Sonlar qatorining yaqinlashuv belgilari. Amalda qatorlar miqdori bir-biridan ajralib turadigan satrlarning maksimal soni, o'rta nuqtalar pastroq

Birja 8. Daniya qatori

Uning hayotini nuqtalarda kuzatib boring x= 1 i X= 3, x= -2.

X = 1 bo'lganda, qator raqamlar qatoriga aylanadi

Biz d'Alembert belgisi orqasida bu qatorning o'tishini kuzatishimiz mumkin. Maemo

Tobto. qator yaqinlashadi.

X = 3 bo'lganda qator o'chiriladi

Ajralish uchun, tugamaslik uchun ketma-ketlikda konvergentsiya belgisiga ehtiyoj bor

X = -2 da uni yo'q qilish mumkin

Leybnits belgisi orqasida birlashadigan seriya.

Ozhe, nuqtalarda x= 1 i X= -2. ketma-ket birlashadi, lekin aniq x= 3 farq.

Elementar funksiyalarni Maklaurin qatoriga joylashtirish:

Teylorning garovi funktsiya uchun f(x) ko'rinishga statik jihatdan yaqin deb ataladi

Yakshcho, a = 0, keyin biz Teylor seriyasidagi oxirgi tomchini rad etamiz

qaysi deyiladi Maklaurin buyrug'i.

O'zining yaqinlashish oralig'i o'rtasida joylashgan qadam satr imkon qadar ko'p marta atama bo'yicha farqlanishi va birlashtirilishi mumkin, qarama-qarshi qatorlar esa chiquvchi qator bilan bir xil yaqinlashuv oralig'iga amal qiladi.

Ikkita stacked seriyani bir nechta atamalarni katlama va ko'paytirish qoidalariga rioya qilgan holda atama bo'yicha katlama va ko'paytirish mumkin. Bunday holda, tanlangan yangi qatorning yugurish oralig'i chiqish qatorlarining chiqish oralig'ining tashqi qismidan qochadi.

Funktsiyani Maclaurin seriyasiga kengaytirish uchun quyidagilar zarur:

1) funktsiyaning qiymatlarini va nuqtaning oxirgi avlodlarini hisoblang x = 0, keyin. .

8. Maklaurin seriyasiga funksiyalarni kengaytiring.

Barcha natural sonlarning yig‘indisi nimaga teng? Sezgi javob cheksizlik ekanligini taxmin qiladi. Matematik tahlilda natural sonlar yig'indisi shunchaki bir-biridan ajralib turuvchi qatordir. Timdan kam emas, matematiklar va fiziklar bunday qatorlar yig'indilarining ijobiy, salbiy va nol qiymatlarini qadrlashgan. Mening maqolamning meta - pardani kameraga qo'yish, bu ajralib chiqadigan qatorlarni umumlashtirish natijalarini ko'rsatadi. Zokrema, men Sum funksiyasidan foydalanaman (qisman summalarni, qatorlarni va boshqalarni qidirish funktsiyasi). Matematika), shuningdek Wolfram tilining boshqa funktsiyalari quyidagi bayonotlar qanday ma'noda ko'rib chiqilishini aniqlashtirish uchun:

A, B, C va D harflari bo'lgan formulalar ma'nosining ahamiyati sizga tez orada aniq bo'ladi.

Shuni esda tutish kerakki, bir qator ishlarda vikoristaga borish va cheksiz pasayib borayotgan geometrik progressiyani boshlash vaqti keldi.

bilan boshlanadigan qatorning Zagalny a'zosi n = 0 , formula bilan ko'rsatilgan:

Endi qatordagi atamalar yig‘indisini qo‘yaylik i= 0 yakuniy qiymatga i = n.

Bu oxirgi sumka deb ataladi ketma-ket shaxsiy summa.

Bunday qisman summalar qiymatining grafigi shuni ko'rsatadiki, ularning qiymatlari o'sishning 2 barobariga yaqinlashadi n:

Turg'unlik funktsiyasi chegarasi (nuqtadagi ketma-ketliklar va funktsiyalar o'rtasidagi qidiruv) ketma-ketlikning qisman yig'indisi qiymatlari orasida topiladi. n haddan tashqari, bizning ogohlantirishlarimizni tasdiqlash uchun.

Agar 0 dan cheksizgacha qator a'zolarini qo'shsak, Sum funksiyasi bir xil natija beradi.

Biz aytamizki, bu qator (bu cheksiz pasayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisi) birlashish nima bo'ldi so'm qimmatroq 2.

Shunday qilib, cheksiz qatorlar yaqinlashadi, chunki qisman yig'indilar sonining o'zaro bog'liqsiz ko'payishi mavjud bo'lganda, qisman yig'indilarning ketma-ketligi haqiqiy ahamiyatga ega emas. Bunda xususiy summalarning chegaraviy qiymati qator summasi deyiladi.

Bir-biriga yaqinlashmaydigan cheksiz qator deyiladi ajralish. Xazinalar uchun so'm ketma-ket bo'lib, uni tarqatib bo'lmaydi, lekin xususiy summalarning tekshirilgan usuli yordamida topib bo'lmaydi. Tim kam bo'lmaganda, matematiklar ushbu seriyalarning yig'indilariga terminal raqamli qiymatlarni belgilashning turli usullarini ishlab chiqdilar. Bu summa deyiladi tartibga solingan bir nechta narsalarni ajratish. Muntazamlashtirilgan summalarni hisoblash jarayoni deyiladi tartibga solish.

Endi biz kirishdan A dumini ko'rib chiqamiz.

"A" bir-biridan ajralib turuvchi qatorlarni tartibga solish texnikasini yaratgan mashhur norvegiyalik matematik Abelni anglatadi. Qisqa umri davomida u atigi 26 yoshida vafot etdi, Abel ba'zi eng muhim matematik vazifalarda ajoyib natijalarga erishdi. Zokrema, beshinchi darajali algebra darajasiga yechimni radikallarda topa olmasligini ko'rsatib, shu bilan 250 yil oldin hal qilinmagan muammoga nuqta qo'ydi.

Abel usulini umumlashtirish uchun, iltimos, ushbu seriyaning birinchi a'zosi quyidagicha ko'rinishini unutmang:

Birinchi ma'nolar sonini bilganingizdan so'ng, buni osongina tekshirish mumkin a[n].

Quyidagi grafikda ko'rib turganingizdek, ba'zi qatorlar 1 yoki 0 ga teng qiymatlarni oladi, shuning uchun bolalar n chi neparne.

Tabiiyki, Sum funksiyasi bir qancha farqlarni ko'rsatadi.

Abelning tartibga solinishi bu qatorga qadar ikki krokida bajarilishi mumkin. Bundan buyon biz noyob davlat qatorida bo'lamiz.

Keyin biz bu summalar o'rtasida qabul qilamiz x ya'ni 1 ga teng, mos keladigan qator qiymat uchun yaqinlashadi x kichikroq, lekin teng emas 1.

Ushbu ikkita chiziq birlashtirilishi mumkin, ular mohiyatan bir-biridan ajralib turadigan qatorlar yig'indisini hosil qiladi. Abel.

Sum funksiyasi uchun Regularization opsiyasidan imkon qadar tezroq bir xil variantni olib tashlashimiz mumkin.

Ahamiyati 1 / 2 O'rinli ko'rinadi, chunki fragmentlar bu qatorning qisman yig'indisi sifatida qabul qilingan ikkita qiymatning o'rtacha qiymati, 1 va 0 mavjud. Bundan tashqari, bu usulda aniqlanadigan chegara o'tish intuitiv ravishda oqilona, ​​chunki qachon x= 1 stacked satr bir-biridan ajralib turadigan qatorimizga to'g'ri keladi. Biroq, Hobil kunning shiddatliligidan allaqachon hayajonlangan edi, chunki u o'sha soatning matematik tahliliga qiziqib qoldi va bu haqda o'zining hayajonini tushuntirdi:

“Manbalarning bo‘linishi shaytonning aybidir va ularga dalil uchun tayanish nodonlikdir. Ularning yordami bilan siz o'zingiznikiga o'xshash har qanday kontseptsiyani yaratishingiz mumkin va shunday qilib, ketma-ket siz juda ko'p foyda va juda ko'p paradokslarni yaratishingiz mumkin. (N.H. Abel o'zining buyuk kitobxoni Berndt Xolmboyning ro'yxatida, Sichen 1826)

Endi u qattiqlashayotgan B bo'g'ziga ko'tarilmoqda, shuning uchun:

"B" dunyo nazariyasi va aniqlik nazariyasi kabi odamlar orasida ishlagan frantsuz matematiki Borelni anglatadi. Zokrema, Borel "cheksiz ma'lumotlar haqidagi teorema" bilan bog'liq bo'lib, agar mavhum model do'stingizning yozuv mashinkasi klaviaturasida to'satdan cheksiz soatlar davomida urilsa, buning haqiqiyligini tasdiqlaydi. matnni qo'llab-quvvatlash, masalan, Uilyam Shekspir asarlari to'plamidan tashqari, noldan ayiriladi.

Borel usulini qadrlash uchun ushbu seriyaning birinchi a'zosi quyidagicha ko'rinishini ta'kidlash kerak:

Borelning tartibga solinishi tezda ikki qatorga ajralib turadigan qatorlarga qisqartirilishi mumkin. Birinchidan, bu qatordagi atamalar ketma-ketligi uchun eksponensial funktsiyani hisoblaymiz. Bannerning yonida joylashgan faktorial parametrning barcha qiymatlari uchun ushbu seriyaning yaqinlashishini ta'minlaydi. t.

Keyin biz tebranish va uning aniq qiymatini qidiradigan eksponensial funktsiyamizning Laplas o'zgarishini tebranamiz. s= 1 .

Ushbu chiziqlar birlashtirilishi mumkin va natijada biz mohiyatan bir-biridan ajralib turadigan qatorlarning qiymatini olib tashlashimiz mumkin. Borel.

Laplas tomonidan qayta yaratilgan eksponensial aylanish funksiyasini izlash uchun Wolfram tilidagi maxsus funksiyalardan ham foydalanishimiz mumkin:

Bunday holda, tasdiqlash qo'shimcha Sum yondashuvi uchun darhol rad etilishi mumkin.

Borelga ko'ra summaning qiymati oqilona, ​​chunki u olib tashlanishi mumkin bo'lgan qatorda turg'un bo'lishi mumkin bo'lgan qisman yig'imlarning asosiy usuli bo'lgan bir xil natijani beradi. Bunday holda biz subsumpsiya va integratsiyani almashtiramiz, so'ngra Gamma funktsiyasini hisoblaymiz, bunda mos keladigan integral 1 dan ortiq va shunchaki yo'qolganligini olib tashlashimiz mumkin, mohiyatiga ko'ra yig'indi qatorda:

Biroq, bir-biridan ajralib turadigan qatorlar bo'lsa, yig'indi va integral belgilarini teskarisiga aylantirish mumkin emas, bu esa ushbu tartibga solish usuli taqdim etadigan natijalarga olib keladi.

Borel yig'indisi - bu ajralib chiqadigan qatorlarni yig'ishning universal usuli bo'lib, bu, aytaylik, kvant maydon nazariyasida turg'undir. Borelning taxmini haqida katta adabiyotlar to'plami mavjud.

Butt C buni qattiqlashtiradi:

"C" differensial geometriya, sonlar nazariyasi va matematik fizikaga katta hissa qo'shgan italyan matematigi Cesaro (uning ingliz laqabi Cesaro deb yozilgan) degan ma'noni anglatadi. Sezaro juda samarali matematik edi, 1884-1886 yillar oralig'ida 80 ga yaqin maqola yozgan, 1887 yilda doktorlik darajasini tugatgan!

Kob uchun, qatorning eng qorong'u a'zosi bilan boshlab, hurmat n= 0, shunday ko'rinadi:

Grafik yig'indisi qatorining qisman yig'indisining kuchli tebranishini ko'rsatadi.

Sezaro usuli joriy grafik ko'rsatadigan tebranishlarni bostirish uchun qisman yig'indilarning arifmetik vositalarining ketma-ketligini qo'llaydi.

Rasmiy, aftidan, shama Cesaro tomonidan qatordagi qisman yigʻindilarning arifmetik oʻrtachalari ketma-ketligi oʻrtasidagi farq sifatida koʻrsatiladi. C qatoridagi chegarani hisoblab, biz -1/2 natijasini olib tashlaymiz (bo'linish grafigi kattaroq).

Agar biz Sum funksiyasida Regularization opsiyasi uchun tegishli qiymatlarni belgilab, ushbu turdagi tartibga solishni tanlasak, Cesaro summasini o'rta chiziqsiz olib tashlash mumkin.

Sezaroni yig‘ish usuli Furi qatorlari nazariyasida muhim rol o‘ynaydi, bunda trigonometrik funksiyalarga asoslangan qatorlar davriy funksiyalarni ifodalash uchun ishlatiladi. Uzluksiz funktsiya uchun Furi qatorlari yaqinlashmasligi mumkin, lekin Sezar yig'indisi (va ular deyilganidek Cesaro degan ma'noni anglatadi) har doim funktsiyaga yaqinlashadi. Bu natija Fejer teoremasi deb ataladi.

Qolgan dumbamiz tabiiy qatorlar yig'indisi -1/12 ga teng ekanligini tasdiqlaydi.

"D" sonlar nazariyasiga va matematikaning boshqa sohalariga katta hissa qo'shgan nemis matematigi Dirichletni anglatadi. Dirixlining qo'shgan hissalarining kengligini shunchaki ko'rib chiqish orqali baholash mumkin Matematika 10 tajovuzkor kod.

Out//TableForm=

Dirixly tartibga solish o'z nomini "Dirichly seriyasi" tushunchasidan oldi, bu quyidagicha ta'riflanadi:

Ushbu seriyaning maxsus kengaytmasi Riemann zeta funktsiyasi bo'lib, uni quyidagicha hisoblash mumkin:

SumConvergence funktsiyasi bu qator parametrning faol qismi bilan bir xil tarzda yaqinlashishini aytadi. s 1 dan katta bo'ladi.

Biroq, Riemann zeta funktsiyasining o'zi boshqa parametr qiymatlari uchun aniqlanishi mumkin s kompleks o'zgaruvchining funksiyasi nazariyasidan olingan analitik davom etishning qo'shimcha jarayoni uchun. Masalan, qachon s= -1, biz o'tkazib yuboramiz:

Ale at s= -1 seriya, bu Riemann zeta funksiyasi va natural qatorni belgilaydi. Keling, ko'rib chiqaylik va shuni ta'kidlaymiz:

Bu natijani tushunishning yana bir yo‘li – ketma-ketligimizning bir-biridan ajralib turadigan a’zosiga juda kichik e parametrini kiritish va keyin quyida ko‘rsatilganidek, Maklaurin qatoridagi olingan funksiyalarning qo‘shimcha funksiyalar seriyasi ortidagi kengayishini aniqlashdir.

Belgilangan elementga birinchi qo'shilish, e parametri nolga yaqinlashganda nomuvofiqlik bo'lib, bir vaqtning o'zida uchinchi va keyingi barcha shartlar nolga aylanadi. Agar e ostida yotgan barcha atamalarni chiqarib tashlasak, u holda yo'qolgan -1/12 soni Dirixle tabiiy qatorining yig'indisi bo'ladi. Shu tariqa, Dirixli bo'yicha yig'indi biz ta'riflagan usul bilan hosil qilingan ketma-ket tartibga solishning cheksiz kichik va cheksiz buyuk a'zolaridan voz kechish usuli sifatida chiqadi. Vodkidati likenni maydalashda Ts, noaniq, kattaligi kattaligi Zvishnoye matematik analizi, natija PIDSUMOVOVANNY RARIV, atirgul Dirihli nastilkada yoft.
Stiven Xoking bu usulni egri fazoda Feynman integrallarini hisoblash tugallanmaguncha asoslab berdi. Xokingning maqolasida zetani tartibga solish jarayoni juda tizimli tasvirlangan va u nashr etilgandan keyin katta shuhrat qozongan.

Bir-biridan ajraladigan seriyalar haqidagi bilimimiz dunyodagi eng buyuk mutafakkirlar tomonidan ishlab chiqilgan chuqur nazariyalarga asoslanadi. Tim ham kam emas, men ko'plab o'quvchilar bilan yaxshi munosabatdaman, ular men kabi, hozirgi jismoniy nazariyalarda hidni his qilsalar, aql bovar qilmaydigan narsalarni sezadilar. Buyuk Hobil, ehtimol, agar bu qatorlarni "iblisning sharobi" deb atasa, noto'g'ri ish qilgan bo'lardi. Har qanday kelajakdagi Eynshteyn, har qanday aql, kuchli rahbarlar va hokimiyatlarning erkin shakli, bunday muhim ilmiy inqilob va fundamental fizikani isloh qilish, unda saflar uchun joy qolmasligi uchun tarqalib ketishi istisno qilinmaydi. Agar bunday nazariya haqiqatga aylansa, bir-biridan ajralib turadigan qatorlar hali ham bizga koinotimizni chuqurroq tushunish yo'lini yoritib beradigan ko'plab matematik g'oyalarni beradi.

Keling, raqamlarning cheksiz ketma-ketligini ko'rib chiqaylik. raqamlar yo'q, har qanday natural son n qo'shiq qoidasi ortida raqam bor a n. Shakl raqamlar qatori deb ataladi, raqamlarning o'zi qator a'zolari deb ataladi, - ketma-ket uxlab yotgan a'zo. Seriyani qisqacha shunday yozing: .

Sumi, unda faqat mavjud bo'lganlar n turkumning birinchi a'zolari chaqiriladi ketma-ket shaxsiy summalar.

Raqamli qator o'xshash deb ataladi, chunki uning qisman yig'indilari ketma-ketligi oxirida tugaydi. Raqam S suma qatori deyiladi.

Agar chegara bo'lmasa, u holda qator deyiladi.

dumba 1. Cheksiz geometrik progressiya berilgan. Katlanadigan qator

Va seriyaning qisqaligi qiymatiga qarab, uning qisqaligini kuzatish mumkin. Va biz shaxsiy summani yig'amiz =. Maktab matematika kursida shunisi aniqki... Qanday qilib chiqib ketishni taxmin qilishimiz mumkin. Tasdiqlash uchun bo'linish amalga oshiriladi

Keling, shifokorlar, chegaralarni hisoblab chiqaylik, bu erda uchta mumkin bo'lgan natija bor:

2) yakscho q= 1, keyin = i,

3) yakscho q= -1, keyin =, i, a =, i. Xo'sh, ular orasida qisman summalar ketma-ketligi yo'q.

Shuning uchun tushunish kerak: geometrik progressiya -da yaqinlashadi va ajraladi.

dumba 2. Bo'linishni qatorga keltiring

Qaror. Keling, quyidagi ketma-ketlikda xususiy summani hisoblaymiz:

>, keyin. > ,

va qisman yig'indilar o'rtasida qadimgi nomuvofiqliklar mavjud (chegaralar haqidagi taniqli teoremadan keyin: kabi x n > y n, keyin): = ¥. Xo'sh, bu butun seriya bir-biridan farq qiladi.

Bir-biriga yaqinlashadigan darajalarning kuchi

Keling, ikkita qatorni ko'rib chiqaylik. Ikkinchi qator birinchisini kiritish usuli bilan birinchi qatordan olinadi m yogo a'zolari. Bu qator ortiqcha qator deb ataladi va belgilangan r n.

Teorema 1. Agar qator a'zolari borishi kerak bo'lsa, sonni kunga ko'paytiring Z, keyin qatorning qiymati yo'q qilinmaydi, lekin miqdor ko'payadi Z.

Teorema 2. Bir-biriga yaqinlashadigan ikkita satr parcha-parcha buklanishi (ko'tarilishi) mumkin va qatordan olingan birining yig'indisi o'xshash, birinchi qatorning yig'indisi va ikkinchisining yig'indisi.

Teorema 3. Agar ketma-ket yaqinlashsa, ortiqcha terilar yaqinlashadi. Qatorning ortiqcha bo'lishi qatorning o'zi ortiqcha bo'lishiga olib keladi.

Buni boshqacha aytishimiz mumkin: seriya a'zolarining oxirgi sonining qisqarishi kamayishiga yordam beradi. Va bu kuch eng mo''jizadir. Haqiqatan ham, bir qator qadimgi nomuvofiqliklar shubhasiz qolsin (diapazon farqlanadi). Biz ketma-ket a'zolarning juda ko'p sonini qo'shamiz. Bu miqdor bundan ham ko'proq bo'lishi mumkin, lekin yana oxirgi raqam. Demak, bu yig‘indi qatorlar uchun juda ko‘p ekanligini bildiradi va qator a’zolari borki, ular allaqachon arzimas darajada kichik, qo‘shimchalar sonidagi nomuvofiqliklar nisbati uchun bir xil qadimiy nomuvofiqliklar.

Teorema 4. Ogohlantirish belgisi kerak.

Agar ketma-ket birlashsa, sizning qo'shma a'zongiz a n pragne nol, tobto. .

Tugallandi. To'g'ri,

Agar qator yaqinlashsa, u holda, uchun ham.

Shunisi e'tiborga loyiqki, bu belgi endi etarli emas. Seriya farqlanishi mumkin, chunki oxirgi a'zo nolga teng. Dumbada 2-qator sizning uxlab yotgan a'zongizni xohlab, ajralib chiqadi.

Ale yakscho a n da nolga teng emas, keyin qator ajratiladi ( qatorni ajratishning etarli belgisi).

Ijobiy a'zolar bilan qatorlarning o'xshashligi

Seriya ijobiy deb ataladi, hammasi shu.

Ushbu seriyaning qisman summalari S n o'sib borayotgan ketma-ketlikni yaratish, oyoq oldida terining bo'laklari, keyin. . Nazariyaga ko'ra (Bolzano-Vayershtrass teoremasi) o'sayotgan ketma-ketlik hayvonlar bilan chegaralangan (keyin hamma uchun). S n Bunday qobiliyat bor M, nima S n < M hamma uchun n), chegara bor. Teorema keladi.

Teorema. Bir qator ijobiy atamalar hayvonga ayirboshlashning qisman yig'indisi sifatida yaqinlashadi va boshqacha tarzda ajralib chiqadi.

Hamma narsa shu kuchga asoslanadi qatorlarning musbat a'zolar bilan yaqinlashuvining yetarli belgilari. Keling, asoslarni ko'rib chiqaylik.

Nisbatan belgisi

Keling, salbiy bo'lmagan atamalar bilan ikkita qatorni ko'rib chiqaylik: - (3) va - (4), bundan tashqari, harakatdan boshlab n. Bundan tashqari, qatorning qisqaligi (4) qatorning qisqaligi (3) ga teng. Va (3) qatorning divergentsiyasidan (4) qatorning farqi bor.

Aks holda: hadlari kattaroq qator yaqinlashsa, hadlari kichikroq qator yaqinlashadi; Agar bir qancha kichik a'zolar ajralib chiqsa, u holda bir qancha kattaroq a'zolar ajralib chiqadi.

dumba. Qisqartirish uchun ketma-ketlikka rioya qiling.

Qaror. Seriyaning birinchi aʼzosi va qator bannerli geometrik progressiya aʼzolarining cheksiz yigʻindisidir.< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Chegara shaklidagi hizalanish belgisi

Keling, ikkita qatorni ko'rib chiqaylik i va ketaylik - yakuniy raqam. Qatorlar bir vaqtning o'zida birlashadi va ajralib chiqadi.

dumba.

Qaror. Biz tekislash uchun qatorni tanlaymiz, buning uchun z'yasuvavshi, katta bilan qatorning yashirin a'zosi natijasida. n:

Tobto. ~ , va qator tekislanganda, biz oldin ko'rsatilgan bir-biridan ajralib turadigan qatorni olamiz.

Orasida hisoblash mumkin

Va keyin, qatorlar xafa bo'ldi, ammo, keyin. Bu seriya farq qilishi mumkin.

D'Alembert belgisi

Berilgan qator va aniq chegara bo'lsin. Todi, yakscho l < 1, то ряд сходится, если l> 1 bo'lsa, ketma-ketlik ajraladi, ya'ni l= 1, bu tasdiqlash belgisini bermaydi (qo'shimcha tekshirish talab etiladi).

dumba. Qatorning qisqacha tavsifiga rioya qiling (taxmin qiling, keyin nima bo'ladi. n-faktorial - 1 dan barcha butun sonlarni qo'shish n).

Qaror. Ushbu qator uchun (uni topish uchun kerak n almashtirmoq n+ 1). Orasida hisoblash mumkin

va interval 1 dan kichik bo'lgani uchun, bu qator yaqinlashadi.

Koshi belgisining radikali

Berilgan qator va aniq chegara bo'lsin. Yakshcho l< 1, то ряд сходится, если l> 1 bo'lsa, ketma-ketlik ajraladi, ya'ni l= 1, bu tasdiq belgisini bermaydi (qo'shimcha tekshirish talab etiladi).

dumba. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring

Qaror. Zagalniy qator a'zosi. Keling, chegaralarni hisoblaylik. Bu konvergentsiya past ekanligini anglatadi.

Koshi belgisining integrali

Keling, qatorni ko'rib chiqaylik va orasini aytaylik X Uzluksiz, musbat va monoton kamayib boruvchi funksiya mavjudki, shunday n= 1, 2, 3… . Shunday qilib, qator va kuchsiz integral bir vaqtning o'zida yaqinlashadi va ajralib chiqadi.

Shunisi e'tiborga loyiqki, ushbu seriyada bu funksiya interval sifatida ko'riladi.

Qanday ko'rsatkichlar borligini taxmin qiling uchuvchan bo'lmagan integral o'xshash deb ataladi, chunki oxirgi chegara mavjud va shuning uchun =. Yakuniy chegara yo'qligi sababli, shunday ko'rinadi uchuvchan bo'lmagan integral ajralish.

dumba. Keling, qatorni ko'rib chiqaylik - uyg'un qator yoki qadam ko'rsatkichi bilan Dirichlet seriyasi s. Yakshcho s= 1, keyin qator chaqiriladi uyg'un yonma-yon.

Biz ushbu qatorga amal qilamiz, vikorista va integral Koshi belgisi: =, va = funktsiyasi belgiga tayinlangan barcha vakolatlarga ega. Hisoblash mumkin bo'lgan uchuvchan bo'lmagan integral.

Uchta mumkin bo'lgan tur mavjud:

1) s < 1, и тогда

integral ajralib chiqadi.

2) qachon s = 1

integral ajralib chiqadi.

3) yakscho s> 1, keyin

integral yaqinlashadi.

Visnovok. Keyingi garmonik qator yaqinlashadi, kabi s> 1 va ajralish, chunki s ≤ 1.

Ushbu qator ko'pincha qadamni tuzatish uchun boshqa qatorlar bilan tekislash uchun ishlatiladi n.

dumba. Muvaffaqiyat uchun qatorga amal qiling.

Qaror. Bu seriya uchun ~ =, demak, bu ketma-ket qadam indikatorli Dirixlet seriyasi kabi yaqinlashuvchi qatorga teng. s = 2 > 1.

Chegara shaklidagi tenglashtirish belgisi ushbu qator a'zolari va Dirixlet qatorlari o'rtasidagi munosabatni aniqlash uchun ishlatiladi:

Xo'sh, bu seriya birlashishi mumkin.

Wikoristannya'dan foydalanish bo'yicha tavsiyalarxavf belgisi

Endi, birinchi navbatda, ketma-ketlikning qisqaligining kerakli belgisini tezda ishlatishimiz va qatorning frontal a'zosi orasidagi masofani hisoblashimiz kerak. Shunday bo'lsa-da, ketma-ket ajralish ehtimoli bor va shuning uchun etarli belgilardan biri tezda yaqinlashadi.

Nisbatan belgilari Bunday vaziyatlarda g'alaba qozonish yoqimli, agar yo'l oldingi a'zo uchun virazani aylantirish bo'lsa, qator chiqish qatoridan qatorga o'tishga qodir, o'xshashlik (va ajratish) har qanday turdagi. Zokrema, bir qadamdan ham kam qasos olish n Va keyinroq ishlatilishi mumkin bo'lgan boshqa kerakli funktsiyalarni almashtirmang.

Nisbatan belgilari Agar chiquvchi qatorni parallel garmonik qator yoki uzluksiz geometrik progressiya a'zolaridan tashkil topgan tutqich bilan o'rnatish mumkin bo'lsa, u to'xtab qoladi.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

Chunki sonlar daftarida bu funksiyalarga asoslangan funksiya, ishora daftarida esa undan ustun bo‘lgan funksiya mavjud bo‘lsa, hamma narsada bo‘lgani kabi qatorlar ajraladi va hokazo.

Amalda, ko'pincha oziq-ovqat narxi past bo'lganligi sababli, miqdorning pastligini bilish unchalik muhim emas. Shu maqsadda, seriyaning marhum a'zosining vakolatlariga asoslanib, yaqinlik belgilari yaratiladi.

Qator belgisi kerak

1-TEOREMA

Yakshcho qatorikonverge, keyin sizning uxlab yotgan a'zongiz pragna nolga
, tobto.
.

Qisqa: qator yaqinlashsa, bu qo'shma a'zo nolga teng bo'lmaydi.

Tugallandi. Qator birlashsin va yig'indi yanada qadimiy bo'lsin . Har kim uchun chastkova so'mi

.

Todi. 

Yonuvchanlikning zarur belgilari paydo bo'lishi bilan Qatorni ajratishning etarli belgisi: qachon
Qatorning birinchi a'zosi nol emas, keyin qator ajralib chiqadi.

dumba 4.

Bu qator uchun, la'nat a'zosi
і
.

Xo'sh, bu butun seriya bir-biridan farq qiladi.

Butun 5. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring

Shubhasiz, ushbu seriyaning eng muhim a'zosi, virusning kattaligi orqali har qanday ko'rsatkichning turi, da nol qiymati.
, keyin. qatorga imzo qo'yish kerak, qator tugaydi, keyingi qator ajralib chiqadi, bu sumkaning bo'laklari pragne nomuvofiqligi.

Ishora-musbat raqamlar qatori

Barcha hadlari musbat sonlar qatori deyiladi ijobiy.

2-TEOREMA (musbat qatorning yaqinligi mezoni)

Seriyadagi ijobiy belgining o'xshashligi uchun uning barcha qisman yig'indilari bitta va bir xil son bilan o'ralgan bo'lishi zarur va etarli.

Tugallandi. Shunday qilib, har kim uchun
, bular, tobto. ketma-ketlik
- monoton o'sib boradi, shuning uchun chegaralarni yaratish uchun hayvonlarning ketma-ketligini qandaydir son bilan chegaralash zarur va etarli.

Bu teorema katta nazariy ahamiyatga ega, kamroq amaliy ahamiyatga ega. Emprenyening keyingi belgilari ko'rsatiladi, bu esa katta turg'unlikka olib kelishi mumkin.

Belgili-musbat qatorlar yaqinlashuvining etarli belgilari

3-TEOREMA (Birinchi belgi teng)

Sizga ikkita ijobiy seriyani taqdim etamiz:

(1)

(2)

Bundan tashqari, xuddi shu raqamdan boshlab
har qanday sababga ko'ra
bezovtalik tugaydi
Todi:

Birinchi tekislash belgisining sxematik yozuvi:

tushish.yig‘ilish.

rozh.  roser.

Tugallandi. 1) Seriyadagi oxirgi hadlar sonining qoʻshilishi uning samaradorligiga taʼsir qilmagani uchun biz xulosa uchun teoremani isbotlaymiz.
. Kimgadir salom ayting
mayomo

, (3)

de
і
- (1) va (2) qatorlarning qisman yig'indisi aniq.

Agar (2) qator yaqinlashsa, bu boshlang'ich raqamdir
. Parchalar va ularning ketma-ketligi
- Katta bo'lib, ularning har qanday a'zosi uchun ular orasida ko'proq bor, keyin.
har kim uchun . Tengsizlikdan (3) yulduzlar yonadi
. Shunday qilib, ketma-ket yig'indilarning barcha qismlari (1) hayvonlarning raqamlari bilan o'ralgan. . Bu qator teorema 2 dan oldin yaqinlashishi aniq.

2) Haqiqatdan ham (2) qator yaqinlashsa, tenglashtirish belgisidan keyin (1) qator yaqinlashadi. 

Ushbu belgilarni aniqlash uchun ko'pincha quyidagi standart seriyalardan foydalaniladi, ular orasidagi o'xshashlik va farqlar, masalan:

3) - Dirixlet seriyasi (u bir-biriga yaqinlashadi
qachon farq qilaman
).

Bundan tashqari, ko'pincha aniq tengsizliklarning boshlanishi tufayli yo'q qilinishi mumkin bo'lgan qatorlar mavjud:

,

,
,
.

Keling, birinchi tekislash belgisi yordamida past tezlikdagi ijobiy belgini kuzatish sxemasi bo'yicha o'ziga xos tirgaklarni ko'rib chiqaylik.

Button 6. Seriyani kuzatib boring
yaxshilanish uchun.

1-dars. Seriyaning ijobiy belgisini tekshiramiz:
Uchun

2-dars. Qator uchun kerakli belgilarni tekshiramiz:
. Shunday qilib
, Bu

(agar chegaralarni hisoblash qiyin bo'lsa, bu muddat o'tkazib yuborilishi mumkin).

Krok 3. Vikoristovuyu tekislashning birinchi belgisi. Shuning uchun biz ushbu seriya uchun standart seriyani tanlaymiz. Shunday qilib
, keyin biz qatorni olishimiz mumkin
, keyin. Dirixlet seriyasi. Bu qator birlashadi, parchalar sahnani ko'rsatadi
. Keyin, birinchi belgi bilan, hizalama birlashishi va ketma-ketlikni kuzatish kerak.

Button 7. Seriyani kuzatib boring
yaxshilanish uchun.

1) Bu qator ijobiy, fragmentlar
Uchun

2) yaqinlik belgisi qatorga tortilishi uchun zarur, chunki

3) Standart qatorni tanlaymiz. Shunday qilib
, keyin geometrik qatorni olishimiz mumkin

. Bu qator yaqinlashadi, keyin esa keyingi qatorlar yaqinlashadi.

4-TEOREMA (Tenglashning yana bir belgisi)

Ijobiy seriyalar uchun і U nolinchi chegaraga asoslanadi
, Bu qatorlar bir vaqtning o'zida yaqinlashadi va ajralib chiqadi.

Tugallandi.(2) qator yaqinlashsin; Keling, (1) qator yaqinlashishi kerakligini ko'rsataylik. Viberemo - bu raqam , ko'proq, pastroq . Voy-buy
Bunday raqamning kelib chiqishi ta'kidlangan , hamma uchun nima
adolatsizlik adolatlidir
, yoki bo'lmasa, xuddi shunday

(4)

Birinchi bo'lib (1) va (2) o'rinlarni egalladi a'zolar (birgalik keltiradi), tengsizlik (4) hamma uchun adolatli ekanligini unutmang
Ale qatori uxlab yotgan a'zo bilan
qatorning kuchiga o'ting (2). Nivelirlashning birinchi belgisidan, notekislikdan (4) qator (1) keladi.

Keling, pastga tushamiz (1); Keling, qiymatni (2) qatorga keltiramiz. Qaysi qator uchun faqat berilgan qatorlarning rollarini o'zgartiring. Shunday qilib

Xulosa qilish uchun, (1) qatordan keyin (2) qator bo'lishi kerak. 

Yakshcho
da
(tanishlik belgisi talab qilinadi), keyin yuving
, vips, scho і - bir xil kichiklik tartibida cheksiz kichik (ekvivalent
). Xo'sh, agar seriya berilsa , de
da
, keyin kimning qatori standart qator sifatida olinishi mumkin , de uxlab yotgan a'zo Bu qizning buyrug'i, chunki u bu qatorning etakchi a'zosi.

Standart qatorni tanlashda siz ekvivalent cheksiz kichiklarning bosqichma-bosqich jadvalidan foydalanishingiz mumkin.
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Button 8. Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring

.

har kim uchun
.

Shunday qilib
, keyin biz standart qator sifatida uyg'un, alohida qatorni olamiz
. A'zolar o'rtasidagi munosabatlar qoldiqlari і Nolning terminal va bo'ysunuvchi chiqishi (chiziq 1 ga teng), keyin boshqa belgilar asosida ma'lumotlarni tenglashtirish qatori ajralib chiqadi.

Button 9.
Ikki belgining orqasida tekislash belgilari mavjud.

Ushbu seriya ijobiy, parchalar
, і
. Oskolki
, keyin standart qator sifatida siz garmonik qatorni olishingiz mumkin . Bu qator bir-biridan ajralib chiqadi va keyin birinchi tekislash belgisidan keyin keyingi qator ham ajralib chiqadi.

Ushbu satr va standart qator uchun bo'laklar bir joyga to'planadi
(bu erda 1-mo''jiza chegarasi tanlanadi), keyin boshqa belgilar asosida qator tekislanadi.
- Ajratish.

5-TEOREMA (D'Alember belgisi)

Yakuniy chegara mavjud
, keyin qator yaqinlashadi
qachon farq qilaman
.

Tugallandi. Qani ketdik
. Keling, bu raqamni olaylik , orasiga yotqizilgan ta 1:
. Voy-buy
raqamdan iz bezovtalik tugaydi

;
;
(5)

Keling, qatorni ko'rib chiqaylik

Bu yaxshi (5) qatorning barcha a'zolari (6) uzluksiz geometrik progressiyaning tobe a'zolaridan ustun emas.
Oskolki
, bu rivojlanish shunga o'xshash. Birinchi belgi orqali tekislash qatorning o'sishini ko'rsatadi

Vipadok
o'zingizga qarang.

Hurmat :

iz, shuning uchun qatorda ortiqcha bor

.

D'Alembert belgisi amalda qulay, agar frontal a'zo displey funktsiyasi va faktorialga nisbatan past bo'lsa.

Button 10 Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring D'Alembert belgisi orqasida.

Bu qator ijobiy i

.

(Bu erda ikkalasini hisoblashda Lopital qoidasi qo'llaniladi).

keyin d'Alembert belgisi orqasida bu qator yaqinlashadi.

Button 11..

Bu qator ijobiy i
. Oskolki

keyin bu qator yaqinlashadi.

6-TEOREMA (Koshi belgisi)

Ijobiy seriya uchun Yakshcho Yakuniy chegara mavjud
, keyin qachon
qator yaqinlashadi va qachon
qator ajralib chiqadi.

Isbot 5-teoremaga o'xshaydi.

Hurmat :

Button 12 Muvaffaqiyat uchun seriyani kuzatib boring
.

Ushbu seriya ijobiy, parchalar
har kim uchun
. Chegaralarni hisoblashning qoldiqlari
Agar qo'shiq qiyin bo'lsa, unda qatordagi zaruriy xavf belgisining muhimligini tekshirish o'tkazib yuboriladi.

keyin Koshy belgisi orqasida qator ajralib chiqadi.

7-TEOREMA (Maklaurin-Koshi yaqinlashuvining integral belgisi)

Unga raqam berilsin

har qanday turdagi a'zolar ijobiy o'smaydi:

Qo'yib yubor
- barcha nutq uchun mo'ljallangan funksiya
, uzluksiz, o'smaydi va