Qatorlarning yo'q bo'lib ketishining belgilari - qaror qabul qilish. Raqamlar seriyasi. Ularning o'limining etarli belgilari

kichik Oskolki da font-size:14.0pt">~ (div. ), keyin ~ .

Shifokorga biz rad etamiz:

To'g'ri, seriya farqlanadi.

D) shrift o'lchami: 14.0pt">,

To'g'ri, seriya farqlanadi.

Umova є zarur ale yetarli emas qatorning aqliy muvofiqligi: buning uchun qatorlarning neytralligi mavjud, lekin biz uchun ajralish muhim emas.

dumba 3. Qator font-size:14.0pt">ning borishini kuzatib boring Qaror. Hurmatli olim https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , Ya'ni Vikonanoning zaruriy aqliy qobiliyati. Chastkova so'mi

chapga">

- bir marta

shuning uchun font-size:14.0pt"> va bu qator ma'nolardan ajralib turishini bildiradi.

Belgili-musbat qatorlar yaqinlashuvining etarli belgilari

Qo'yib yubor. Todi qatorifont-size:14.0pt"> Nisbatan belgisi

Qani ketdik ta - ijobiy qator. Hamma narsada tengsizlik bo'lganidek, qatorning xilma-xilligi tufayli qatorga o'xshashlik va qator kengligining xilma-xilligi tufayli = "55"

Bu belgi tengsizlik tufayli yaroqsiz bo'lib qoladi va faqat joriy raqamdan boshlab. Buni quyidagicha izohlash mumkin: kattaroq qator yaqinlashganda, kichikroq ko'proq yaqinlashadi va kichikroq qator uzoqlashganda, kattaroq qator ham ajralib chiqadi.

dumba 4. 0-qatorning harakatini kuzatib boring style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Qaror.

A) Azizlar, hamma uchun . Bir qator uxlab yotgan a'zolar

B) Qator satrni tenglashtiramiz ..gif eni = "91" balandligi = "29 src = ">. diverge, demak, bu qator ham ajralib chiqadi.

Tenglash belgisini shakllantirishning soddaligidan qat'i nazar, amalda quyidagi teorema eng muhim hisoblanadi.

Nivelirlashning chegara belgisi

Qani ketdik https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> - ijobiy belgi qatorlari. Xuddi shunday. Kintseviyі nolga teng emas chegara, keyin qoidabuzarlik qiluvchi qatorlar i

bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki bir vaqtning o'zida ajralib chiqadi.

Ma'lumotlarni solishtirish uchun foydalaniladigan qator sifatida biz ko'pincha bir qator turlarni tanlaymiz . Ushbu seriya deyiladi Dirixlet buyrug'i. 3 va 4 sonlar uchun Dirixlet qatori va ajralishi ko'rsatilgan. Siz ketishingiz mumkin

Iltimos, qator font-size:14.0pt"> ekanligini unutmang .

Yakshcho, keyin qator chaqirdi uyg'un. Uyg'un qatorlar ajralib turadi.

Butun 5. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boringchegaradan tashqarida tekislash belgilari mavjud

Qaror. a) Shunday qilib, buyuklarni qanday tugatish kerak http://www.pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif"

~ keyin ~ shrift o'lchami: 14,0pt">porivnyannya, cym garmonik qatorli font-size:14.0pt">, keyin .

Nolning oxiri va oxiri va garmonik qatorlar orasidagi bo'laklar ajralib chiqadi, keyin berilgan qatorlar ajralib chiqadi.

B) Katta width="111" width="119" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src=">"ga yetganda - seriyaning oxirgi a'zosi, biz bilan ma'lumotlarni ajratadi:

Seriya birlashadi ( Shrift o'lchami bilan Dirichle qatori: 16.0pt">)shuning uchun bu qator ham yaqinlashadi.

V) bu cheksiz kichikdir font-size:14.0pt">mumkin

ekvivalent qiymat bilan almashtiring(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> shrift o'lchami bilan: 20.0pt">). ;

;

;

G)

;

.

Ushbu maqola tuzilgan va hisobot ma'lumotlari bo'lib, huquq va topshiriqlarni tahlil qilish uchun foydali bo'lishi mumkin. Keling, raqamlar qatori mavzusini ko'rib chiqaylik.

Ushbu maqola tushunish uchun asosiy ma'nolar bilan boshlanadi. Quyida standart variantlar va asosiy formulalar keltirilgan. Materialni birlashtirish uchun maqolada asosiy ilovalar va vazifalar mavjud.

Asosiy tezislar

Keling, avval tizimni tasavvur qilaylik: a 1 , a 2 . . . , a n,. . . bu yerda a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Masalan, quyidagi raqamlarni olaylik: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

Viznachennya 1

Raqamlar qatori - hadlar yig'indisi ∑ ak k = 1 ∞ = a 1 + a 2 +. . . + a n +. . . .

Ma'noni yaxshiroq tushunish uchun q = - 0 bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqaylik. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Vitseniya 2

a k ê zagalnym yoki k –im a'zolari kam.

Vin taxminan shunday ko'rinadi - 16 · - 1 2 k.

Vitsenzennya 3

Chastkova so'mi ketma-ket taxminan shunday ko'rinadi: Sn = a1+a2+. . . + a n , yoqiy n- Raqam bo'l. S n ê nth Sumoyu past.

Masalan, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 kê S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S 1 , S 2 ,. . . , S n, . . . raqamlarning cheksiz ketma-ketligini yarating.

Bir qator uchun n-a miqdori S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n formulasi bilan aniqlanadi. Vikoristovuyemo ketma-ketlik keladi xususiy summalar: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n,. . . .

Vitsenzennya 4

Seriya ∑ k = 1 ∞ a k ê o'xshash keyin, agar ketma-ketlik uchlari orasida bo'lsa S = lim S n n → + ∞ . Chegara yo‘qligi yoki ketma-ketlik uzluksiz bo‘lgani uchun ∑ k = 1 ∞ a k qator deyiladi. Keling, ajratamiz.

Viznachennya 5

Mening boradigan joylarim ko'p∑ k = 1 ∞ a kê ketma-ketliklar orasidagi ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S.

Bu ilova uchun lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, qator ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k yaqinlashadi. Miqdori 16 3 dan qimmatroq: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Butun 1

Boshqa qatorning dumbasi sifatida siz kattaroq belgi, pastki birlik bilan geometrik progressiya yig'indisini yaratishingiz mumkin: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.

n-qisman yig'indi S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 1 · (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 shaklida ifodalanadi va qisman yig'indilar orasidagi masofa burilmagan: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Turli sonlar qatoriga yana bir misol: ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . Har qanday holatda, n-qisman yig'indini Sn = 5n sifatida hisoblash mumkin. Qisman yig'indilar o'rtasida burilmagan lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

Viznachennya 6

Ushbu shaklning yig'indisi ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + ga teng. . . + 1 n +. . . – tse uyg'un raqamlar seriyasi.

Viznachennya 7

Yig'indi ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 ns +. . . , de s- faol raqam, ê garmonik sonlar qatori bilan belgilanadi.

Biz ko'rib chiqqan muhim narsalar sizga ko'proq ilovalar va muvaffaqiyatlarga erishishingizga yordam beradi.

Ahamiyatni to'ldirish uchun qo'shiqni dolzarblashtirish kerak.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – ajratish.

Darvoza usuli yordamida parhez. Ular birlashishi bilan chegaralar birga chiziladi. Tenglamani lim n → + ∞ S n = S va lim n → + ∞ S 2 n = S shaklida yozish mumkin. Harakatlarni kuylashdan so'ng, biz hasad qilamiz l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 .

Nafpaki,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n

Quyidagi adolatli tengsizliklar 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n. . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n. Aniqlanishicha, S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2. Viraz S 2 n - S n > 1 2 lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 mavjud bo'lmaganlar haqida gapiradi. Qator ajratilgan.

1. b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Sonlar ketma-ketligi yig'indisi q da yaqinlashishini tasdiqlash kerak< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Barcha muhim narsalar bilan borish yaxshi, suma n atamalar S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 formulasi yordamida hisoblanadi.

Yaksho q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Biz birlashadigan raqamlar qatorini oldik.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + uchun. . . ∑ k = 1 ∞ b 1. Yig'indini S n = b 1 · n qo'shimcha formula yordamida topish mumkin, chegara burilmagan lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. Har bir variant uchun bir nechta turli xil variantlar mavjud.

Yakshcho q = - 1 Qator b 1 - b 1 + b 1 - kabi ko'rinadi. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Qisman yig'indilar ajratilmagan uchun S n = b 1 ga o'xshaydi n, í S n = 0 yigitlar uchun n. Bu farqni ko'rib chiqsak, biz o'rtamizda farq yo'qligini va ular o'rtasidagi qatorni tushunamiz.

q > 1 uchun lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Raqamlar qatori ajralib ketganini angladik.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k s qator yaqinlashadi, chunki s > 1 s ≤ 1 bo'lsa, i ajraladi.

Uchun s = 1 biz ∑ k = 1 ∞ 1 k ni chiqaramiz, qator uzoqlashadi.

Qachon s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k, natural son. Qatorning bo'laklari ajratiladi ∑ k = 1 ∞ 1 k, keyin chegara yo'q. Shundan so'ng, ∑ k = 1 ∞ 1 k s ketma-ketligi o'zaro bog'liq emas. Robimo visnovok, shunday qilib, bayonotlar seriyasi qachon ajraladi s< 1 .

∑ k = 1 ∞ 1 k s qatorning yaqinlashishini isbotlash kerak. s > 1.

S 2 n - 1 - S n - 1 ni ifodalaymiz:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

1 (n + 1) s deb faraz qilaylik< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Tabiiy va muntazam n = 2 sonlar tenglamasini tasavvur qilaylik: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s.< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Oʻchirildi:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s +. . . + 1 15 s +. . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Viraz 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Geometrik progressiyaning qiymati q = 1 2 s - 1 ga teng. Chiqish ma'lumotlaridan qachon aniq bo'ladi s > 1, keyin 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 kattaroq bo'ladi va hayvon bilan kesishadi 11-12s-1. Ko'rinib turibdiki, chegara va qator ∑ k = 1 ∞ 1 k s.

Viznachennya 8

Seriya ∑ k = 1 ∞ a k bu yigit ijobiy, chunki uning hadlari > 0 ak > 0, k = 1, 2, . . . .

Seriya ∑ k = 1 ∞ b k belgisi chizilgan Raqamlarning belgilari boshqacha bo'lganda. Taqdimotlarning Daniya ilovasi yak ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (-1) k · a k yoki ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , de a k > 0 ,k = 1, 2,. . . .

Seriya ∑ k = 1 ∞ b k ramziy, chunki yangida salbiy va ijobiy raqamlar yo'q.

Yana bir variant - seriya okremy vipadok uchinchi variant.

Keling, teri muammolarini ko'rib chiqaylik:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Uchinchi variant uchun siz mutlaq va aqliy xarajatlarni ham hisoblashingiz mumkin.

Viznachennya 9

O'zgaruvchan ∑ k = 1 ∞ b k qator mutlaqo bir xil bo'ladi, agar ∑ k = 1 ∞ b k ham o'xshash deb hisoblansa.

Keling, bir qator xarakterli variantlarni ko'rib chiqaylik

Butun 2

Qatorlar 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . men 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . o'xshash deb belgilangan bo'lsa, 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + ni kiritish to'g'ri. . .

Viznachennya 10

Tanish ∑ k = 1 ∞ b k qator shu qatorga aqliy jihatdan o‘xshash hisoblanadi, chunki ∑ k = 1 ∞ b k har xil, ∑ k = 1 ∞ b k qator esa o‘xshash hisoblanadi.

Butun 3

∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + variantini batafsil ko'rib chiqamiz. . . . Mutlaq qiymatlardan yig'ilgan ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k qator bo'linish sifatida belgilanadi. Bu variant muhim, shuning uchun unga boring, chunki buni aniqlash oson. Buning uchun biz ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + qatorini tan olamiz. . . ruhiy jihatdan o'xshash bo'lganlar sizni o'ziga jalb qiladi.

Birlashgan qatorlarning xususiyatlari

Biz qo'shiq epizodlari uchun quvvatni tahlil qilamiz

1. Agar ∑ k = 1 ∞ a k yaqinlashsa, u holda ∑ k = m + 1 ∞ a k qator ham yaqinlashuvchi ko‘rinadi. Buni qatorsiz hisoblashingiz mumkin m A'zolar ham xuddi shunday hurmatga sazovor. Shu bilan bir qatorda, ∑ k = m + 1 ∞ a k sonli sonlarni qo'shsak, natija ham o'xshash bo'ladi.
2. Agar ∑ k = 1 ∞ a k yaqinlashadi í yig'indisi = S, u holda qator ∑ k = 1 ∞ A · a k, ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S, yaqinlashadi. A- Postina.
3. Agar ∑ k = 1 ∞ a k va ∑ k = 1 ∞ b k є o‘xshash bo‘lsa, yig‘indisi Aі B bir xil qator ∑ k = 1 ∞ a k + b k í ∑ k = 1 ∞ a k - b k ham yaqinlashadi. Sumi dorivnyuvatimut A+Bі A - B aniq.

Bu qator ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 ga yaqinlashishini bildiradi.

∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 ni o‘zgartiring. ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 qator o‘xshash hisoblanadi, chunki ∑ k = 1 ∞ 1 k s qator qachon yaqinlashadi s > 1. Boshqa kuchga o'xshash, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Butun 5

Ahamiyatlisi, ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 qator yaqinlashadi.

Qaytariladigan kob versiyasi ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 va ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 yig‘indisini olib tashlashimiz mumkin. Teri diapazoni shunday tan olinadiki, inson kuchga tushishi mumkin. Agar qatorlar birlashsa, unda yagona variant bir xil bo'ladi.

Butun 6

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + qatorlarining yaqinlashish yoki yaqinlashishini hisoblang. . . keyin miqdorni hisoblang.

Parchalangan chiqish opsiyasi:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Har bir qator birlashib, sonli ketma-ketlik a'zolaridan birini qoldiradi. Ko'rinib turibdiki, uchinchi darajaga qadar, yakuniy variant ham shunga o'xshashligini hisoblashimiz mumkin. Yig‘indini hisoblab chiqamiz: ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, ko‘rsatuvchi esa = 0 qatordagi birinchi had. 5, keyin ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0. 5 = 2. Birinchi had ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3, kamayib borayotgan sonlar qatorining belgisi esa = 1 3. Hosil bo'ladigan: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Vikoristovu vyrazy, obedení vishche, 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + miqdorini hisoblash uchun. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Bir qator o'xshashliklarga ega bo'lgan ma'no uchun aql kerak

Agar ∑ k = 1 ∞ ak ê qator o'xshash bo'lsa, u holda o'rtasida kth term = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Agar biz biron bir variantni tekshira olsak, ajralmas ongimizni unutmasligimiz kerak. Nima bo'lishidan qat'iy nazar, qator ajralib chiqadi. lim k → + ∞ a k ≠ 0 bo‘lgani uchun qator alohida bo‘ladi.

Aql muhim, ammo etarli emasligini aniqlashtirish kerak. lim k → + ∞ a k = 0 tengligi o‘xshash bo‘lgani uchun ∑ k = 1 ∞ a k o‘xshashligiga kafolat bermayman.

Keling, dumbani ko'rsatamiz. ∑ k = 1 ∞ 1 k garmonik qator uchun onglar lim k → + ∞ 1 k = 0 bilan tugaydi, lekin qatorlar baribir ajralib turadi.

Button 7

Qiymat ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n.

Perevírimo vykhídny vyraz vikonannya lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 + n = 1 +0 + ∞ ≠ 0

orasida nth a'zo 0 ga teng emas. Bizga bu qatorni tarqatish kerakligini aytishdi.

Seriyadagi ijobiy belgining qiymatini qanday aniqlash mumkin.

Agar siz doimiy ravishda belgilangan belgilardan foydalansangiz, siz doimiy ravishda chegaralarni hisoblashingiz kerak bo'ladi. Ushbu bo'lim zaxiralarni ko'paytirish va buyurtma berish vaqtida katlama zaxirasini olib tashlashga yordam beradi. Ijobiy belgining seriyaga yaqinligini aniqlash uchun aqlning qo'shig'i boshlanadi.

Musbat belgining yaqinligi uchun ∑ k = 1 ∞ a k, ak > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . Bu summalar ketma-ketligini hisoblash kerak.

Qatorlarni qanday tekislash kerak

Chiziq qatorni tekislash belgisidir. Biz ketma-ketlikni tenglashtirmoqdamiz, ularning etarliligi har qanday turdagi etarlilikning ahamiyatiga asoslanadi.

Persha belgisi

∑ k = 1 ∞ a k va ∑ k = 1 ∞ b k - musbat qator. a k ≤ b k tengsizlik uchun amal qiladi k = 1, 2, 3, ... Demak, ∑ k = 1 ∞ b k qatordan ∑ k = 1 ∞ a k ni chiqarishimiz mumkin. ∑ k = 1 ∞ a k fragmentlari ajralib chiqadi, ∑ k = 1 ∞ b k qatorni divergent deb hisoblash mumkin.

Ushbu qoida doimo katta ishonch uchun himoya qilinadi va tejashni aniqlashga yordam beradigan jiddiy dalildir. Katlama, tekislash uchun kerakli dumbani tanlash teri muammosidan uzoqda bo'lishi mumkinligi bilan bog'liq bo'lishi mumkin. Qator ko'pincha printsip asosida tanlanadi, shuning uchun u ko'rsatadi kth raqam va belgi bosqichlarining e'lon qilingan ko'rsatkichlari natijasiga muvofiq a'zo kth a'zolari kam. a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 farq ko'proq bo'lishi qabul qilinadi 2 – 3 = - 1 . Bunday holda, qatorni tekislash uchun zarur ekanligini ko'rish mumkin k-im a'zo b k = k - 1 = 1 k, bu garmonikdir.

Biz olib tashlagan materialni birlashtirish uchun keling, bir nechta odatiy variantlarni batafsil ko'rib chiqaylik.

Button 8

Ma'nosi, ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 qator nima.

Chegaraning bo'laklari = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 biz kerakli aqlni chizdik. Tengsizlik adolatli bo'ladi 1 k< 1 k - 1 2 для k, bu tabiiydir. Birinchi nuqtalardan biz ∑ k = 1 ∞ 1 k garmonik qatorning bo'linishini aniqladik. Birinchi belgiga asoslanib, yakuniy variant boshqacha degan xulosaga kelish mumkin.

Button 9

Bu shuni anglatadiki, bu o'xshash yoki turli xil ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 qatoridir.

Ushbu dastur miyani talab qiladi, fragmentlar lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Tengsizlik paydo bo'lganda xizmat qiladi 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 qator o‘xshash, lekin garmonik qator ∑ k = 1 ∞ 1 k s da yaqinlashadi. s > 1. Birinchi belgiga asoslanib, biz o'xshash raqamlar qatorini yaratishimiz mumkin.

Button 10

Bu degani, qator ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0.

Bunday holda, barcha variantlarni keraksiz aqlning jodugarligi deb atash mumkin. Tuzatishlar soni sezilarli. Masalan, ∑ k = 1 ∞ 1 k s. Ustuvor qadam nima ekanligini aniqlash uchun (ln (ln k)) ketma-ketlikni ko'rib chiqamiz, k = 3, 4, 5. . . . Ketma-ket a'zolar ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . cheksizgacha ortadi. Ketma-ketlikni tahlil qilib, N = 1619 qiymatining rollarini, keyin ketma-ketlik shartlari > 2 ekanligini ko'rish mumkin. Bu ketma-ketlik uchun 1 k ln (ln k) tengsizlik o'rinli bo'ladi< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Belgining do'sti

∑ k = 1 ∞ a k va ∑ k = 1 ∞ b k musbat sonlar qatori ekanligi qabul qilinadi.

Agar lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ bo‘lsa, u holda ∑ k = 1 ∞ b k qator yaqinlashadi, í ∑ k = 1 ∞ a k ham yaqinlashadi.

lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 bo‘lgani uchun, agar ∑ k = 1 ∞ b k qator ajralsa, ∑ k = 1 ∞ ak ham ajralib chiqadi.

lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ i lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 bo‘lgani uchun qatorning o‘xshashligi va farqlanishi boshqasining o‘xshashligi va farqlanishini bildiradi.

∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 ni boshqa belgi yordamida ko'rib chiqamiz. ∑ k = 1 ∞ b k darajasi uchun ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 qatorni olamiz. Koʻrinib turadi: lim k → + ∞ k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Yana boshqa belgidan foydalanib, yaqinlashuvchi ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 qator kob versiyasi ham yaqinlashishini bildirishini ko'rishimiz mumkin.

Button 11

Bu qator ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 ekanligini bildiradi.

Kerakli hisob-kitobni tahlil qilaylik lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , bu versiyada ham shunday. Boshqacha qilib aytganda, biz ∑ k = 1 ∞ 1 k qatorni olamiz. Chegarani qidiring: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k →

Yuqorida aytib o'tilgan printsiplarga ko'ra, ajralib chiqadigan qator chiqish qatorini ajratishga intiladi.

Uchinchi belgi

Keling, uchinchi darajali belgini ko'rib chiqaylik.

∑ k = 1 ∞ a k va _ ∑ k = 1 ∞ b k musbat sonlar qatori ekanligi qabul qilinadi. Agar berilgan a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k songa aql rozi bo‘lsa, bu qatorning ∑ k = 1 ∞ b k o‘xshashligi ∑ k = 1 ∞ ak qatorining ham o‘xshashligini bildiradi. Ajratish qatori ∑ k = 1 ∞ a k ajratish ∑ k = 1 ∞ b k ni orqasiga tortadi.

D'Alembert belgisi

∑ k = 1 ∞ a k musbat sonlar qatori deb faraz qilaylik. Yakscho lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 keyin biz ajralib turamiz.

Hurmat 1

Chegarani kesib o'tmagani uchun D'Alembert belgisi bu holatda haqiqiydir.

Agar lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ bo‘lsa, qator o‘xshash, agar lim k → ∞ ak + 1 ak = + ∞ bo‘lsa, u divergent bo‘ladi.

Agar lim k → + ∞ ak + 1 ak = 1 bo'lsa, u holda d'Alembert belgisi yordam bermaydi va yana bir oz tadqiqot o'tkazish kerak.

Button 12

Bu shuni anglatadiki, bizda D’Alembert belgisi orqasida o‘xshash yoki har xil ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k qator bor.

Ruhiy mustahkamlik zarurligini tekshirish kerak. Chegarani Lopital qoidasi yordamida hisoblash mumkin: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Biz sizga yordam bera olamiz, shunda fikringiz qaltiraydi. Tezda d'Alemberni belgilang: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Qator shunga o'xshash.

Button 13

Bu qator ∑ k = 1 ∞ k k k ajratilganligini bildiradi! .

Qatorning ajratilishini aniqlash uchun tezda D'Alember belgisidan foydalanamiz: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Xo'sh, qator alohida.

Koshi belgisining radikali

∑ k = 1 ∞ a k butun sonli musbat qator bo‘lishi mumkin. Yakscho lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 keyin biz ajralib turamiz.

Hurmat 2

Agar lim k → + ∞ ak k k = 1 bo‘lsa, u holda qia belgisi kerakli ma'lumotlarni taqdim etmaydi - qo'shimcha tahlil talab qilinadi.

Bu belgini dumbalarda topish mumkin, uni aniqlash oson. Raqamli qator a'zosi ko'zga ko'rinmas bo'lsa, tushish xarakterli bo'ladi.

O'chirilgan ma'lumotlarni birlashtirish uchun bir qator odatiy ilovalarni ko'rib chiqaylik.

Button 14

Ma'nosi, chi - o'xshash chiziqlardagi ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k musbat qator.

Viconnoy, fragmentlar lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 ni yodda tutish kerak.

Yuqoridagi belgidan lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 ni olib tashlashimiz mumkin.< 1 . Данный ряд является сходимым.

Butt 15

Chi o'xshash sonlar qatori ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2.

Oldingi xatboshida tasvirlangan vikorist belgisi lim k → + ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 k = 1 3 · lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Koshi belgisining integrali

∑ k = 1 ∞ ak musbat qator deb faraz qilaylik. Uzluksiz argument funktsiyasini belgilash kerak y = f(x), Qochish mumkin bo'lgan narsa a n = f (n) dir. Yakshcho y = f(x) noldan katta, xalaqit bermaydi va [a; + ∞) , de a ≥ 1

∫ a + ∞ f (x) d x ê mustaqil integral o'xshash bo'lgani uchun tahlil qatori ham yaqinlashadi. Agar farqlar mavjud bo'lsa, ishda ham farqlar bo'ladi.

Funktsiyani o'zgartirishni qayta ko'rib chiqishda siz oldingi darslarda o'tilgan materialni ko'rib chiqishingiz mumkin.

Button 16

Qisqalik uchun dumba ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k ga qarang.

Seriyaning mentaliteti muhim, fragmentlar lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Keling, y = 1 x ln x ni ko'rib chiqaylik. U noldan katta, xalaqit bermaydi va [2; + ∞). Birinchi ikkita nuqta aniq ko'rinadi va uchinchi qatorda hisobot qo'shiladi. Taniqli: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Kamroq yutgan nol ustida [ 2 ; + ∞) Funktsiyaning yemirilishi haqidagi tezisni isbotlash.

Xo'sh, y = 1 x · ln x funktsiyasi biz yuqorida ko'rgan printsipga o'xshaydi. Tezlik: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lm A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln) ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Shubhasiz, natijalar olib tashlanishidan oldin, chiqish ko'pchiligi ajralib chiqadi va qolgan integral ajralib chiqadi.

Butt 17

Seriyani ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 ga keltiring.

Oskolki lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, keyin aql Viconna tomonidan hurmat qilinadi.

k = 4 dan boshlab, verniy viraz 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 seriyasi o'xshash deb hisoblanganligi sababli, printsiplardan biriga asoslanib, ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k) qator - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 ham shunga o'xshash. Shunday qilib, hosil bo'lgan virus ham o'xshashligini aniqlashimiz mumkin.

Isbotga o'tamiz: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Funktsiyaning qolgan qismi y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 noldan katta, uzilmaydi va [ 4 ga o'zgartiriladi; + ∞). Oldingi xatboshida tasvirlangan vikorist belgisi:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln) 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 bo'lgan ayirboshlanuvchi qatorda biz ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k) ekanligini anglatishimiz mumkin. + 8) )) 3 ham yaqinlashadi.

Raabe belgisi

∑ k = 1 ∞ a k musbat sonlar qatori ekanligi qabul qilinadi.

Agar lim k → + ∞ k · ak a k + 1 bo‘lsa< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, keyin birlashtiring.

Ushbu aniqlash usulidan foydalanish mumkin, chunki tasvirlangan texnika ko'rinadigan natijalarni bermaydi.

Mutlaq tejash bo'yicha tadqiqotlar

Qo'shimcha tekshirish uchun ∑ k = 1 ∞ b k ni olamiz. Vikoristamo ijobiy ∑ k = 1 ∞ b k. Biz ta'riflagan o'xshash belgilarning ayrimlarini ko'rib chiqishimiz mumkin. Agar ∑ k = 1 ∞ b k qator yaqinlashsa, chiqish qatori mutlaqo o'xshash bo'ladi.

Button 18

∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 qiymati uchun ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k qatoriga amal qiling. 3 + 2 k-1.

Umova vikonovatsya lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0. Vikoristovu ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 va boshqa belgi bilan tezlashtiring: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 qator yaqinlashadi. Chiqish qatori ham mutlaqo o'xshash.

Ikonik darajalarning xilma-xilligi

∑ k = 1 ∞ b k qator alohida bo'lgani uchun, u holda muhim ∑ k = 1 ∞ b k qator alohida yoki aqliy jihatdan o'xshashdir.

D'Alembert belgisi va radikal Koshi belgisisiz biz modullarni ajratish uchun ∑ k = 1 ∞ b k haqida xulosalar ishlab chiqishga yordam bera olamiz ∑ k = 1 ∞ b k . ∑ k = 1 ∞ b k qator ham aqliy moslikni talab qilmagani uchun ajralib chiqadi, chunki lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

Button 19

Ajratish 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, ni tekshiring. . . .

Modul kth vakolatxonalar a'zosi yak b k = k! 7 k.

Quyidagi qator: ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! d’Alember belgisi ortidagi daromad uchun 7 k: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k i bilan farqlanadi, chunki i oxirgi variant.

Button 20

Chi ê ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) o'xshash.

Keling, zaruriy aqliy limni ko'rib chiqaylik k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k +)). 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Umov Vikonan emas, shuning uchun ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) qator bo'linadi. Interfaol L'opital qoidasiga muvofiq hisoblanadi.

Ruhiy beqarorlik belgilari

Leybnits belgisi

O'zgaruvchan qator a'zolarining qiymatlari b 1 > b 2 > b 3 > ga o'zgaradi. . . >. . . í modullar orasidagi = 0 sifatida k → + ∞ , keyin ∑ k = 1 ∞ b k qator yo'qoladi.

Butt 17

Qiymat uchun ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) ga qarang.

Bir qator tasvirlar yak ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Lim k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 ni hisoblash kerak. Boshqa belgi uchun ∑ k = 1 ∞ 1 k ni ko'rib chiqamiz lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) farqlanishi aniq. ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) qatori Leybnits belgisidan keyin yaqinlashadi: ketma-ketlik 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . o'zgarishlar i lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Bir qator odamlar aqliy jihatdan birlashadilar.

Abel-Dirichlet belgisi

∑ k = 1 + ∞ u k · v k bu holatda tushadi, chunki ( u k ) o'smaydi va ∑ k = 1 + ∞ v k ketma-ketligi chegaralangan.

Butt 17

Davom eting 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . yaxshilanish uchun.

Uyavimo

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

de (u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - o'smaydi va mustahkamlik (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . o'zaro bog'langan (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Seriya birlashadi.

Agar siz matnda yaxshilikni belgilagan bo'lsangiz, uni ko'ring va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Amalda, ko'pincha oziq-ovqat narxi past bo'lganligi sababli, miqdorning pastligini bilish unchalik muhim emas. Shu maqsadda, seriyaning marhum a'zosining vakolatlariga asoslanib, yaqinlik belgilari yaratiladi.

SERIALGA O'XSHISHNING KERAK BELGISI

1-TEOREMA.

Agar ketma-ket birlashsa, sizning kuchli a'zongiz a n pragna da nolga, keyin. .

Qisqacha: agar qatorlar yaqinlashsa, yakuniy a'zo nolga teng bo'ladi.

Nasledok: agar shunday bo'lsa, unda qator ajralib chiqadi.

Butt 15.

Qaror. Bu qator uchun eng muhim a'zo bu.

Xo'sh, bu seriya farqlanadi.

Button 16. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring .

Qaror. Shubhasiz, ushbu seriyaning eng muhim a'zosi, virusning kattaligi orqali har qanday ko'rsatkichning turi, da nol qiymati. n®¥, tobto. qatorga imzo qo'yish kerak, qator tugaydi, keyingi qator ajralib chiqadi, bu sumkaning bo'laklari pragne nomuvofiqligi.

O'xshashlikning etarli belgilari

MUHIM MARTALAR

Barcha hadlari musbat sonlar qatori deyiladi ijobiy.

2-TEOREMA. (tekislashning birinchi belgisi).

Sizga ikkita ijobiy seriyani taqdim etamiz:

a 1+ a 2 +a 3 +...+a n +...=(17)

b 1 + b 2 +b 3 +...+b n +...= ,(18)

Bundan tashqari, xuddi shu raqamdan boshlab N har qanday sababga ko'ra n>N bezovtalik tugaydi a n £ b n. Todi:

1) qatorning o'xshashligi ("kattaroq"), qatorning o'xshashligi ("kichikroq");

2) qatorning xilma-xilligidan ("kichikroq"), qatorning xilma-xilligi ("kattaroq") mavjud.

Birinchi tekislash belgisining sxematik yozuvi:

a n £ b n

tushish.to'planish

rozh. ® atirgul

Ushbu belgilarni aniqlash uchun ko'pincha quyidagi standartlar qo'llaniladi, ularning o'xshashligi yoki xilma-xilligi uzoqdan ko'rinadi, masalan:

1) ¾ geometrik, (kengashda va ajralishda);

2) - uyg'un (ajralish);

3) - Dirixlet qatori (a>1 ga yaqinlashadi va a£1 ga ajraladi).

Keling, birinchi belgi yordamida ijobiy belgini kuzatish sxemasining aniq misolini ko'rib chiqaylik.

Butt 17.

Qaror. Krok 1. Tekshiriladigan belgi pozitivligi past: .

2-dars. Xavfning zaruriy belgilari pastligi aniq: . Xo'sh, unda.

(Agar chegaralarni hisoblash qiyin bo'lsa, ushbu bo'limni o'tkazib yuborishingiz mumkin.)

Krok 3. Vikoristovuyu tekislashning birinchi belgisi. Ushbu qator uchun standart qatorni tanlaymiz. Oskolki, keyin xarakterning rollari ketma-ket olinishi mumkin, keyin. Dirixlet seriyasi. Bu qator birlashadi, fragmentlar a = >1 qadamini ko'rsatadi. Keyin, birinchi belgi bilan, hizalama birlashishi va ketma-ketlikni kuzatish kerak.

Button 18. Muvaffaqiyat uchun qatorga amal qiling.

Qaror. 1. Bu belgilar qatori ijobiy, shuning uchun n=1,2,3,... .

2. Qator qatorga imzo qo'yish kerak, chunki

3. Standart qatorni tanlang. Shunday qilib, yak, keyin yak zrazok siz geometrik qatorni olishingiz mumkin (). Bu qator yaqinlashadi va kuzatilayotgan qatorlar ham yaqinlashadi.

3-TEOREMA. (Tenglashning yana bir belgisi )

Belgili-musbat qatorlarga kelsak, oxirgi chegara nolga teng, qatorlar bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Yakshcho a n ®0 da n®¥ (qisqartirish belgisi kerak), keyin shuni yodda tutingki a n va b n – cheksiz kichik va kichiklikning bir xil tartibida (l=1 uchun ekvivalent). Xo'sh, agar seriya berilsa , de a n ®0 da n®0, keyin kimning qatori standart qator sifatida qabul qilinishi mumkin, degalile a'zosi b n Bu qizning buyrug'i, chunki u bu qatorning etakchi a'zosi.

Butt19. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring

Qaror. Daniya bir qator ijobiy belgilar, shuning uchun har qanday nN uchun.

Fragmentlar ~ ~, keyin biz standart seriyalar kontekstida ajralib turadigan garmonik qatorni olamiz. A'zolar o'rtasidagi munosabatlar qoldiqlari a n Va terminal va nolga bo'ysunuvchi chiqish (chiziq 1 ga teng), keyin boshqa belgi asosida bu qatorning tenglashuvi ajralib chiqadi.

4-TEOREMA.(D'Alembert belgisi )

Seriyaning belgisi ijobiy chegaraga ega bo'lganligi sababli, qator l da yaqinlashadi<1 и расходится при l>1.

Hurmat:

1) l = 1 bo'lgani uchun 4-teorema qatorning qisqaligiga dalil keltirmaydi va shuning uchun yaqinlikning boshqa belgilaridan foydalanish kerak.

2) D'Alembert belgisi, agar belgi ko'rsatish funktsiyasi va faktorialga nisbatan past bo'lsa, qulaydir.

Button 20. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring D'Alembert belgisi orqasida.

Hurmat:

1) l=1 bo'lgani uchun 5-teorema oziq-ovqat ta'minoti kam ekanligini ko'rsatmaydi, shuning uchun tenglashtirishning boshqa belgilaridan foydalanish kerak.

2) Agar l = ¥ bo'lsa, qator uzoqlashadi.

Button 22. Qisqartirish uchun ketma-ketlikka rioya qiling.

Qaror. Ushbu belgilar seriyasi ijobiydir, shuning uchun nima bo'lishidan qat'iy nazar nÎN. Kerakli qatorga o'xshashlik belgisining to'g'riligini tekshirishni qoldirib, buni 5-teorema bilan darhol amalga oshirish mumkin. Natijada, qator Koshi belgisidan keyin ajralib chiqadi.

6-TEOREMA. (Koshi belgisining integrali)

Funktsiyaga ruxsat bering f(x) to'xtovsiz, noma'lum va hamma uchun o'smaydi x³m, de m- Bu noma'lum raqam. Todi raqamlari seriyasi

kuchli bo'lmagan integral yaqinlashadi

VISCHA MATEMATIKA

Raqamlar seriyasi

leksiya.Raqamlar seriyasi

1. Sonlar qatorining qiymati. Zbízhíst

2. Sonli qatorlarning asosiy vakolatlari

3. Ijobiy a'zolar bilan seriya. Xavf belgilari

4. Qatorlarni belgilang. Leybnitsning tanishlik belgisi

5. Muhim qatorlar

O'z-o'zini tekshirish uchun quvvat manbai

Adabiyot

leksiya. NUMBER SERIAL

1. Sonlar qatorining qiymati. Zbízhíst.

2. Sonli qatorlarning asosiy vakolatlari.

3. Ijobiy a'zolar bilan seriya. Xavf belgilari.

4. Qatorlarni belgilang. Leybnitsning tanishlik belgisi.

5. Muhim qatorlar.

1. Sonlar qatorining qiymati. Zbízhíst

Matematik qo'shimchalarda va iqtisodiyotdagi mavjud vaziyat o'sishi bilan statistika va boshqa hisob-kitoblar cheksiz miqdordagi qo'shimchalar bilan yig'indilarni ko'rib chiqadi. Mana shunday summalar deganda nimani anglatishini ko'ramiz.

Cheksiz sonlar ketma-ketligi bo'lsin

Viznachennya 1.1. Buyurtmani raqamlaymiz yoki shunchaki buyurtma yodda viraz (suma) deb ataladi

(1.1) qatorni aniqlash uchun natural argumentning funksiyasini ko'rsatish kifoya

Butt 1.1. Qani ketdik

chaqirdi uyg'un yonma-yon .

Butt 1.2. Qani ketdik

chaqirdi uyg'un qator. O'rtada

Butt 1.3. Qani ketdik

chaqirdi geometrik progressiya bo'yicha ko'rsatma.

Seriyaning uchta a'zosi (1.1) son bilan echilishi mumkin shaxsiy qismlarning ketma-ketligiso'm de

…………………………….

…………………………….

Raqamli ketma-ketlik

1) onaning chegarasi;

2) oxirgi chegaralarni o'zgartirmang (ular orasida hech qanday farq yo'q yoki qadimgi nomuvofiqliklar mavjud).

Vitsensiya 1.2. (1.1) qator chaqiriladi o'xshash, chunki bu qisman yig'indining ketma-ketligi (1,5) oxirgi chegarada yotadi, demak.

Sizda raqam bor

Qiymat 1.3.(1.1) qator chaqiriladi ajrashaylik, chunki qisman yig'indilarning ketma-ketligi oxirgi chegaraga etib bormaydi.

Razbizhny qatorga pul summasi hisoblanmaydi.

Shu tarzda, o'tish uchun (1.1) qatordagi yig'indining qiymati uning qisman yig'indilari ketma-ketligi orasidagi hisob-kitobga teng bo'ladi.

Keling, bir guruh dumbalarni ko'rib chiqaylik.

dumba 1.4. Uni qatorga keltiring

yig'indisi nima ekanligini toping.

Bilamiz n- Yu chastkovu Sumy qator

Zagalniy a'zosi

Yulduzlar:

dumba 1,5. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring

Bu qator uchun

Hurmat. Da

dumba 1.6. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring

Bu qator uchun

Xususiy summalar ketma-ketligi o'rtasidagi farq nima

dumba 1.7. Geometrik progressiya qatoriga amal qiling (1.4):

Nimani ko'rsatish muhim emas n-Men bilan geometrik progressiya qatorida xususiy yig'indi

Keling, diqqatga sazovor joylarni ko'rib chiqaylik:

Xo'sh, seriyalar birlashadi va bu miqdor qimmatroq

Amalda, ko'pincha oziq-ovqat narxi past bo'lganligi sababli, miqdorning pastligini bilish unchalik muhim emas. Shu maqsadda, seriyaning marhum a'zosining vakolatlariga asoslanib, yaqinlik belgilari yaratiladi.

Qator belgisi kerak

1-TEOREMA

Yakshcho qatorikonverge, keyin sizning uxlab yotgan a'zongiz pragna nolga
, tobto.
.

Qisqa: qator yaqinlashsa, bu qo'shma a'zo nolga teng bo'lmaydi.

Tugallandi. Qator birlashsin va yig'indi yanada qadimiy bo'lsin . Har kim uchun chastkova so'mi

.

Todi. 

Yonuvchanlikning zarur belgilari paydo bo'lishi bilan Qatorni ajratishning etarli belgisi: qachon
Qatorning birinchi a'zosi nolga teng emas, keyin qator ajralib chiqadi.

dumba 4.

Uxlayotgan a'zo kim uchun
і
.

Xo'sh, bu seriya farqlanadi.

Butun 5. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring

Shubhasiz, ushbu seriyaning eng muhim a'zosi, virusning kattaligi orqali har qanday ko'rsatkichning turi, da nol qiymati.
, keyin. qatorga imzo qo'yish kerak, qator tugaydi, keyingi qator ajralib chiqadi, bu sumkaning bo'laklari pragne nomuvofiqligi.

Ishora-musbat sonlar qatori

Barcha hadlari musbat sonlar qatori deyiladi ijobiy.

2-TEOREMA (musbat qatorning yaqinligi mezoni)

Seriyadagi ijobiy belgining o'xshashligi uchun uning barcha qisman yig'indilari bitta va bir xil son bilan o'ralgan bo'lishi zarur va etarli.

Tugallandi. Shunday qilib, har kim uchun
, bular, tobto. ketma-ketlik
– monoton o‘sib boradi, shuning uchun chegaralarni yaratish uchun hayvonlarning ketma-ketligini qandaydir son bilan chegaralash zarur va yetarli.

Bu teorema katta nazariy, kamroq amaliy ahamiyatga ega. Emprenyening keyingi belgilari ko'rsatiladi, bu esa katta turg'unlikka olib kelishi mumkin.

Belgili-musbat qatorlar yaqinlashuvining etarli belgilari

3-TEOREMA (Birinchi belgi teng)

Sizga ikkita ijobiy seriyani taqdim etamiz:

(1)

(2)

Bundan tashqari, xuddi shu raqamdan boshlab
har qanday sababga ko'ra
bezovtalik tugaydi
Todi:

Birinchi tekislash belgisining sxematik yozuvi:

tushish.yig‘ilish.

rozh.  roser.

Tugallandi. 1) Seriyadagi oxirgi hadlar sonining qo‘shilishi uning samaradorligiga ta’sir qilmagani uchun xulosa uchun teoremani isbotlaymiz.
. Kimgadir salom ayting
mayomo

, (3)

de
і
- (1) va (2) qatorlarning qisman yig'indisi aniq.

Agar (2) qator yaqinlashsa, bu boshlang'ich raqamdir
. Parchalar va ularning ketma-ketligi
- Katta bo'lib, ularning har qanday a'zosi uchun ular orasida ko'proq bor, keyin.
har kim uchun . Tengsizlikdan (3) yulduzlar yonadi
. Shu tarzda, ketma-ket barcha shaxsiy summalar (1) hayvonlarning raqamlari bilan o'ralgan . Bu qator teorema 2 dan oldin yaqinlashishi aniq.

2) Aslida, agar (2) qator yaqinlashsa, tenglashtirish belgisidan keyin (1) qator yaqinlashadi. 

Ushbu belgilarni aniqlash uchun ko'pincha quyidagi standartlar qo'llaniladi, ularning o'xshashligi yoki xilma-xilligi uzoqdan ko'rinadi, masalan:

3) - Dirixlet seriyasi (u bir-biriga yaqinlashadi
qachon farq qilaman
).

Bundan tashqari, ko'pincha aniq tengsizliklarning boshlanishi tufayli yo'q qilinishi mumkin bo'lgan qatorlar mavjud:

,

,
,
.

Keling, bir ko'rib chiqaylik maxsus dumbalar Tenglashning birinchi belgisi yordamida past og'ishning ijobiy belgisini kuzatish sxemasi.

Button 6. Seriyani kuzatib boring
yaxshilanish uchun.

1-dars. Seriyaning ijobiy belgisini tekshiramiz:
Uchun

2-dars. Qator uchun kerakli belgilarni tekshiramiz:
. Shunday qilib
, Bu

(agar chegaralarni hisoblash qiyin bo'lsa, bu muddat o'tkazib yuborilishi mumkin).

Krok 3. Vikoristovuyu tekislashning birinchi belgisi. Shuning uchun biz ushbu seriya uchun standart seriyani tanlaymiz. Shunday qilib
, keyin biz qatorni olishimiz mumkin
, keyin. Dirixlet seriyasi. Bu qator birlashadi, parchalar sahnani ko'rsatadi
. Keyin, birinchi belgi bilan, hizalama birlashishi va ketma-ketlikni kuzatish kerak.

Butt 7. Seriyani kuzatib boring
yaxshilanish uchun.

1) Bu qator ijobiy, fragmentlar
Uchun

2) qatorga qo`shiladigan yaqinlik belgisiga ehtiyoj bor, chunki

3) Standart qatorni tanlaymiz. Shunday qilib
, keyin geometrik qatorni olishimiz mumkin

. Bu qator yaqinlashadi, keyin esa keyingi qatorlar yaqinlashadi.

4-TEOREMA (Tenglashtirishning yana bir belgisi)

Ijobiy seriyalar uchun і U nolinchi chegaraga asoslanadi
, Bu qatorlar bir vaqtning o'zida yaqinlashadi va ajralib chiqadi.

Tugallandi.(2) qator yaqinlashsin; Keling, (1) qator yaqinlashishi kerakligini ko'rsataylik. Viberemo - bu raqam , ko'proq, pastroq . Voy-buy
Bunday raqamning kelib chiqishi ta'kidlangan , hamma uchun nima
adolatsizlik adolatlidir
, yoki bo'lmasa, xuddi shunday

(4)

Birinchi bo'lib (1) va (2) o'rinlarni egallagan a'zolar (birgalik keltiradigan), tengsizlik (4) hamma uchun adolatli ekanligini unutmang
Ale qatori uxlab yotgan a'zo bilan
qatorning kuchiga o'ting (2). Nivelirlashning birinchi belgisidan, notekislikdan (4) qator (1) keladi.

Keling, pastga tushamiz (1); Keling, qiymatni (2) qatorga keltiramiz. Qaysi qator uchun faqat berilgan qatorlarning rollarini o'zgartiring. Shunday qilib

Xulosa qilish uchun, (1) qatordan keyin (2) qator bo'lishi kerak. 

Yakshcho
da
(tanishlik belgisi talab qilinadi), keyin yuving
, vips, scho і - bir xil kichiklik tartibida cheksiz kichik (ekvivalent
). Xo'sh, agar seriya berilsa , de
da
, keyin kimning qatori standart qator sifatida olinishi mumkin , de uxlab yotgan a'zo Bu qizning buyrug'i, chunki u bu qatorning etakchi a'zosi.

Standart qatorni tanlashda siz quyidagi ekvivalent cheksiz kichiklar jadvalidan foydalanishingiz mumkin
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Button 8. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring

.

har kim uchun
.

Shunday qilib
, keyin biz standart qator sifatida uyg'un, alohida qatorni olamiz
. A'zolar o'rtasidagi munosabatlar qoldiqlari і Nolning terminal va bo'ysunuvchi chiqishi (chiziq 1 ga teng), keyin boshqa belgilar asosida ma'lumotlarni tenglashtirish qatori ajralib chiqadi.

Button 9.
Ikki belgining orqasida tekislash belgilari mavjud.

Ushbu seriya ijobiy, parchalar
, і
. Oskolki
, keyin standart qator sifatida siz garmonik qatorni olishingiz mumkin . Bu qator bir-biridan ajralib chiqadi va keyin birinchi tekislash belgisidan keyin keyingi qator ham ajralib chiqadi.

Shunday qilib, bu qator va qator-standart uchun aql chiziladi
(bu erda 1-mo''jiza chegarasi tanlanadi), keyin boshqa belgilar asosida qator tekislanadi.
- Ajratish.

5-TEOREMA (D'Alember belgisi)

Yakuniy chegara mavjud
, keyin qator yaqinlashadi
qachon farq qilaman
.

Tugallandi. Qani ketdik
. Keling, bu raqamni olaylik , orasiga yotqizilgan ta 1:
. Voy-buy
raqamdan iz bezovtalik tugaydi

;
;
(5)

Keling, qatorni ko'rib chiqaylik

Bu yaxshi (5) qatorning barcha a'zolari (6) uzluksiz geometrik progressiyaning tobe a'zolaridan ustun emas.
Oskolki
, bu rivojlanish shunga o'xshash. Birinchi belgi orqali tekislash qatorning o'sishini ko'rsatadi

Vipadok
o'zingizga qarang.

Hurmat :

iz, shuning uchun qatorda ortiqcha bor

.

D'Alembert belgisi amalda qulay, agar belgi ko'rsatish funktsiyasi va faktorialga nisbatan past bo'lsa.

dumba 10. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring D'Alembert belgisi orqasida.

Bu qator ijobiy i

.

(Bu erda raqamlarni hisoblashda Lopital qoidasi qo'llaniladi).

keyin d'Alembert belgisi orqasida bu qator yaqinlashadi.

Button 11..

Bu qator ijobiy i
. Oskolki

keyin bu qator yaqinlashadi.

6-TEOREMA (Koshi belgisi)

Ijobiy seriya uchun Yakshcho Yakuniy chegara mavjud
, keyin qachon
qator yaqinlashadi va qachon
qator ajralib chiqadi.

Isbot 5-teoremaga o'xshaydi.

Hurmat :

dumba 12. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring
.

Ushbu seriya ijobiy, parchalar
har kim uchun
. Chegaralarni hisoblashning qoldiqlari
qiyinchilik qo'shiqlarini chaqiradi, keyin imkonsizlikning zaruriy belgisining ahamiyatini tekshirish past bo'ladi.

keyin Koshy belgisi orqasida qator ajralib chiqadi.

7-TEOREMA (Maklaurin-Koshi yaqinlashuvining integral belgisi)

Unga raqam berilsin

har qanday turdagi a'zolar ijobiy o'smaydi:

Qo'yib yubor
- barcha nutq uchun mo'ljallangan funksiya
, uzluksiz, o'smaydi va