqdorlardan hosil bo'lgan hisob-kitoblar, bunda yakuniy natija cheksiz kichik miqdorlarning cheksiz yig'indisi sifatida qabul qilinadi. Cheksiz kichik qiymat - ■ Bu noma'lum, lekin gomeopatiya bilan bog'liq bo'lishi mumkin ... Buyuk haqiqatlar leksikasi
Cheksiz katta ketma-ketlikda amalga oshirilishi.
Kontseptsiya cheksiz uzoq nuqtalar atrofida ko'rib chiqiladi.
.
Ketma-ketliklarning universal belgilanishi ham oxirigacha, ham oxirigacha bo'lgan intervalgacha beriladi.
Cheksiz katta konsistensiyadagi turg'un dumbaning dumbasi tekshiriladi. Zmist.

Div. shuningdek: 0 0, yakscho
( Ketma-ketliklar orasidagi ahamiyat).
(bn)
( cheksiz buyuk ketma-ketlik deyiladi).

, chunki har qanday, nechta abadiy buyuk M soni uchun M ning ostida joylashgan N M natural soni mavjud bo'lib, barcha natural n > N M uchun tengsizlik mavjud bo'ladi.
(1) .
(2) .
(3) .

(2) va (3) intervalli ketma-ketliklar va cheksiz katta ketma-ketlikning qo'shni shoxlari (1).
.
Shundan kelib chiqadiki, agar ketma-ketliklar orasida qadimgi plyus yoki minus nomuvofiqliklar mavjud bo'lsa, unda qadimgi va nomuvofiqliklar ham mavjud:

Orqaga, shubhasiz, to'g'ri emas.

Ketma-ket a'zolari belgilangan ona belgilari bo'lishi mumkin. > 0 Bunday holda, chegaralar nomuvofiqliklar bilan to'ldirilishi mumkin, ammo qo'shiq belgisisiz.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, hokimiyat chegaralar orasidagi ma'lum bir izchillikka bog'langan bo'lib, bu qadimgi nomuvofiqlik bo'lsa, u holda bu kuch ortiqcha yoki minus nomuvofiqlik bo'lgan mustahkamlik bilan bog'langan. > 0 Ko'p hollarda matematik tahlil M sonining ijobiy ekanligini ko'rsatadi: M

.

Biroq, bu narxga ega.

Agar biror narsani tishlasangiz, unda siz boshqa axlatni ayblamaysiz.
Biz uchun ozgina salbiy ma'no hech qanday qiziqish uyg'otmaydi. M.ning har qanday katta ijobiy qadriyatlarida izchillik harakati bizni hayratda qoldirdi.
Shuning uchun, agar bu kerak bo'lmasa, uni oldindan a raqamini hisobga olgan holda pastdan chegaralash mumkin, shunda M > a. M.ning har qanday katta ijobiy qadriyatlarida izchillik harakati bizni hayratda qoldirdi.
Agar biz e - oxirgi nuqtaning tashqi tomonini nazarda tutgan bo'lsak, u holda e dan foydalanishimiz mumkin M.ning har qanday katta ijobiy qadriyatlarida izchillik harakati bizni hayratda qoldirdi.

Biz muhimmiz.
(4) ,
Salbiy qiymatlar bilan tengsizlikni tuzatish mumkin emas. 1 Cheksiz uzoq nuqtalar atrofida 2 Agar biz oxirgi chegaralarga qaragan bo'lsak, biz nuqtaning atrofini ko'rmadik.

Biz oxirgi nuqta atrofida bu nuqtani joylashtirish uchun yopiq oraliq mavjudligini eslaymiz.

Shu tarzda biz cheksiz uzoq nuqtalar atrofida tushunishni ta'minlay olamiz..
M etarli son bo'lsin.

"Muvofiqlik" nuqtasi atrofida

Ketma-ketlik atrofida hokimiyat, nima borish kerak
A nuqta (terminal yoki cheksiz uzoq) ketma-ketlikning chegarasi bo'lishi uchun bu nuqta atrofidagi har qanday aylana o'rtasida ketma-ketlik hadlarining terminal soni yoki bo'sh multiplikator bo'lishi kerak va etarli.
Tugallandi.

Xuddi shu tarzda, e - cheksiz uzoq nuqtalar atrofida tushunchasini kiriting.
Ko'rinib turibdiki, e - oxirgi nuqta atrofidagi maydon nuqtasiz deyiladi.
Keling, quyidagi ma'noni keltiramiz.
.
Nehai e - a nuqtasi atrofida degan ma'noni anglatadi.
;
;
.
Yakuniy nuqta uchun Todi,

Cheksiz uzoq nuqtalar uchun: > 0 Vikoristlarning e - aylana tushunchasiga asoslanib, ketma-ketliklar orasidagi yana bir universal ma'no berilishi mumkin:
.

A nuqtasi (oxirgi nuqta cheksiz uzoqda) har qanday musbat e sonidagi kabi ketma-ketlikning chegarasi.
.

E ostida shunday natural N e soni borki, barcha n > N e hadlari uchun x n e - nuqta doirasi yotadi:

Mantiqiy belgilar yordamida ma'no va ma'no quyidagicha yoziladi:

.

.
Cheksiz ajoyib ketma-ketliklarni qo'llang
(1) .
Butun 1
.

Biz cheksiz ajoyib ketma-ketlikda yozamiz:
.
Bizning vipadkaga
.
Ularni tengsizliklar bilan bog'laydigan raqamlarni kiriting:
Tengsizliklar kuchining orqasida, xuddi shunday, keyin
Azizim, bu tengsizlik bilan har qanday n uchun tugaydi.

Siz uni quyidagicha tanlashingiz mumkin:
.
da;

da.

Xo'sh, har kim uchun tashvishni qondiradigan tabiiy raqamni bilish mumkin.
.

(2) .
Todi hamma uchun,
.

Tse nimani anglatadi.
.
.

Shunday qilib, mustahkamlik cheksiz ajoyibdir.
.
Button 2

.

Buni ko'rsatishning cheksiz katta izchilligiga mos keladi

Xo'sh, har kim uchun tashvishni qondiradigan tabiiy raqamni bilish mumkin.
.

Berilgan ketma-ketlikning yakuniy a'zosi quyidagicha ko'rinadi:
(3) .
Todi hamma uchun,
.

Tse nimani anglatadi.
.
Raqamlarni kiriting:
.

Keyin har kim uchun tengsizliklarni qondiradigan natural sonni topishingiz mumkin, shuning uchun hamma uchun,
.

Tse nimani anglatadi.
.

Butun 3

Xo'sh, har kim uchun tashvishni qondiradigan tabiiy raqamni bilish mumkin.
.

Biz ketma-ketliklar orasidagi farqni yozamiz, bu doimiylikning qadimgi minuslari:
.
Yulduz shuni ko'rsatadiki, shunday bo'ladi
(2) .

Agar tengsizlikni qanoatlantiradigan natural sonni bilish mumkin bo'lsa, u holda = 1, 2, 3, ... 0, yakscho
;
;
.

N sifatida berilgan bo'lsa, siz tengsizlik darajasini qanoatlantiradigan har qanday natural sonni olishingiz mumkin:
.
Raqamlarni kiriting:
.

Butun 4
.
Button 2

Vipishemo zagalnyj a'zolar ketma-ketligi:
Qadimgi va nomuvofiqliklar bo'lgan ketma-ketliklar orasidagi ma'noni yozamiz:
n fragmentlari natural son, n

- Joriy jarayondagi o'zgaruvchan qiymat, chunki bu jarayonda u cheksiz ravishda (pragna) nolga yaqinlashadi ...

Raqamlar va M ni kiriting, ularni tengsizliklar bilan bog'lang: Xo'sh, har qanday M soni uchun noaniqlikni qondiradigan natural sonni topishingiz mumkin. Juda kichik Ketma-ketlik Todi hamma uchun, Vikoriston adabiyoti: L.D. cheksiz kichik→∞, yakshto yoki, tobto.

Cheksiz kichik funktsiya nuqtalari nolga teng bo'lgan funktsiyadir.

qo'llang. 1. Funktsiya=(cheksiz kichik f(x) cheksiz kichik-1) 2 ê cheksiz kichik da

→1, fragmentlar (bo'lim - rasm). 1. Funktsiya 2. Funktsiya cheksiz kichik= tg cheksiz kichik→0.

3. 1. Funktsiya- cheksiz kichik da cheksiz kichik= jurnal (1+ cheksiz kichik→0.

4. 1. Funktsiya = 1/cheksiz kichik= tg cheksiz kichik→∞.

) - cheksiz kichik da

Keling, muhimroq munosabatlarni o'rnatamiz: Teorema. Xo'sh, har qanday M soni uchun noaniqlikni qondiradigan natural sonni topishingiz mumkin. Funktsiya nima Vikoriston adabiyoti: bilan ifodalanadi Sizda aniq raqam borga o'xshaydi b va cheksiz kichik kattalikka ega a(x): f(x)=b+ a(x)

bular. O'shanda f(x)=b+a(x) , de= tg a(x)

x→a..

Tugallandi O'shanda 1. Qattiqlashuvning bir qismini tugatamiz. G'ayrat bilan iz , de| f (x) - b | = | a|. cheksiz kichik Ale juda yaxshi , de– cheksiz kichik, u holda yetarli e uchun d – nuqtaning tashqi tomoni topiladi a,< hammaning oldida nima maqsadda< munosabatlardan mamnun

|a(x)| >0 e. Todi|f(x) – b| Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblash zamonaviy matematikaning asosi bo'lgan differentsial va integral hisoblar uchun asosiy tushunchadir. e. nima maqsadda< Va tse nimani anglatadi. 2. Yakshto, keyin nima uchun e 0, yakscho a,< hamma uchun Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblash zamonaviy matematikaning asosi bo'lgan differentsial va integral hisoblar uchun asosiy tushunchadir. X

faoliyat bilan d - nuqta atrofida

bo'ladi e.

x→a. Ale yakscho muhim ahamiyatga ega f(x) - b = a e, ce esa shuni anglatadi > - cheksiz kichik. δ> Keling, cheksiz kichik funktsiyalarning asosiy kuchini ko'rib chiqaylik. cheksiz kichik Teorema 1. Ikki, uch va har qanday cheksiz kichik sonlarning algebraik yig'indisi cheksiz kichik funktsiyadir.<δ . Keling, ikkita Dodanga dalil keltiraylik.< ε.

Qani ketdik > f(x)=a(x)+b(x) , de i. Yaxshilik uchun yaxshi bo'lgan narsa kichik uchun yaxshi ekanligini etkazishimiz kerakmi? > 0 bilaman Ikki, uch va har qanday cheksiz kichik sonlarning algebraik yig'indisi cheksiz kichik funktsiyadir.< 0, nima uchun a,< ε / 2. notekislikni nima qondiradi | x – a |, vikonuvetsya > 0 bilaman Ikki, uch va har qanday cheksiz kichik sonlarning algebraik yig'indisi cheksiz kichik funktsiyadir.< |f(x)| Shunday qilib, keling, etarli miqdordagi e ni tuzatamiz< ε / 2.

0. Mental teoremaning qoldiqlari a(x)- funktsiya juda kichik, unda bunday narsa bormi? , 0, nima uchun } 1 may Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblash zamonaviy matematikaning asosi bo'lgan differentsial va integral hisoblar uchun asosiy tushunchadir. Xuddi shunday, parchalar δ b(x) a,< ε / - cheksiz kichik bo'lsa, u holda d 2 ham bo'ladi Shunday qilib, keling, etarli miqdordagi e ni tuzatamiz< ε / 2. 2 may

|| ≤ b(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

Keling, olamiz Keling, ikkita Dodanga dalil keltiraylik.< d=min(

d 1 d2 , de. Todi nuqtaning chekkasida 1. Funktsiya Todi hamma uchun, Vikoriston adabiyoti: radius Terida nosimmetrikliklar mavjud 2 ta

x→a. Xo'sh, siz bu chekkada bo'lasiz 1. Funktsiya|f(x)|=| a(x)+b(x)|a(x)| cheksiz kichik+ | b(x)| tobto. , de e, nimani tarbiyalash kerak edi. Vikoriston adabiyoti: Teorema 2. > Cheksiz kichik funktsiyani qo'shish Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblash zamonaviy matematikaning asosi bo'lgan differentsial va integral hisoblar uchun asosiy tushunchadir. o'zaro bog'langan funktsiyaga a,< ε (yoki agar x→∞ ) juda kichik funksiyadir.< ε (yoki agar. Funktsiyaning qoldiqlari o'rab olingan, keyin juda ko'p Terida nosimmetrikliklar mavjud M

shunday, bu hamma uchun nimani anglatadi?

nuqtadan a|f(x)|≤M.

Bundan tashqari, parchalar- juda kichik funksiya qachon , keyin yetarli e uchun 0 nuqta atrofida topasiz

tengsizlik bor joyda/M , de i.. 1. Funktsiya Atrofimizdagi eng kichik hududda Todi

x→a.| af| Funktsiya cheklangan.

Demak, bu o'zaro bog'langan funksiyada cheksiz kichik funksiya mavjudligini bildiradi.

JUDA KICHIK QIYMAT

- Joriy jarayondagi o'zgaruvchan qiymat, chunki bu jarayonda u cheksiz ravishda (pragna) nolga yaqinlashadi ... funksiya cheksiz kichik.
Nuqtadagi cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalarning ahamiyati va kuchi.

Hakimiyat va teoremalarni isbotlang.

Cheksiz kichik va cheksiz buyuk funktsiyalar orasidagi bog'lanishlar. 0 Cheksiz kichik mustahkamlik - ahamiyat va kuch

Cheksiz buyuk ketma-ketliklarning kuchi
Cheksiz kichik va cheksiz katta funktsiyalarning ahamiyati Keling, x Juda kichik Ketma-ketlik Oxirgi nuqta yoki cheksiz uzoq nuqta mavjud: ∞, -∞ yoki +∞. 0 0 Cheksiz kichik funksiyaning ahamiyati
.

Funktsiya a
(x) Keling, x Juda kichik f Oxirgi nuqta yoki cheksiz uzoq nuqta mavjud: ∞, -∞ yoki +∞. 0 y x pragnenny x 0 , va nolga teng:
.

Cheksiz buyuk funktsiyaning ahamiyati

Funktsiya f

chunki funktsiya x → x o'rtasida harakat qiladi, va eski nomuvofiqliklar: 0 Cheksiz kichik funktsiyalarning kuchi 0 .

Yig'indining kuchi, farqi va cheksiz kichik funktsiyalarni yaratadi

Yig'indi, farq va tvir

x → x kabi cheksiz kichik funktsiyalarning terminal soniê x → x kabi cheksiz kichik funktsiya 0 Bu kuch funksiyalar orasidagi arifmetik kuchlarning bevosita merosidir. 0 Cheksiz kichik ustida chegaralangan funksiya yaratish haqidagi teorema 0 .

Funksiya qo‘shilishi, o‘zaro bog‘langan

x nuqtasining teshilgan chetida Keling, x, cheksiz kichik, x → x kabi
,
, x → x kabi cheksiz kichik funksiyadir 0 .

Doimiy va cheksiz kichik funktsiya shaklida funktsiyalarni taqdim etish haqida kuch

f funktsiyasi uchun

oxirgi bo'shliq kichik, bu zarur va etarli, shuning uchun 0 de - x → x kabi cheksiz kichik funktsiya 0 Cheksiz buyuk funktsiyalarning kuchi Chegaralangan funktsiya yig'indisi va cheksiz kattalik haqidagi teorema x nuqtasining har qanday teshilgan chetidagi o'zaro bog'langan funktsiyaning yig'indisi yoki farqi 0 .

, va cheksiz katta funksiya, x → x kabi

, ê cheksiz Keling, x ajoyib funksiya 0 x → x sifatida Keling, x Cheksiz kattalikda cheklangan funksiya ostida maxfiylik haqidagi teorema 0 0, yakscho
.

f funktsiyasi nima

x → x kabi cheksiz buyuk
,
, va g funksiyasi 0 :
,
- x nuqta atrofida teshilgan halqa bilan o'ralgan
.

Cheksiz kichikda quyida chegaralangan funksiyaning kichik bo‘limining maxfiyligi haqidagi teorema

Funktsiya nuqta atrofidagi har qanday teshilishda mutlaq qiymatda pastda musbat raqam bilan o'ralganligi sababli:
,
va funksiya cheksiz kichik bo'lib, x → x
,
Va nuqta atrofidagi maydon aniq teshilgan, shuning uchun
.

Cheksiz katta funksiyalarning tengsizliklari kuchi

Funktsiya quyidagi hollarda cheksiz ajoyib:
.
va funksiyalar nuqtaning har qanday teshilgan maydonida tengsizliklarni qondiradi:
u holda funktsiya ham cheksiz katta:

Cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar orasidagi bog'lanishlar

Ikki old hokimiyatdan cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasida bog'liqlik mavjud.

Funktsiya da cheksiz katta bo'lgani uchun, funksiya cheksiz kichik bo'ladi.

Funktsiya da cheksiz kichik bo'lgani kabi, funksiya ham cheksiz katta bo'ladi.

Cheksiz kichik va cheksiz buyuk funktsiya o'rtasidagi bog'liqlik ramziy ravishda ifodalanishi mumkin:
, .

Juda kichik funktsiyaning kichik belgisi bo'lganligi sababli, u nuqtaning har qanday teshilgan joyida ijobiy (yoki manfiy) bo'lsa, uni quyidagicha yozishimiz mumkin:
.
Shunday qilib, qo'shiq belgisining cheksiz buyuk funktsiyasi uchun , keyin yozing:
, yoki .

Cheksiz kichik va cheksiz buyuk funktsiyalar o'rtasidagi bu ramziy bog'lanishni quyidagi bog'lanishlar bilan to'ldirish mumkin:
, ,
, .

Davomiylik belgilarini bog'laydigan qo'shimcha formulalarni sahifada topish mumkin
"Ularning kuch nuqtalari cheksiz uzoqda."

Quvvat va teoremalarni isbotlash

Cheksiz kichik ustida o'zaro bog'langan funktsiyani yaratish haqidagi teoremani isbotlash

Bu teoremani isbotlash uchun tezlikdan foydalanamiz.

Va shuningdek, cheksiz kichik ketma-ketliklarning vikoryistik kuchi, shuning uchun
Azizim, bu tengsizlik bilan har qanday n uchun tugaydi.

Funktsiya cheksiz kichik bo'lsin va funktsiya nuqta atrofida teshilish bilan o'ralgan:

.
,
Parchalar qirralarning orasida joylashgan, nuqtaning qirralari teshilgan va funktsiya ko'rsatilgan.
.

Keling, atrofni aylanib chiqaylik.
.
.

Keyin funksiya unda belgilanadi.

va ketma-ketlik cheksiz kichik:

Gap shundaki, bir-biriga bog'langan ketma-ketlikning qo'shilishi cheksiz kichik va ketma-ketlik cheksiz kichikdir: Teorema isbotlangan.
.
Funktsiyani statsionar va cheksiz kichik funktsiya yig'indisi sifatida tasvirlashning qat'iyligini isbotlash
.
Zaruriyat
.
.

Funktsiya oxirgi nuqtada ishlasin Funktsiyani ko'rib chiqaylik:
.

Turli funktsiyalar o'rtasidagi vikorist kuch, biz aytishimiz mumkin:

Bu juda kichik funksiya.

Mavjudligi

Azizim, bu tengsizlik bilan har qanday n uchun tugaydi.

.

Menga ruxsat bering.
.
Ushbu funktsiyalar orasidagi quvvat aniqlanadi:
,
Quvvat yetkazib berildi.
.

Chegaralangan funksiya va cheksiz kattalik yig‘indisi haqidagi teoremaning isboti
.
Teoremani isbotlash uchun biz Hein orqasidagi interfunktsiyalarni tezda hisoblaymiz
.

Keyin funksiya unda belgilanadi.

Cheksiz katta masshtabdagi umumiy funksiyaning maxfiyligi haqidagi teoremaning isboti

Geynega ko'ra interfunksiyalarning tezkor ahamiyatini isbotlash.

Xuddi shunday, cheksiz buyuk ketma-ketliklarning g'alabali kuchi cheksiz kichik izchillikdan kelib chiqadi.
Azizim, bu tengsizlik bilan har qanday n uchun tugaydi.

Funktsiya cheksiz katta bo'lsin va funksiya nuqta atrofida teshilish bilan o'ralgan:
Funktsiya cheksiz katta bo'lganligi sababli, u tayinlangan nuqtaning doirasi teshiladi va nolga qaytmaydi:
da.

Menga ruxsat bering.
.
Ushbu funktsiyalar orasidagi quvvat aniqlanadi:
,
Keling, atrofni aylanib chiqaylik.
, .

Keyin funksiya unda belgilanadi.
.
Teoremani isbotlash uchun biz Hein orqasidagi interfunktsiyalarni tezda hisoblaymiz
.

Keyin funksiya unda belgilanadi.

va ketma-ketlik nol o'rnini bosadigan shartlar bilan cheksiz katta:

Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketlikda o'zaro bog'langan ketma-ketlikning kichik bo'limidagi maxfiylik bo'laklari, keyin

Pastda cheksiz kichik bo'limda chegaralangan funktsiyaning kichik bo'limidagi maxfiylik teoremasining isboti
Azizim, bu tengsizlik bilan har qanday n uchun tugaydi.

Ushbu kuchni isbotlash uchun biz Hein funktsiyalarining ahamiyatini tezda aniqlaymiz.
Funktsiya cheksiz katta bo'lganligi sababli, u tayinlangan nuqtaning doirasi teshiladi va nolga qaytmaydi:
Xuddi shunday, cheksiz buyuk ketma-ketliklarning kuchi ham cheksiz buyuk ketma-ketlik bilan birga g'alaba qozonadi.

Menga ruxsat bering.
.
Funktsiya cheksiz kichik bo'lsin va funktsiya nuqta atrofidagi har qanday teshilishda mutlaq qiymat ostida musbat son bilan o'ralgan bo'lsin:
,
Lavaboning orqasida funktsiya tayinlangan va nolga tushmaydigan nuqta atrofida ponksiyon mavjud:
, .

Keling, atrofni aylanib chiqaylik.
.
Keyin funksiya unda belgilanadi.
Funktsiya cheksiz katta bo'lganligi sababli, u tayinlangan nuqtaning doirasi teshiladi va nolga qaytmaydi:

Bundan tashqari, i.
Funktsiya cheksiz katta bo'lganligi sababli, u tayinlangan nuqtaning doirasi teshiladi va nolga qaytmaydi:
Keyin ketma-ketlik ko'rsatiladi.
Azizim, bu tengsizlik bilan har qanday n uchun tugaydi.

Bundan tashqari, ketma-ketlik quyida ko'rsatilgan:
.
va ketma-ketlik cheksiz kichik, atamalar nol o'rnini bosuvchi:
.
Quyidagi ketma-ketlik bilan chegaralangan bo'limdagi maxfiylik bo'laklari cheksiz kichik va cheksiz katta, keyin
.

Turli funktsiyalar o'rtasidagi vikorist kuch, biz aytishimiz mumkin:

Vipishemo zagalnyj a'zolar ketma-ketligi:
Va unutmangki, nuqta atrofidagi joy teshilgan, uning ustiga

O'tish uchun etarli ketma-ketlik mavjud.