Ko'pincha interpolyatsiya qilingan funktsiyaning qiymatlari y, y2 , ..., y "turli xil tuzatishlar bilan tajriba natijasida aniqlanadi, ular uchun interpolyatsiya tugunlarida aniq yaqinliklarni baholash mantiqiy emas. Kimning turi uchun funktsiyani nuqtalar bilan emas, balki taxminan taxmin qilish tabiiyroqdir. o'rta, ya'ni me'yorlardan birida L p.

Fazo 1 r - shaxssiz funktsiya d(x), kesish uchun ajratmalar [A, b] Men birlashtirilgan modulman R-bosqich, me'yor aniqlanganda

Ushbu stavkadagi stavka at kursi deb ataladi o'rtada 1.2 fazosi Hilbert, Nyudagi fazo esa deyiladi o'rtacha kvadrat.

Berilgan Dx) funksiya va shaxssiz f (x) funksiya har qanday chiziqli standartlashtirilgan fazodan bo'lsin. Interpolyatsiya, yaqinlashish va yaqinlik muammosi kontekstida ikkita muammoni shakllantirish mumkin.

Birinchidan- bu yaqinlik ma'lum bir aniqlikka asoslanadi, ya'ni ma'lum bir narsaga ko'ra e Bu f (x) ni bilingki, asabiylashish bartaraf qilinadi | [Dx) - f (x) || G ..

Yana bir zavdannya- tse poshuk eng yaqin qo'shni, ya'ni munosabatlarni qanoatlantiradigan f * (x) funktsiyasini izlash:

Bu eng yaqin qo'shnining etarli aql-idrokini isbotlamasdan muhim ahamiyatga ega. Buning uchun funktsiyaning chiziqli maydonida virus tomonidan parametrlangan shaxssizni tanlang

bu erda f [(x), ..., f "(x) funktsiyalar to'plami chiziqli mustaqil deb hisoblanadi.

Chiziqli yaqinlashish (2.16) bilan har qanday normallashtirilgan fazoda har bir chiziqli fazo bir xil qiymatga ega bo'lmasa-da, eng yaqin haqiqat sodir bo'lishini ko'rsatish mumkin.

Keling, [, de skalar tvir () da p(x)> 0 boʻlgan kvadrat bilan integrallashgan faol funksiyalarning Hilbert fazosini LgCp) koʻrib chiqamiz. g, h) tomonidan tayinlangan

formula:

Eng yaqin chiziqli birikmani (2.16) o'rniga qo'yib, biz bilamiz

Koeffitsientlar natijalarini nolga tenglashtirish (D, k= 1, ..., P, biz chiziqli darajalar tizimini rad qilamiz

Rivnyan tizimining kelib chiqishi (2.17) grammning kelib chiqishi deb ataladi. Gram belgisi noldan olib tashlanadi, chunki f [(x), ..., f "(x) funktsiyalar tizimi chiziqli mustaqil bo'lishi muhim ahamiyatga ega.

Shunday qilib, eng yaqinlar birlashadi va birlashadi. Buning uchun (2.17) reyting tizimiga amal qilish kerak. f1 (x), ..., f "(x) funksiyalar tizimi ortogonallashganligi sababli, ya'ni (f /, f,) = 5y, de 5, = 1, 8y = O, SCH,ij = 1, ..., P, u holda darajalar tizimini quyidagi tarzda ko'rish mumkin:

Topilgan (2.18) koeffitsientlar Q, ..., th Formallashtirilgan Furi qatorining koeffitsientlari deyiladi.

ph t (X), ..., ph "(x), ... funksiyalar to'plami yangi tizimni hosil qilganligi sababli, keyin Parsevalning g'ayrati tufayli P - "z da yo'qotish darajasi muqarrar ravishda kamayadi. Bu shuni anglatadiki, eng yaxshi yondashuv o'rtacha kvadratni Dx) ga har qanday aniqlik bilan yaqinlashishdir.

Reyting tizimiga (2.17) qo'shimcha yechim yordamida eng yaqinlik koeffitsientlarini izlash amalda amalga oshirilganligi muhimdir, chunki Gram matritsasining tartibi ortib borishi bilan uning kovariati tezda nolga yaqinlashadi va matritsa. eskirgan qo‘ylarga aylanadi Bunday matritsa bilan chiziqli tenglamalar tizimini ishlab chiqish aniqlikning sezilarli darajada yo'qolishiga olib keladi. Keling, buni qayta tekshirib ko'ramiz.

Funktsiyalar tizimida f "i = 1, ..., P, qadam tanlangan, ya'ni f * = X 1", 1 = 1, ..., bo'lsin. P, Keyin, segmentlarning yaqinlashishiga qarab, biz Gram matritsasini topamiz

(2.19) shakldagi Gram matritsasi Gilbert matritsasi deb ham ataladi. Bu yomon mo'ljallangan matritsa deb ataladigan klassik dumba.

MATLAB yordamida biz ma'lum bir birinchi qiymatlar uchun (2.19) ko'rinishdagi Gilbert matritsasi manbasini kengaytirishimiz mumkin. P. Ro'yxat 2.5 asosiy dastur uchun kodni ko'rsatadi.

Ro'yxat 23

% Birlamchi Hilbert matritsasi hisoblang % ish maydonini tozalang hammasini tozalamoq;

% Vibe Hilbert matritsasi tartibining maksimal qiymati ptah = 6;

% Hilbert matritsasini shakllantirish va ularning hosilalarini hisoblash sikli bo'ladi.

n = 1 uchun: ptah d (n) = det (salom I b (n)); oxiri

% O'zgaruvchilarning ko'rsatiladigan qiymatlari% Hilbert matritsasi

f o g t qisqa uchi

Listing 2.5 da kodni ishga tushirgandan so'ng, MATLAB buyruq oynasi dastlabki oltita matritsa uchun Hilbert matritsasi determinantlarining qiymatlarini ko'rsatadi. Quyidagi jadvalda matritsa tartiblarining (n) va ularning hosilalarining (d) mos keladigan raqamli qiymatlari ko'rsatilgan. Jadvalda Hilbert matritsasining kelib chiqishi i tartib ortib borishi bilan qanchalik tez nolga o'tishi va 5, 6-buyurtmalardan boshlab u yoqimsiz darajada kichik bo'lib ketishi aniq ko'rsatilgan.

Hilbert matritsasi o'zgaruvchan qiymatlari jadvali

ph, i = 1, ... funktsiyalar tizimini sonli ortogonallashtirish, shuningdek, aniqlikni sezilarli darajada yo'qotish uchun kengaytmaga ko'p sonli terminlarni kiritish uchun (2.16) ortogonallashtirishni amalga oshirish kerak. analitik jihatdan, ya'ni, aks holda u ortogonal funktsiyalar tizimi bilan o'ralgan bo'lishi mumkin.

Agar interpolyatsiya qilishda asosiy funksiyalar sistemasi doirasidagi bosqich tanlansa, u holda asosiy funksiyalar doirasidagi o'rtacha qiymatga yaqinlashganda, berilgan qiymatga ortogonal ko'phadlarni tanlang. Ularning eng mashhurlari Yakobiy ko'phadlari bo'lib, ularni Legendre va Chebishev ko'phadlari deb ham atash mumkin. Vikorist, shuningdek, Lagsr va Ermit polinomlaridan foydalanadi. Siz, masalan, qo'shimcha ravishda, bu polinomlar haqida ko'proq bilib olishingiz mumkin ortogonal polinomlar kitoblar.

Oldingi bo'limda funktsiyalarni birlashtirishning eng keng tarqalgan usullaridan biri - interpolyatsiya batafsil ko'rib chiqiladi. Ammo bu usul yagona emas. Turli xil amaliy masalalar va hisoblash sxemalari bilan ishlashda ko'pincha boshqa usullar qo'llaniladi. Ushbu bo'limda biz ildiz-o'rtacha kvadrat yaqinligini olish usullarini ko'rib chiqamiz. Yaqinlik nomi metrik bo'shliqlar bilan bog'liq bo'lib, ularda yaqinlik funktsiyasining vazifasi ko'rinadi. 1-bo'limda biz "metrik chiziqli normalangan fazo" va "metrik Evklid fazosi" tushunchalarini kiritdik va yaqinlikning yo'q qilinishi fazoning metrikasi bilan ko'rsatilishini ta'kidladik, unda yaqinlik vazifasi ko'rinadi. Turli makonlarda o'g'irlash tushunchasi turli joylarda sodir bo'ladi. Interpolatsiyaning o'g'irlanishini hisobga olsak, biz hech kimning hurmatini ta'kidlamadik. Va qaysi bo'limda biz ushbu ovqatlanish muammolarini samaraliroq hal qilishimiz kerak.

5.1. Trigonometrik ko'phadlar va Legendre fazo polinomlari bilan yaqinlik l2

Keling, Lebeg kvadrati bilan birlashtirilgan shaxssiz funktsiyalarni alohida bo'limda ko'rib chiqaylik
, Integral aybdor bo'lgan turdagi
.

Bu funktsiya kvadrati bilan integrasiya tufayli aniq tengsizlikka olib keladi
і
Ularning chiziqli birikmasi bo'lgan kvadratga ergashishi va integrallashi kerak
, (De
і
 haqiqiy raqamlar qanday bo'lishidan qat'iy nazar), shuningdek, ijodkorlikning integratsiyasi
.

Alohida bo'limda Lebesg kvadrati bilan birlashtirilgan shaxsiy bo'lmagan funktsiyalarga kiritilgan
, Skalar yaratish operatsiyasi

. (5.1.1)

Integralning vakolatlaridan kelib chiqadiki, Evklid fazosida skalyar yaratilishning barcha vakolatlari bilan bir qatorda skalyar yaratish amali kiritiladi (1.10-band, 57-bet):

Faqat birinchi hukumat oxirigacha tugamaydi, shuning uchun aqlning oxiri bo'lmaydi.

Adolatli bo'lish uchun
, Shuning uchun u o'xshamaydi
aperatif uchun
. Operatsiyani ozgina quvvat bilan amalga oshirish uchun uyning funktsiyalari ajratilmagan (ekvivalent bo'lsa ham)
і
, ular uchun

.

Ehtirom bilan biz aniqladikki, Lebeg kvadrat funksiyasi bilan integrasiyasiz (aniqrog‘i, sinf ekvivalenti funksiyalarisiz) Evklid fazosi hosil bo‘ladi, unda skalar yaratish amali (5.1.1) formula bo‘yicha aniqlanadi. Bu kenglik Lebeg kengligi deb ataladi va belgilangan
yoki qisqaroq .

Ba'zi Evklid fazosi avtomatik ravishda standartlashtirilgan va metrik, bo'shliq
kosmosda standartlashtirilgan va metrik. Keyin me'yor (elementning qiymati) va metrik (elementlar orasidagi stend) standart tarzda kiritiladi:

(5.1.2)

(5.1.3)

Normlar va ko'rsatkichlarning kuchi (aksiomalari) 1.10-bandda ko'rsatilgan. makon elementlari
funksiyalar emas, balki ekvivalent funksiyalar sinflari. Bitta sinfga tegishli bo‘lgan funksiyalar to‘plamning oxirida yoki oxirida har xil ma’noga ega bo‘lishi mumkin
. Kosmosda shunchalik yaqinmiz
noaniq ko'rsatilgan. Kosmosning bu o'ziga xosligi qabul qilinishi mumkin emas
skalyar yaratilish vikoristonining afzalliklari bilan to'laydi.

Altmanning diskret funktsiyalarini tekislash va shu bilan nazariyaga uzluksizlik g'oyasini kiritish uchun turli bosqichli polinom bo'yicha o'rtacha kvadrat integral yaqinlashuvi o'rnatildi.

Ko'rinib turibdiki, bir xil masofadagi tugunlar bo'ylab interpolyatsiya polinomlari ketma-ketligi funktsiyaga yaqinlashishi shart emas, chunki funktsiya cheksiz farqlanadi. Tugunlarni qo'shimcha bir vaqtda joylashtirishdan foydalanib, funktsiyani taxmin qilish uchun siz polinom bosqichini qisqartirishingiz mumkin. . Altman funksiyalarining tuzilishi shundayki, funksiyalarning yaqinligini qo‘shimcha interpolyatsiya bilan emas, balki normallashtirilgan chiziqli fazoda eng yaqin o‘rtacha kvadrat yaqinlik bilan aniqlash osonroq. Keling, yaqinroq bo'lganimizda asosiy tushunchalar va faktlarni ko'rib chiqaylik. Yaqinlik va optimallashtirish maqsadlari chiziqli standartlashtirilgan bo'shliqlarga joylashtirilgan.

Metrik va chiziqli standartlashtirilgan bo'shliqlar

Matematikaning eng keng tushunchalariga "shaxssizlik" va "tasvir" kiradi. Ko'plikning qat'iy bo'lmagan nazariyasidagi "shaxssiz", "to'plam", "agregat", "oila", "tizim", "sinf" tushunchalari sinonimlar hisoblanadi.

"Operator" atamasi "tasvir" atamasi bilan bir xil. "Operatsiya", "funksiya", "funktsional", "dunyo" atamalari - "tasvir" tushunchasining ta'siridan tashqari.

Matematik nazariyalarning aksiomatik kontekstidagi “struktura”, “kosmos” atamalari ham shu davrda katta ahamiyat kasb etdi. Matematik tuzilmalardan oldin ko'plik-nazariy tuzilmalar (tartibli va qisman tartiblangan ko'pliklar) mavjud; mavhum algebraik tuzilmalar (guruhlar, guruhlar, halqalar, qattiq jismlar, maydonlar, algebralar, panjaralar kabi); differensial tuzilmalar (tashqi differentsial shakllar, umumiy makon),,,,,,.

Struktura ostida yuzsiz yuz (asosan yuzsiz), raqamli maydon (qo'shimcha ravishda yuzsiz) va foydalanuvchi elementlari va maydon raqamlari bo'yicha vazifalarni ko'rsatishdan iborat terminallar to'plami mavjud. Murakkab sonlar soni hisobga olinganligi sababli, u ham asosiy, ham qo'shimcha shaxssizlik rolini o'ynaydi. "Tuzilish" atamasi "kosmos" bilan bir xil tushunchadir.

Bo'shliqni aniqlash uchun birinchi navbatda lotin va yunon harflari bilan belgilanadigan elementlari (nuqtalari) bilan shaxssiz nomlarni qo'yish kerak.

Burunning yadrosida harakatning shaxssiz elementlari (yoki murakkab) bo'lishi mumkin: raqamlar; vektorlar,; Matritsa; Ketma-ketliklar; funktsiyalari;

Burunning elementlari sifatida shaxssizliklar ham bo'lishi mumkin: harakat o'qi, tekislik, arzimas (va boy) bo'shliq, almashtirish, ruk; mavhum shaxssizlik.

Viznachennya. Metrik fazo - bu uchlikni yaratuvchi struktura, bunda tasvir M bilan har qanday x va y uchun ikkita argumentning manfiy bo'lmagan samarali funktsiyasi bo'lib, uchinchi aksiomalarni qondiradi.

• 1 - salbiy bo'lmaganlik; , Da.
• 2 - nosimmetrik;
• 3 - refleksivlik aksiomasi.

elementlar o'rtasida farqlar mavjud bo'lgan joylarda.

Metrik fazoda metrik o'rnatiladi va yuzsiz ikki elementning yaqinligi haqida tushuncha hosil bo'ladi.

Viznachennya. Faol chiziqli (vektor) fazo - bu struktura bo'lib, unda tasvirlash - joylashtiriladigan elementlarni qo'shishning qo'shimcha operatsiyasi va tasvirlash - sonni elementga ko'paytirish amalidir.

Amaliyot shuni anglatadiki, har qanday ikkita element uchun uning yig'indisi deb ataladigan uchinchi element yagona aniqlangan bo'lib, u orqali ifodalanadi va keyingi aksiomalar xulosa qilinadi.

Kommutativ quvvat.

Assotsiativ kuch.

Biror kishi uchun mo'ljallangan narsa orqali ifodalanadigan maxsus element mavjud.

nima bo'lishidan qat'iy nazar, shunday.

Element oldin qahramon deb ataladi va orqali belgilanadi.

Amaliyot shuni anglatadiki, har qanday element va har qanday raqam uchun element belgilanadi, u aksiomalar orqali belgilanadi va ular bilan belgilanadi:

Chiziqli fazolarning elementi (nuqtalari) vektorlar ham deyiladi. 1 - 4 aksiomalar modul deb ataladigan va strukturani ifodalovchi guruhni (qo'shimchani) belgilaydi.

Agar strukturadagi amal hech qanday aksioma bilan qo'llab-quvvatlanmasa, u holda bunday tuzilma groupoid deb ataladi. Bu tuzilma chegarada yomon; Unda bir xil assotsiativlik aksiomasi mavjud emas, keyin tuzilish monoid (kichik guruh) deb ataladi.

Tuzilish, qo'shimcha vakillik va 1-8 aksiomalar orqali chiziqlilik kuchiga ega.

Shuningdek, chiziqli fazo guruh moduli bo'lib, uning tuzilishiga yana bir operatsiya qo'shiladi - bo'shliq elementlarini 4 ta aksioma bilan raqamga ko'paytirish. Agar operatsiya o'rniga 4 ta aksiomaga ega elementlarni ko'paytirishning boshqa guruh operatsiyasi bilan tartibni aniqlasak va distributivlik aksiomasini postulat qilsak, unda maydon deb ataladigan struktura aybdor bo'ladi.

Viznachennya. Chiziqli normallashtirilgan fazo - bu tasvir quyidagi aksiomalarni qondiradigan tuzilma:

• 1. Bundan tashqari, bu va faqat bu, agar.
• 2. , .
• 3. , .

Shunday qilib, jami 11 ta aksioma mavjud.

Misol uchun, agar siz normaning barcha uchta vakolatini o'z ichiga olgan haqiqiy sonlar, de - haqiqiy sonlar maydonining tuzilishiga modul qo'shsangiz, haqiqiy sonlar maydoni standartlashtirilgan fazoga aylanadi.

Biz me'yorni kiritishning ikkita usulini kengaytirdik: yoki bir xil qavariq funktsionalga intervalli ko'rinishni aniq belgilash orqali yoki skalyar qattiq jismni belgilash orqali.

Iltimos, u holda funksionallik turi qiymatni o'zgartirib, cheksiz ko'p usullar bilan o'rnatilishi mumkin:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Ma'lumotlarni qabul qilish usulining yana bir kengayishi fazoviy tuzilishga boshqa ifodaning kiritilganligidadir (ikki argumentning funktsiyasi, bu ham skalyar yaratish deb ataladi).

Viznachennya. Evklid har qanday skalyar jismdagi tuzilishini me'yorgacha kengaytiradi va aksiomalarni qondiradi:

• 4., va faqat keyin va faqat agar

Evklid fazosida norma formula bilan hosil qilinadi

Skayarning 1 - 4 darajalaridan normaning barcha aksiomalarini birlashtirgan iz hosil qiladi. Skayar qo'shilish ko'rinadiganligi sababli, norma formula bo'yicha hisoblanadi

Skalar yaratish yordamidan tashqari fazo uchun normani belgilash mumkin emas.

Ushbu skaler yaratilishdagi boʻshliqlar chiziqli normalangan fazolardagi (elementlarning ortogonalligi, parallelogramma tengligi, Pifagor teoremasi, Apolloniyning oʻziga xosligi, Ptolemey tengsizligi) kabi xususiyatlarga ega. yaqinlashtirish vazifasi.

Viznachennya. Chiziqli normalangan fazodagi elementlarning cheksiz ketma-ketligi me'yorga qo'shni deyiladi (shunchaki yaqinlashuvchi yoki ehtimol o'rtasida), chunki shunday element mavjudki, har qanday kishi uchun mos keladigan raqam mavjud.

Viznachennya. Elementlar ketma-ketligi fundamental deb ataladi, chunki har bir kishi uchun fonda yotadigan asosiy raqam mavjud bo'lib, u tugaydi (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, z 48)

Viznachennya. Banaxning kengliklari shunday tuzilma deb ataladi, unda me'yorning orqasida yaqinlashuvning fundamental ketma-ketligi mavjud.

Viznachennya. Gilbert fazosi shunday tuzilma bo'lib, unda skalyar yaratilish natijasida hosil bo'lgan me'yor bilan yaqinlashuvning fundamental izchilligi deyiladi.

Eng yaqin funksiyalarning o'rtacha kvadrati.

Funktsiyani ko'phad bilan eng qisqa o'rtacha kvadratga yaqinlashtirish masalasini ko'rib chiqamiz.
tizim bo'yicha
.

Qiymat 1.

Tizimdagi ( k) m tartibli normalangan ko‘phad chiziqli birikma deyiladi

de C k - ko'proq nutq koeffitsientlari.

Zavdannya. polinom toping
, L 2 metrikasidagi f funktsiyasidagi eng kichik o'zgarishlar aqlni qondiradi:

Teorema 1.

tizim nima
chiziqli mustaqil bo'lsa, bu tizimga eng qisqa o'rtacha kvadrat yondashuvning vazifasi aniq aniqlanadi.

Funksiya va ko‘phad o‘rtasidagi munosabat kvadratini yozamiz:

(1)

Qiymati aniq
- o'zgaruvchilarning noma'lum kvadratik funktsiyasi
, Va bunday funktsiya minimal qiymatga etadi. Shunday qilib, o'rtacha kvadrat yaqinlik muammosini hal qilish tugallandi.

Keling, qarorning birligini keltiraylik.

Kerakli minimumni yozamiz:

, i = 0, ..., m.

Shaxsiy ma'lumotlarni c i ifodasi (1) bo'yicha hisoblab, biz chiziqli reyting tizimini olib tashlaymiz:

(2)

Tizim (2) chaqiriladi normal tizim.

Ushbu tizimning Vipishemo iznachnik

(3)

Tizimning etakchisi (3) - shunday o'rin egallaydi Grama asosiy tizimlari
. Ko'rinib turibdiki, tizim nima
- chiziqli mustaqil, keyin birlamchi
0 (osonlik bilan teskari). Bu aqliy teoremaga asoslanadi
0 va tizim (2) bitta yechimga ega.

1.6. Klassik ortogonal ko‘phadlar va ularning funksiyalarni yaqinlashtirish masalalarida qo‘llanilishi.

H - Skalar yaratilishi bilan Hilbert fazosi bo'lsin va, aftidan, norma
. Bunday kenglikning muhim qismi bu kenglik deb ataladigan narsadir
- f (x) funktsiyasining fazosi, ba'zi bir end integral uchun:

(1)

Bu erda h (x) deyiladi Vagal funktsiyasi, Ko'ngillarni nima quvontiradi:

Yakshto w = (0, + ), Demak, aqlning aybi:

Sizning funktsiyangizning har qanday daqiqalari aybdor bo'lishi uchun.

Qiymat 1.

Uchun
skalyar qiymatlar:

(2)

Va bu, albatta, norma:

O'ylash yaxshi (1).

Vikoristning Koshi - Bunyakovskiy - Shvarts tengsizligi o'chiriladi

Shuning uchun skaler qattiq jism uchun zarur

Qiymat 2.

f va g elementlari orasidagi joy quyidagilarga teng:

.

Dars nol elementni qanday tushunish haqida. bu norma
, Varto zvidsi, nima uchun f = g? Terminologiya kiritilgan: f = g eng hamma joyda, shuning uchun hidlar yakuniy nuqtalar sonida farq qilishi mumkin.

Qiymat 3.

Anjir ortogonal arava bilan to'qnashuvda h (x), kabi = 0 (qisqacha yozing
).

Gilbert fazosida chiziqli mustaqil tizimni qanday olishimiz mumkin?
, I = 0,1,2, ..., keyin ularni ortogonallashtirish mumkin.

Keling, dumba tizimini ko'rib chiqaylik:
da
Statik funktsiyalarning yakuniy to'plami chiziqli mustaqildir, shuning uchun bu tizim asosida ortogonal ko'phadlar yaratish mumkin. Uyda takroriy ortogonalizatsiya protsedurasi mavjud (Gram-Shmidt protsedurasi):

(3)

b k + 1, j koeffitsientlari ortogonallik asosida hisoblanadi:

Doimiy ravishda (3) ni ko'paytiring
inkor qilingan

(4)

Butun 1.

h (x) 1, = [- 1,1] bo'lsin.

Birinchi uchta ortogonal ko'phaddan (3) - (4) protsedurasidan foydalaning.

Mana nima deyishimiz mumkin:

Ha mayli,

h (x) = 1 bo'lgan [-1,1] kesmadagi ortogonal ko'phadlar tizimi uchun Rodriges formulasi to'g'ri keladi:

(5)

3-bandning 5-bandi olib tashlansin:

Shu tarzda chizilgan polinomlar Legendre ko'phadlari deyiladi.

Hurmat.

(3) - (4) protsedurasi orqali ma'lum bo'lgan ortogonal polinomlarni faqat Rodrigoning aniq formulasi (5) bo'yicha olinadiganlardan ko'paytirish mumkin.

Ushbu polinomlarning kvadrat normasi o'xshash:

Bu polinom standartlashtirilmagan, chunki

Barcha klassik polinomlar uchun takrorlanish formulasi mavjud. Legendre Von polinomlari uchun u quyidagicha ko'rinadi:

Salom
Keling, o'rta kvadrat yondashuvni ko'rib chiqaylik:

de
- yaqinlashuvning o'rtacha kvadrat tuzatishi,

- ortogonal ko'phadlar tizimi (P k (x)) bo'yicha f (x) funktsiyasi uchun Four'e seriyasining kesimi.

Legendre ko‘phadlarining ortogonalligi tufayli §1.5 dan normal tenglamalar tizimi (2) diagonal bo‘lib, c k koeffitsientlari uchun keyingi ifodalarga keltirishga qaror qilinadi:

(7)

Bu L 2 da minimal standartni ta'minlaydi.

Keling, taxminiy formulani batafsil yozamiz

Boshqa tomondan

ortogonallik tufayli.

(8) ga almashtirildi, olib tashlandi

. (9)

Button 2.

f (x) = | bo'lsin x |.

Taxminan f (x) ga [-1,1] ga boshqa bosqichning oʻrtacha kvadrat polinomida. O'rtacha kvadrat qiymatini hisoblang.

Vikoristning ortogonal Legendre tizimi:

c k koeffitsientlarini (7) formuladan foydalanib, Legendre polinomlari shakliga qarab topish mumkin:

1.7. Ortogonal polinomlarning yer osti kuchi aktlari.

P n (x) ko‘phad m ​​uchun M m (x) darajali har qanday algebraik ko‘phadga ortogonaldir.

M m (x) Legendre polinomlarining chiziqli birikmasi sifatida bitta shaklda ifodalanishi mumkin:

Rashk (10) shuningdek, yuqori darajadagi koeffitsientlar reytingiga ko'ra koeffitsientlar bitta daraja bilan hisoblanishini anglatadi. Noqonuniy qismlarni (10) P n (x) ga ko'paytirsak, biz mumkin

sistemaning ortogonalligi tufayli

P n (x) ko'phad aniq n ta faol va aniq ildizga ega [-1,1] bo'limiga tayinlangan.

Shuni yodda tutingki, Gauss teoremasi tufayli P n (x) polinomi n dan ortiq ildizga ega bo'lishi mumkin emas (murakkab ko'rinadi). P n (x) kamroq, pastki n oddiy faol ildizga ega bo'lsin. muhim їx
Ushbu nuqtalar ortida biz asosiy polinomni ko'rib chiqamiz

Keling, polinomni ko'rib chiqaylik:
- polinom bosqichi (k + n), unda nollar mavjud
juftlashgan ko'plik. Bu yangi polinomni bildiradi
noldan o'tganda belgini saqlaydi, keyin [-1,1] da belgini saqlaydi. Bu quyidagicha:

Ale tse superechit vlastivosti 1, chunki P n (x) obov'yazkovo aybdor, lekin M k (x) ga ortogonaldir.

P n (x) ko'phadning ikkita qo'shni nollari orasida P n-1 (x) ko'phadning aynan bir noli yotadi.

Takroriy munosabat yordamida induksiya (6).

n-juftlangan ko'phad uchun P n (x) x ning juftlangan funksiyasi, n-juftlanmagan ko'phad uchun P n (x) x ning juftlanmagan funksiyasi.

Legendre ko'phadlari va klassik ortogonal ko'phadlar tartibi shunday ko'phadlar sistemalari deb ataladi (bundan keyin (a, b) - ortogonallik oralig'i, r (x) - funktsiya).

1) Yakobining boy a'zolari {R P (l, M) ( X)) - da A = -1, b= 1 r ( X) = (1-X) l (1 + x) M, l> -1, m> -1. Maxsus turdagi polinomlar l va m ning quyidagi qiymatlariga mos keladi: l= m- ultrasferik polinomlar (Їx inodlari Gegenbauer ko'phadlari deyiladi); l= M = - 1/2, ya'ni. -polinomlar Chebisheva 1-tur T n (x); l= M = 1/2, ya'ni. - polinomlar Chebisheva 2-tur U n (x);

2) boy ifodalangan Lagerra L n (x) - da A = 0, b= + ∞ i r ( X) = e -X(Їx Chebishev - Lager ko'phadlari deb ham ataladi) va muntazamlashtirilgan Lager ko'phadlari - at. 3) Moyoqlar Ermita N n (X) - da A = -∞, b= + ∞ і (í̈x Chebishev - Ermit ko'phadlari deb ham ataladi).