Bessel funksiyasi yordamida koeffitsientlar qanday hisoblanadi? Besselning tenglashtirish funksiyalari Differensial tenglashtirish Eylerning G-funksiyasi va quvvati Bessel funksiyalarining butun indeks boʻyicha takrorlanish formulalari Bessel funksiyalarining nollari Ortogonallik va norma Neyman funksiyalari (
Dumaloq membranani nayzalash bo'yicha yakuniy vazifaga o'tish uchun biz birinchi navbatda Bessel funktsiyalari bilan tanishishimiz kerak. Bessel o'zgaruvchan koeffitsientli boshqa tartibli chiziqli differentsial tenglamalar bilan ishlaydi
Marosim Bessel raqobati deb ataladi. Muammo va echimlar nafaqat yumaloq membranani nayzalash muammosiga, balki boshqa ko'plab vazifalarga ham qaratilgan.
(10.1) tenglamaga kiritilgan k parametri har qanday ijobiy qiymatlarga ega bo'lishi mumkin. Berilgan k uchun tenglama yechimlari k tartibli Bessel funksiyalari deb ataladi (ba'zan ular silindrsimon funksiyalar deb ham ataladi). Biz eng oddiy oqibatlarni batafsil ko'rib chiqamiz, agar keyingi muhokamada parchalar nol va birinchi tartibli Bessel funktsiyalariga e'tibor qaratsak.
Bezsel funktsiyalarini so'zma-so'z o'zgartirish uchun biz faqat maxsus yordam vositalarini o'qishimiz mumkin (masalan, ; a = 0 − D (a) p (2 x) a ; a > 0 , \left\((\boshlang) (matritsa)(\frac (2)(\pi ))\left[\ln(x/2)+\gamma \o'ng]&(\mbox(;))\quad \alpha = 0\\\-(\ frac (\Gamma (\ alfa))(\pi ))\left((\frac (2)(x))\o'ng)^(\alpha )&(\mbox(;) )\quad \alpha >0\ end(matritsa))\ o'ng.,)
de g (\displaystyle \gamma)- Postijna Euler-Mascheroni (0,5772 ...), va D (\displaystyle \Gamma)- Eylerning Gamma funksiyasi. Katta dalillar uchun ( x ≫ | a 2 - 1/4 | (\displaystyle x\gg |\alfa ^(2)-1/4|)) formula quyidagicha ko'rinadi:
J a (x) → 2 p x cos (x - a p 2 - p 4) , (\displaystyle J_(\alpha)(x)\o‘ng strelka (\sqrt (\frac (2)(\pi x)) )\cos \left(x-(\frac (\alpha \pi )(2))-(\frac (\pi )(4))\o'ng),) Y a (x) → 2 p x sin (x - a p 2 - p 4) . (\ displaystyle Y_ (\ alpha ) (x) \ o'ng strelka (\ sqrt (\ frac (2) (\ pi x))) \ sin \ chap (x- (\ frac (\ alfa \ pi ) (2)) - (\ frac (\ pi ) (4)) \ o'ng).)Gipergeometrik qator
Bessel funksiyalarini gipergeometrik funksiya orqali ifodalash mumkin:
J a (z) = (z / 2) a D (a + 1) 0 F 1 (a + 1; - z 2 / 4) . (\ displaystyle J_ (\ alpha) (z) = (\ frac ((z/2) ^ (\ alpha )) (\ Gamma (\ alfa +1)))) () _ (0) F_ (1) (\ alfa +1;-z^(2)/4).)Shu tarzda, hamma uchun a (\displaystyle \alfa) Bessel funktsiyasi aniq analitik, va ba'zilari uchun - boy tahliliy.
Virobnich funktsiyasi
Birinchi turdagi Bessel funktsiyalarining aniq ko'rinishlari va Loranning birinchi turdagi funktsiyalar qatorining koeffitsientlari orqali butun tartibda va o'zi:
e z 2 (w - 1 w) = ∑ n = - ∞ + ∞ J n (z) w n. (\displaystyle e^((\frac (z)(2))\chap(w-(\frac(1)(w))\o'ng))=\sum _(n=-\infty )^(+\ infty )J_(n)(z)w^(n).)Besselning chiziqli differensial tenglama yechimlari Bessel yoki silindrsimon funksiyalar deb ataladi.
de z- keng qamrovli o'zgarishlar, ν – parametr, tartib, piktogramma va indeks, ular kompleks son ham bo‘lishi mumkin.
Talabalar ko'pincha xatoni qachon ko'rish imkoniyatiga ega n = n- butun son. Silindrsimon funktsiyalar ostida biz quyidagi funktsiyalarni tushunamiz: Bessel funktsiyalari J ν
(z), Neyman funksiyalari N ν
(z), ko'pincha belgilashlar bilan Weber funktsiyalari deb ataladi Y ν
(z) va Hankel funktsiyalari H ν
(1) (z),
H ν
(2) (z). Belgilanganda funksiyaning nomi 
ê analitik funktsiyalar z. Ko'pincha Bessel funktsiyalari sobit bilan ko'rish mumkin z Belgining vazifasi nima? ν
. Qaysi hid bilan murakkab o'zgarishning barcha funktsiyalari mavjud ν
.
Butun funktsiya analitik funktsiya deb ataladi, u shunga o'xshash Teylor qatori orqali paydo bo'ladi 
.
Funktsiyalar o'rtasida J ν (z), N ν (z) yoki Y ν (z), H ν (1) (z), H ν (2) (z) Eyler formulalariga o'xshash shartlar mavjud:
;
.
Fizik nuqtai nazardan garmonik funksiyalar barqaror chastotaning so‘nmaydigan tebranishini tavsiflaydi, Bessel funksiyalari esa tebranuvchi kuchsiz so‘ndirilgan jarayonni xarakterlaydi, uning chastotasi asimptotik emas, balki statsionar bo‘ladi.
To'g'rilangan statik qator shaklida (6.13) tekislash uchun muhim echimlar 
, de a mі a- parametrning qiymati va qiymatiga hissa qo'shadigan koeffitsientlar, shubhasiz, ikkita xususiy echim olinadi:
;
,
(6.14)
qachon kabi 
Ular chiziqli mustaqil va ularning chiziqli birikmasi hizalanish uchun yashirin yechim yaratadi (6.13). Yakshcho n = n, keyin funksiyalar orasida J P (z) bu J -P (z) uxlab yotibdi chiziqli pozitsiya aql 
. Yashirin yechimni (6.13) olib tashlash uchun n = n va Neyman funksiyasi kiritiladi. Funksiyalar J ν
(z) bu N ν
(z) har qanday qiymat uchun Besselga teng bo'lgan asosiy chiziqli mustaqil qaror tizimini yaratish v, hamma uchun.
Bessel funktsiyalari to'g'ridan-to'g'ri argumentdir (o'zgartirilgan Bessel funktsiyalari). Siz bu bilan nima demoqchisiz? 
, de x- nutqni o'zgartirib, keyin ma'noni (6.14) almashtirib, biz rad etamiz:
;
.
Ushbu seriyalarni kiriting va o'zgartirilgan Bessel funktsiyalarini bildiring
;
.
(6.15)
Bu qatorlar (6.14) belgisi o‘zgaruvchan, (6.15) esa belgiga mos keladi, bu ularning xatti-harakatining keskin o‘zgarishini ko‘rsatadi (6.9 va 6.10-rasmlar, funksiya grafiklarining ba’zi ko‘rinishlarida. J n (x) bu I n (x) aniq).
Bundan tashqari, Bessel funktsiyasining nutq raqami bilan argumenti muhimdir X. Bessel funktsiyasini farqlash qoidasi quyidagi takroriy munosabatlar bilan aniqlanadi: 
. Zokrema, bilan 
Buni eshitganimdan xursandman 
, Biz rad etamiz: 
.
Bessel funktsiyasi belgisi orqasida uch kun munosabatlar bilan bog'liq
.
(6.16)
Shunga o'xshash formulalar o'zgartirilgan Bessel funktsiyalari uchun amal qiladi:
;
.
Argumentning salbiy qiymatlari bilan gamma funktsiyasining xatti-harakatlariga nisbatan (6.15) qiymatidan shuni ko'rsatish muhim emas. I n (x)
= I n (x) va yaxshi, 
.
To'liq belgi bilan 
, de n– butun son, Bessel funksiyalari elementar funksiyalar orqali ifodalanadi, natijada munosabatlar yuzaga keladi 
і 
takroriy munosabat (6.16) yordamida qiymatga imkon beradi 
, va hokazo.
Butun belgining Bessel funktsiyalari uchun yashirin ifodalar ko'rinadi 
і 
, belgisi 
anglatadi P- virusning ko'p farqlanishi, uning orqasida turgan narsa, bir nechta natijalar yoqilgan 
terining farqlanishidan keyin.
Keyingi farqlash ushbu multiplikator qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi. Masalan,
Topilmalar yana bir bor Bessel funktsiyalari harakatining tebranish va zaif so'nish xususiyatini ta'kidlaydi.
Bessel funktsiyasining asimptotik xatti-harakatlaridan foydalanganda, argumentning xatti-harakati uchun turli stsenariylarni ko'rib chiqish mumkin. z ta belgisi v. Eng muhim va eng oddiy holat, agar v sobit, va 
. Kim sizga yaqinlashadi 
ko'rib turibman
,
va aniqki, 
.
Bessel funktsiyasining o'ziga xosligi o'sish bilan ortadi v bo'shliq 
Shuning uchun Bessel funksiyasi nolga yaqin.
O'zgartirilgan Bessel funktsiyalarida tebranish funktsiyalari muhim rol o'ynaydi. Shunday qilib, masalan, funktsiyani buzsangiz 
murakkab o'zgarish z va nutq t bu juda alohida nuqtaning chekkasida Loran qatorida z = 0, keyin rad etildi 
.
Hurmat bilan 
Murakkab sonlarning fikrlarini yozishda biz parchalanish amaliyoti uchun ikkita muhim narsani olib tashlaymiz:
Yulduzlar qichqiradi
;
.
(6.17)
Korsisting Tim, Scho 
va kosinusning tibbiy pariteti va sinusning pariteti, qaysi iboralar shaklida yozilishi mumkin
;
.
Ushbu turdagi mahsulotlarni qanday almashtirish kerak 
yoqilgan 
, keyin biz rad etamiz
;
.
Bular birinchi bo'lib ularni rad etgan Yoqubning ismlarini ko'rsatish uchun qo'yilgan.
Birinchi rashkning chap va o'ng qismlarini (6.17) ko'paytirish 
, va do'stingizga 
va 0 dan integratsiya 
, Biz rad etamiz:
Ushbu tenglikni qo'shib, biz qandayligini bilamiz P:
.
Bessel funktsiyasining butun belgisi bilan integral ifodasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan bu integralga Bessel integrali deyiladi. Da n = 0 Bessel integrali Parseval integraliga kengayadi:
.
Baxtli nishon uchun v aytmoqchi 
Puasson formulasi haqiqiydir
.
Ortda turgan narsaga aylantiring v = 0 Parseval integralini olib tashlaymiz va uni mustaqil ravishda isbotlaymiz.
Bessel funktsiyalarini o'zgartirish uchun 
da 
Puasson integral hodisasi o'rinli
.
Da v = 0 qo'shimcha almashtirish yordami uchun 
integral hodisalarni bartaraf etish mumkin
.
Ko'pgina tadqiqotlar Bessel (silindrsimon) funktsiyalari uchun quyidagi katlama teoremalarini eng oddiy tarzda ochib beradi, bu shunday.
Qani ketdik 
- Shaklda ko'rsatilgan trikutulaning tomonlari. 6.11, a 
і 
- yogo kuti, nega yon tomonlarga qarama-qarshi yotish kerak 
і 
demak, bu kosinus va sinus teoremalariga mos keladi 
і 
. Todi uchun 
Ko'rinishni joylashtirish uchun joy bo'lishi mumkin
,
Neyman formulasi deb ataladi, de 
- Neyman belgisi.
O'zgartirish paytida R R, r 1 r 1 , r 2 r va 2 ta usul o'zgarmasa, yuqoridagi formulani quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:
.
= bo'lganda j Buni eshitganimdan xursandman J k (x) = j k I k (x), k = 0, 1, 2, …, bekor qilinadi:
.
Baxtli nishon uchun v uchun katlanmış teorema J v (R) bu I v (R) yodda tuting:
,
.
Four'ie seriyasida nol silindrsimon funktsiyalar va kengaytirilgan funktsiyalar
Bezsel. Ta'kidlanganidek, asosiy va onalik funktsiyalarining nollari asosiy tizim Bessel funktsiyalariga moslashtirilganda o'lchov koeffitsientini anglatadi. Keling, hasadni ko'rib chiqaylik 
. Bu tenglamaning ildizlari Bessel funksiyasining nollari deyiladi 
sifatida belgilandim 
Nol Bessel funktsiyalari 
і 
kesish. Funktsiyalar tizimi ekanligini ko'rsatish mumkin 
, de 
–n-th ildiz rivnyanya 
, intervalga ortogonal 
arava bilan x, keyin.
Bessel funksiyasi indeksining orqasidagi nol konstantalarning qismlari kesishadi, keyin 
.
Funktsiya nima f(x) uzluksiz va har qanday oraliqda almashtirilishi mumkin ( c, d), bu aqlni xursand qiladi 0< c < d < a, і
Integralga asoslanadi 
, keyin Four'e-Bessel seriyasi 
, de 
, yig'ilib pul ishlang, keyin qoching 
teri nuqtasida hech qanday uzilish yo'q.
Bessel funksiyasining odatiy radiotexnika masalasida qo‘llanilishini ko‘rib chiqamiz.
Modulyatsiyaning garmonik qonuni ostida chastotali modulyatsiyalangan (FM) tebranish spektri. Biz signalning spektrini bilamiz, uning chastotasi qadimiydir 
- chastotaning og'ishi, 
- tashuvchi chastotasi, 
- Modulyatsiya chastotasi. Parchalar parchalanish bosqichida 
, keyin bizning vipadkada 
. Sahnalashtirish 
modulyatsiya indeksi deyiladi. Keyinchalik tushunganimizdek, uning o'zi modulyatsiyaning garmonik qonuni ostida tebranish chastotasi spektrining tuzilishini ko'rsatadi. Etarli darajada barqaror - kob fazasi 
kuchni yo'qotmasdan, uni nolga tenglashtirishingiz mumkin. Shunday qilib, keyingi signal quyidagicha ko'rinadi:
de 
- tebranish amplitudasi.
Quyidagi formuladan foydalanib, signalimizni shaklga yozamiz
(6.17) ning oddiy parchalanishi va trigonometrik formulani yaratish harmonik modulyatsiya qonuni ostida chastota spektrining spektri uchun qoldiq ifodani olib tashlashga imkon beradi:
.
Shunday qilib, kuzatilayotgan signalning spektri diskret xarakterga ega va harmonikalarning amplitudalari raqam bilan ko'rsatilgan. n va modulyatsiya indeksi. Bessel funktsiyalari harakatining tebranish xususiyati modulyatsiya indeksini o'zgartirishda muhim ahamiyatga ega. 
Garmonikalarning amplitudalari o'rtasidagi munosabat o'zgaradi.
Guruchga aylantiring. 6.9, nima bo'lishidan qat'iy nazar 
Funktsiyalar noldan o'chiriladi 
,
і 
; bilasizmi 
і 
Ular bir-birlari bilan ko'proq tanish bo'lishadi. Shu tarzda, bilan 
Qancha qo'shishim kerak, nima qilishim kerak? 
bera olasiz 
і 
, keyin qolganlarni olib tashlashimiz mumkin:
Shuni ta'kidlash kerakki, xuddi shu amplituda spektri garmonik modulyatsiya qonuni bilan amplituda modulyatsiyasini namoyish etadi. Biz kimdan o'qishni taklif qilayotganimizni qayta o'zgartiring.
Modulyatsiya indeksi oshgani sayin noldan past harmonikalar soni ortadi va tebranish spektri kengayadi. HF uzatishning yuqori intensivligi yuqori modulyatsiya indekslari bilan ta'minlanishi mumkinligi sababli, stereo idrok uzoq va o'rta chastotalarda emas, balki VHF diapazonida amalga oshirilishi kerak.
Fredholm integral operatori 
asosiy 
Bu Bessel funktsiyalari yoki ular bilan bog'liq funktsiyalar, bu Besselning qayta ixtiro qilinishini anglatadi. Ushbu qayta ixtironing eng tez-tez muhokama qilinadigan yon ta'siridan biri bu Hankelning qayta ixtirosidir
,
.
Darvoza operatori (formula) ko'rinadi
.
Turg'unlikning boshqa epizodlari uchun yordam uchun Besselning qayta yaratilishini olish mumkin.