Oʻtkazib boʻlmaydigan funksiya. Cheksiz buyuk funktsiyaning ahamiyati. Buklanish funksiyasi haqida tushuncha
Nuqtadagi cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalarning ahamiyati va kuchi. Hakimiyat va teoremalarni isbotlang. Cheksiz kichik va cheksiz buyuk funktsiyalar orasidagi bog'lanishlar.
ZmistDiv. shuningdek: Cheksiz kichik mustahkamlik - ahamiyat va kuch
Cheksiz buyuk ketma-ketliklarning kuchi
Cheksiz kichik va cheksiz katta funktsiyalarning ahamiyati
Keling, x 0 Oxirgi nuqta yoki cheksiz uzoq nuqta mavjud: ∞, -∞ yoki +∞.
Ma'nosiz kichik funktsiyalar
Funktsiya a (x) chaqirdi cheksiz kichik y x pragnenny x 0
0
, va nolga teng:
.
Cheksiz buyuk funktsiyaning ahamiyati
Funktsiya f (x) chaqirdi cheksiz ajoyib y x pragnenny x 0
chunki funktsiya x → x o'rtasida harakat qiladi 0
, va eski nomuvofiqliklar:
.
Cheksiz kichik funktsiyalarning kuchi
Yig'indining kuchi, farqi va cheksiz kichik funktsiyalarni yaratadi
Yig'indi, farq va tvir x → x kabi cheksiz kichik funktsiyalarning terminal soni 0 ê x → x kabi cheksiz kichik funktsiya 0 .
Bu kuch funktsiyalar orasidagi arifmetik kuchlarning bevosita merosidir.
Cheksiz kichik ustida chegaralangan funksiya yaratish haqidagi teorema
Funksiya qo‘shilishi, o‘zaro bog‘langan x nuqtasining teshilgan chetida 0 , cheksiz kichik, x → x kabi 0 , x → x kabi cheksiz kichik funksiyadir 0 .
Doimiy va cheksiz kichik funktsiya shaklida funktsiyalarni taqdim etish haqida kuch
f funktsiyasi uchun (x) oxirgi bo'shliq kichik, bu zarur va etarli, shuning uchun
,
de - x → x kabi cheksiz kichik funktsiya 0
.
Cheksiz buyuk funktsiyalarning kuchi
Chegaralangan funktsiya yig'indisi va cheksiz kattalik haqidagi teorema
x nuqtasining har qanday teshilgan chetidagi o'zaro bog'langan funktsiyaning yig'indisi yoki farqi 0
, va x → x kabi cheksiz katta funksiya 0
, x → x kabi cheksiz katta funksiyadir 0
.
Cheksiz kattalikda cheklangan funksiya ostida maxfiylik haqidagi teorema
f funktsiyasi nima (x) x → x kabi cheksiz ajoyib 0
, va g funksiyasi (x)- x nuqta atrofida teshilgan halqa bilan o'ralgan 0
, Bu
.
Cheksiz kichikda quyida chegaralangan funksiyaning maxfiyligi haqidagi teorema
Funktsiya nuqta atrofidagi har qanday teshilishda mutlaq qiymatda quyida musbat raqam bilan o'ralganligi sababli:
,
va funksiya cheksiz kichik bo'lib, x → x 0
:
,
Va nuqta atrofidagi maydon aniq teshilgan, shuning uchun
.
Cheksiz katta funksiyalarning tengsizliklari kuchi
Funktsiya quyidagi hollarda cheksiz ajoyib:
,
Va funksiyalar va nuqta atrofidagi har qanday teshilishda tengsizliklarni qondiradi:
,
u holda funksiya ham cheksiz katta:
.
Bu kuch ikkita yon ta'sir bilan birga keladi.
Iltimos, har qanday teshilgan maydonda nuqtalar, funktsiyalar va tengsizliklarni qondiradi:
.
Qanday bo'lmasin, men.
Yakshcho, keyin y.
Cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar orasidagi bog'lanishlar
Ikki old hokimiyatdan cheksiz katta va cheksiz kichik funktsiyalar o'rtasida bog'liqlik mavjud.
Funktsiya da cheksiz katta bo'lgani uchun, funksiya cheksiz kichik bo'ladi.
Funktsiya da cheksiz kichik bo'lgani kabi, funksiya ham cheksiz katta bo'ladi.
Cheksiz kichik va cheksiz buyuk funktsiya o'rtasidagi bog'liqlik ramziy ravishda ifodalanishi mumkin:
,
.
Juda kichik funktsiyaning kichik belgisi bo'lganligi sababli, u nuqtaning har qanday teshilgan joyida ijobiy (yoki manfiy) bo'lsa, uni quyidagicha yozishimiz mumkin:
.
Shunday qilib, qo'shiq belgisining cheksiz buyuk funktsiyasi bo'lganligi sababli, quyidagini yozing:
, yoki .
Cheksiz kichik va cheksiz buyuk funktsiyalar o'rtasidagi bu ramziy bog'lanishni quyidagi bog'lanishlar bilan to'ldirish mumkin:
,
,
,
.
Davomiylik belgilarini bog'laydigan qo'shimcha formulalarni sahifada topish mumkin
"Ularning kuch nuqtalari cheksiz uzoqda."
Quvvat va teoremalarni isbotlash
Cheksiz kichik ustida o'zaro bog'langan funktsiyani yaratish haqidagi teoremani isbotlash
Bu teoremani isbotlash uchun tezlikdan foydalanamiz. Va shuningdek, cheksiz kichik ketma-ketliklarning vikoryistik kuchi, shuning uchun
Funktsiya cheksiz kichik bo'lsin va funktsiya nuqta atrofida teshilish bilan o'ralgan:
da .
Parchalar qirralarning orasida joylashgan, nuqtaning qirralari teshilgan va funktsiya ko'rsatilgan. Keling, atrofni aylanib chiqaylik. Keyin funksiya unda belgilanadi.
.
,
va ketma-ketlik cheksiz kichik:
.
Demak, o'zaro bog'langan ketma-ketlikning qo'shilishi cheksiz kichik va ketma-ketlik cheksiz kichikdir:
.
.
Teorema isbotlangan.
Funktsiyani statsionar va cheksiz kichik funktsiya yig'indisi sifatida ko'rsatishning qat'iyligini isbotlash
Zaruriyat. Funktsiya to'g'ridan-to'g'ri oxirigacha ishlasin
.
Funktsiyani ko'rib chiqaylik:
.
Turli funktsiyalar o'rtasidagi vikorist kuch, biz aytishimiz mumkin:
.
Bu juda kichik funksiya.
Mavjudligi. Ketishimga ruxsat bering. Ushbu funktsiyalar orasidagi quvvat aniqlanadi:
.
Quvvat yetkazib berildi.
Chegaralangan funksiya va cheksiz kattalik yig‘indisi haqidagi teoremaning isboti
Teoremani isbotlash uchun biz Hein orqasidagi interfunktsiyalarni tezda hisoblaymiz
da .
Fragmentlar qirralarning orasida joylashgan, nuqtaning qirralari teshilgan va funksiya aniqlanadi. Keling, atrofni aylanib chiqaylik. Keyin funksiya unda belgilanadi.
Atrofda joylashgan elementlarga o'tish uchun etarli ketma-ketlik mavjud:
.
Keyin ketma-ketlik ko'rsatiladi. Bundan tashqari, ketma-ketlik kesishadi:
,
va mustahkamlik cheksiz ajoyib:
.
Yig'indining bo'laklari yoki o'zaro bog'langan ketma-ketlik va cheksiz kattalik o'rtasidagi farq
.
Keyin, Xayndan keyingi ketma-ketlikning ahamiyatiga ko'ra,
.
Teorema isbotlangan.
Cheksiz katta masshtabdagi umumiy funksiyaning maxfiyligi haqidagi teoremaning isboti
Geynega ko'ra interfunksiyalarning tezkor ahamiyatini isbotlash. Xuddi shunday, cheksiz buyuk ketma-ketliklarning g'alabali kuchi cheksiz kichik izchillikdan kelib chiqadi.
Funktsiya cheksiz katta bo'lsin va funksiya nuqta atrofida teshilish bilan o'ralgan:
da .
Funktsiya cheksiz katta bo'lganligi sababli, u tayinlangan nuqtaning doirasi teshiladi va nolga qaytmaydi:
da .
Keling, atrofni aylanib chiqaylik. Keyin funksiya unda belgilanadi.
Atrofda joylashgan elementlarga o'tish uchun etarli ketma-ketlik mavjud:
.
Keyin ketma-ketlik ko'rsatiladi. Bundan tashqari, ketma-ketlik kesishadi:
,
va ketma-ketlik nol o'rnini bosadigan shartlar bilan cheksiz katta:
,
.
Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketlikda o'zaro bog'langan ketma-ketlikning kichik bo'limidagi maxfiylik bo'laklari, keyin
.
Keyin, Xayndan keyingi ketma-ketlikning ahamiyatiga ko'ra,
.
Teorema isbotlangan.
Quyida cheksiz kichik bo'lgan funktsiyaning kichik bo'limidagi maxfiylik teoremasining isboti
Ushbu kuchni isbotlash uchun biz Hein funktsiyalarining ahamiyatini tezda aniqlaymiz. Xuddi shunday, cheksiz buyuk ketma-ketliklarning qudrati, cheksiz buyuk ketma-ketliklar bilan birga, g'alaba qozonadi.
Funktsiya cheksiz kichik bo'lsin va funktsiya nuqta atrofidagi har qanday teshilishda mutlaq qiymat ostida musbat son bilan o'ralgan bo'lsin:
da .
Lavaboning orqasida funktsiya tayinlangan va nolga qaytmaydigan nuqta atrofida teshilgan halqa bor:
da .
Keling, atrofni aylanib chiqaylik. Keyin funksiya unda belgilanadi. Bundan tashqari, i.
Atrofda joylashgan elementlarga o'tish uchun etarli ketma-ketlik mavjud:
.
Keyin ketma-ketlik ko'rsatiladi. Bundan tashqari, ketma-ketlik quyida belgilanadi:
,
va ketma-ketlik cheksiz kichik bo'lib, atamalar nol o'rnini bosadi:
,
.
Quyidagi ketma-ketlik bilan chegaralangan kichik bo'limdagi maxfiylik bo'laklari cheksiz kichik va cheksiz katta, keyin
.
Va unutmangki, nuqta atrofidagi joy teshilgan, uning ustiga
da .
O'tish uchun etarli ketma-ketlik mavjud. Keyin, N raqamidan boshlab, ketma-ketlik elementlari buning atrofida yotadi:
da .
Todi
da .
Bu Heinga interfunksiyalarni tayinlash bilan mos keladi,
.
Cheksiz buyuk ketma-ketliklarning aniq nomuvofiqligi uchun,
.
ga borish uchun ketma-ketlik kifoya qiladi, keyin Geynega ko'ra interfunksiyalarning ahamiyati,
.
Quvvat yetkazib berildi.
Vikoriston adabiyoti:
L.D. Kudryavtsi. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
Def: Funktsiya chaqiriladi cheksiz kichik da , yakscho 
.
"" kiritish uchun biz ruxsat beramiz x 0 yakuniy qiymat sifatida qabul qilinishi mumkin: x 0= So'nggi, shunday va cheksiz: x 0= ∞.
Cheksiz kichik funktsiyalarning kuchi:
1) Funksiya ortidagi cheksiz kichik sonlar va funksiya orqasidagi cheksiz kichik sonlarning algebraik yig‘indisi.
2) Funksiya orqasidagi cheksiz kichik sonlar va funksiya orqasidagi cheksiz kichik sonlarning terminal sonini qo‘shish.
3) cheksiz kichik funksiyali cheksiz kichik funksiyaga o‘zaro bog‘langan funksiyani qo‘shish.
4) Bo'linishning maxfiyligi funktsiya funktsiyada bo'lganda, nolning har qanday o'rnini bosish o'rtasida cheksiz kichik va funktsiyada cheksiz kichikdir.
dumba: Funktsiya y = 2 + xê da cheksiz kichik, chunki .
Def: Funktsiya chaqiriladi cheksiz ajoyib da , yakscho 
.
Cheksiz buyuk funktsiyalarning kuchi:
1) Funksiya uchun cheksiz katta miqdor funksiya uchun cheksiz katta.
2) Funksiya ustidagi funksiya bilan cheksiz katta, ular orasida noldan ayiriladi va funksiya bilan cheksiz katta.
3) Funksiya va o‘zaro bog‘langan funksiya va cheksiz katta funksiya uchun yig‘indi cheksiz katta.
4) Bo'linishning maxfiyligi, so'nggi chegarani ko'rsatadigan funktsiya bo'yicha funktsiyaga kelganda cheksiz katta va funksiya uchun cheksiz katta.
dumba:
Funktsiya y= ê da cheksiz ajoyib, chunki 
.
Teorema.Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar orasidagi bog'lanishlar. Funktsiya da cheksiz kichik bo'lgani uchun, funksiya cheksiz katta bo'ladi. Aytgancha, funksiya da cheksiz katta bo'lgani uchun, funksiya da cheksiz kichikdir.
Ikki cheksiz kichik o'rtasidagi munosabat odatda ramz sifatida va ikkita cheksiz buyuk o'rtasidagi ramz sifatida belgilanadi. Eslatmalarning shikoyatlari noma'lum holatga kiritilgan o'ziga xos funktsiyalar turiga qarab, ular orasida topilishi mumkin bo'lgan va topilgan, cheksiz songa mos keladigan hislar uchun ahamiyatsiz.
Ahamiyatsiz ko'rinadigan narsalarga qo'shimcha ravishda, quyidagi iboralar ahamiyatsizdir:
Bitta belgi uchun cheksiz ko'proq xilma-xillik;
Cheksiz kattadan cheksiz kichik dunyo;
Displey-qadam funksiyasi, uning asosi pragne 1 va displeygacha;
Displey-bosqich funktsiyasi, uning asosi cheksiz kichik va displey cheksiz katta;
Funktsiya ko'rgazmali va statik, asos va displey cheksiz darajada kichik;
Bu ajoyib funktsiya bo'lib, uning asosi cheksiz buyuk va displey cheksiz darajada kichikdir.
Bu turning ahamiyatsizligini anglatadi. Bunday hollarda chegaralar orasidagi hisob-kitoblar deyiladi ahamiyatsizligining vahiylariga. Ahamiyatsizlikni ochish uchun chegara belgisi ostida turgan ibora ahamiyatsizlik uchun qasos olmaslik uchun tashqi ko'rinishga o'zgartiriladi.
Vikoristlar o'rtasida hisob-kitob qilganda, hokimiyatlar o'rtasidagi va cheksiz kichik va cheksiz buyuk funktsiyalarning vakolatlari.
Keling, o'rtasidagi farqlarni qanday hisoblashni ko'rib chiqaylik.
1) 
. 2) 
.
4) 
, chunki funksiyani ulashishda cheksiz kichik funksiyalar soni 
- cheksiz kichik.
5) 
. 6) 
.
7) 
= 
=
. Bunda turning unchalik ahamiyatsiz joyi bor, chunki qoʻshimcha maqsadlar uchun boy aʼzolarni koʻpaytiruvchiga taqsimlashni va yashirin koʻpaytiruvchiga qisqartirishni ochish mumkin edi.
= 
.
Bunday holda, turning kichik ahamiyatsiz joyi mavjud, chunki son va belgini ifoda bilan qo'shimcha ko'paytirish, vikariy formula va kasrni (+1) ga yanada qisqartirish uchun ochish mumkin edi. .
9) 
. Bunday holda, turning ahamiyatsizligi raqam xodimi va belgi xodimining yuqori darajaga bo'linishi tomonidan aniqlandi.
Mo''jizaviy chegaralar
Persha Chudova chegarasi : .
Tugallandi. Keling, bitta rangni ko'rib chiqaylik (3-rasm).
3-rasm. Yagona rang
Qani ketdik X– markaziy bankning radial kirishi MOA(), keyin O.A = R= 1, MK= gunoh x, DA= tg x. Trikutanning teng joylari OMA, OTA o'sha sektor OMA, Biz rad etamiz:
,
.
Qolgan asabiylikni gunohga ajratamiz x, Biz rad etamiz:
.
Demak, agar da bo'lsa, u holda 5) orasida
Yulduzlar va qiymat erishish kerak bo'lgan narsalar asosida hisoblanadi.
Eslatma: Funktsiya da kichik bo'lgani uchun, u holda. , keyin birinchi Chudova chegarasi quyidagicha ko'rinishi mumkin:
.
Keling, birinchi mo''jiza chegaralarining vikorstanlari orasidagi hisob-kitoblarni ko'rib chiqaylik.
Chegaralar qiymatini hisoblashda trigonometrik formuladan foydalanilgan: 
.
.
Keling, boshqa mo''jizaviy chegaralarning vikorstanlari orasidagi hisob-kitoblarni ko'rib chiqaylik.
2) 
.
3) 
. Turning ahamiyatsizligiga o'rin yo'q. Biz uni albatta almashtiramiz, keyin; da .
Cheksiz katta ketma-ketlikda amalga oshirilishi. Kontseptsiya cheksiz uzoq nuqtalar atrofida ko'rib chiqiladi. Oxirigacha ham, oxirigacha ham ketma-ketliklarning universal belgilanishi berilgan. Cheksiz katta konsistensiyaga ega bo'lgan turg'un dumbaning dumbasi tekshiriladi.
ZmistDiv. shuningdek: Ketma-ketliklar orasidagi ahamiyat
Viznachennya
Ketma-ketlik (bn) cheksiz buyuk ketma-ketlik deyiladi, chunki har qanday, nechta abadiy buyuk M soni uchun M ostida joylashgan N M natural soni mavjud bo'lib, barcha natural n > N M uchun tengsizlik mavjud bo'ladi.
| b n | > M.
Yozish qanday uyat
.
Yoki da.
Aftidan, nomuvofiqlik yo'q, yoki nomuvofiqlik nuqtasiga yaqinlashadi.
Yaksho, N raqamidan boshlab 0
, Bu
( plyus nomuvofiqlikka yaqinlashadi).
Xo'sh, unda
( minus nomuvofiqlikka yaqinlashadi).
Keling, mantiqiy belgilar yordamida ma'noni yozamiz:
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(2) va (3) intervalli ketma-ketliklar va cheksiz katta ketma-ketlikning qo'shni shoxlari (1). Shundan kelib chiqadiki, agar ketma-ketliklar orasida qadimgi plyus yoki minus nomuvofiqliklar mavjud bo'lsa, unda qadimgi va nomuvofiqliklar ham mavjud:
.
Orqaga, shubhasiz, to'g'ri emas. Ketma-ket a'zolari belgilangan ona belgilari bo'lishi mumkin. Bunday holda, chegaralar nomuvofiqliklar bilan to'ldirilishi mumkin, ammo qo'shiq belgisisiz.
Shuni ham ta'kidlash kerakki, kuch chegaralar orasidagi ma'lum bir izchillikka bog'langan bo'lsa, bu qadimiy nomuvofiqlik bo'lsa, bu kuch ham ortiqcha yoki minus nomuvofiqlik bo'lgan mustahkamlikka bog'langan.
Ko'p hollarda matematik tahlil M sonining ijobiy ekanligini ko'rsatadi: M > 0 . Biroq, bu narxga ega. Agar biror narsani tishlasangiz, unda siz boshqa axlatni ayblamaysiz. Biz uchun ozgina salbiy ma'no hech qanday qiziqish uyg'otmaydi. M.ning har qanday katta ijobiy qadriyatlarida izchillik harakati bizni hayratda qoldirdi. Shuning uchun, agar bu kerak bo'lmasa, unda siz M > a bo'lishi uchun oldindan a raqamini hisobga olgan holda uni pastdan chegaralashingiz mumkin.
Agar biz e - oxirgi nuqtaning tashqi tomonini nazarda tutgan bo'lsak, u holda e dan foydalanishimiz mumkin > 0 Biz muhimmiz. Salbiy qiymatlar bilan tengsizlikni tuzatish mumkin emas.
Cheksiz uzoq nuqtalar atrofida
Agar biz oxirgi chegaralarga qaragan bo'lsak, biz nuqtaning atrofini ko'rmadik. Biz oxirgi nuqta atrofida bu nuqtani joylashtirish uchun yopiq oraliq mavjudligini eslaymiz. Shu tarzda biz cheksiz uzoq nuqtalar atrofida tushunishni ta'minlay olamiz.
M etarli son bo'lsin.
"Muvofiqlik" nuqtasi atrofida, , shaxssiz deb ataladi.
"Plyus nomuvofiqlik" nuqtasi atrofida, , shaxssiz deb ataladi.
"Minus nomuvofiqlik" nuqtasi atrofida, , shaxssiz deb ataladi.
To'g'ri, "mos kelmaslik" va shaxssizlik nuqtai nazaridan
(4)
,
de M 1
ta M 2
- Ko'proq ijobiy raqamlar. Biz birinchi navbatda g'olib bo'lamiz va bu oddiyroq bo'ladi. Hamma narsa quyida aytilgan bo'lsa-da, bu qiymat vikoristik bo'lganda ham to'g'ri bo'ladi (4).
Endi biz oxirida ham, oxirida ham mavjud bo'lgan ketma-ketliklar o'rtasida yagona ma'no berishimiz mumkin.
Ketma-ketliklar orasida universal tarzda aniqlanadi.
A nuqtasi (Kintsev Chi Non-Chicno Viddalena) ê Mezheza, Yakshcho, Endo bo'lish uchun, Take, Natural Number N, Scho Elhementa Dushman Xodimlari Comulu Okolitskiyga.
Shu tarzda, agar bo'shliq mavjud bo'lsa, u holda a nuqta chegaralaridan tashqarida ketma-ketlikning oxirgi sonidan kamroq yoki bo'sh ko'plik bo'lishi mumkin. Bu aql zarur va etarlidir. Bu kuchning isboti, masalan, orasidagi uchlari uchun.
Ketma-ketlik atrofida hokimiyat, nima borish kerak
A nuqta (terminal yoki cheksiz uzoq) ketma-ketlikning chegarasi bo'lishi uchun nuqtaning istalgan doirasi o'rtasida ketma-ketlik hadlarining terminal soni yoki bo'sh ko'paytuvchi bo'lishi zarur va etarli.
Tugallandi.
Xuddi shu tarzda, e - cheksiz uzoq nuqtalar atrofida tushunchasini kiriting.
Ko'rinib turibdiki, e - oxirgi nuqta atrofidagi maydon nuqtasiz deyiladi.
Keling, quyidagi ma'noni keltiramiz. Nehai e - a nuqtasi atrofida degan ma'noni anglatadi. Yakuniy nuqta uchun Todi,
.
Cheksiz uzoq nuqtalar uchun:
;
;
.
Vikoristlarning e - aylana tushunchasiga asoslanib, ketma-ketliklar orasidagi yana bir universal ma'no berilishi mumkin:
A nuqtasi (oxirgi nuqta cheksiz uzoqda) har qanday musbat e sonidagi kabi ketma-ketlikning chegarasi. > 0
E ostida shunday natural N e soni borki, barcha n > N e hadlari uchun x n e - nuqta doirasi yotadi:
.
Mantiqiy belgilar yordamida ma'no va ma'no quyidagicha yoziladi:
.
Cheksiz ajoyib ketma-ketliklarni qo'llang
Butun 1
.
.
Biz cheksiz ajoyib ketma-ketlikda yozamiz:
(1)
.
Bizning vipadkaga
.
Ularni tengsizliklar bilan bog'laydigan raqamlarni kiriting:
.
Tengsizliklar kuchining orqasida, xuddi shunday, keyin
.
Azizim, bu tengsizlik har qanday n uchun tugaydi. Siz uni quyidagicha tanlashingiz mumkin:
da;
da .
Xo'sh, har kim uchun tashvishni qondiradigan tabiiy raqamni bilish mumkin. Todi hamma uchun,
.
Tse nimani anglatadi. Shunday qilib, mustahkamlik cheksiz ajoyibdir.
Butun 2
Buni ko'rsatishning cheksiz katta izchilligiga mos keladi
.
(2)
.
Berilgan ketma-ketlikning qonuniy muddati quyidagicha ko'rinadi:
.
Raqamlarni kiriting:
.
.
Keyin har kim uchun tengsizliklarni qondiradigan natural sonni topishingiz mumkin, shuning uchun hamma uchun,
.
Tse nimani anglatadi.
.
Butun 3
Buni ko'rsatishning cheksiz katta izchilligiga mos keladi
.
Biz ketma-ketliklar orasidagi farqni yozamiz, bu doimiylikning qadimgi minuslari:
(3)
.
Berilgan ketma-ketlikning qonuniy muddati quyidagicha ko'rinadi:
.
Raqamlarni kiriting:
.
Yulduzdan ko'rinib turibdiki, shunday ekan
.
Agar tengsizlikni qanoatlantiradigan natural sonni bilish mumkin bo'lsa, u holda
.
N sifatida berilgan bo'lsa, siz tengsizlik darajasini qanoatlantiradigan har qanday natural sonni olishingiz mumkin:
.
Butun 4
Buni ko'rsatishning cheksiz katta izchilligiga mos keladi
.
Vipishemo zagalnyj a'zolar ketma-ketligi:
.
Qadimgi va nomuvofiqliklar bo'lgan ketma-ketliklar orasidagi ma'noni yozamiz:
(2)
.
n fragmentlari natural son, n = 1, 2, 3, ...
, Bu
;
;
.
Raqamlar va M ni kiriting, ularni tengsizliklar bilan bog'lang:
.
Yulduzdan ko'rinib turibdiki, shunday ekan
.
Xo'sh, har qanday M soni uchun noaniqlikni qondiradigan natural sonni topishingiz mumkin. Todi hamma uchun,
.
Tse nimani anglatadi.
Vikoriston adabiyoti:
L.D. Kudryavtsi. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
SM. Mikilskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.
Funktsiya y=f(x) chaqirdi cheksiz kichik da x→a yoki da x→∞, yakshto yoki, tobto. Cheksiz kichik funktsiya nuqtalari nolga teng bo'lgan funktsiyadir.
uni qo'llang.
1. Funktsiya f(x)=(x-1) 2 ê cheksiz kichik da x→1, fragmentlar (bo'lim - rasm).
2. Funktsiya f(x)= tg x- cheksiz kichik da x→0.
3. f(x)= jurnal (1+ x) - cheksiz kichik da x→0.
4. f(x) = 1/x- cheksiz kichik da x→∞.
Keling, muhimroq munosabatlarni o'rnatamiz:
Teorema. Funktsiya nima y=f(x) bilan ifodalanadi x→a Sizda aniq raqam borga o'xshaydi b va cheksiz kichik kattalikka ega a(x): f(x)=b+ a(x) bular.
O'shanda f(x)=b+a(x), de a(x)- cheksiz kichik da x→a.
Tugallandi.
1. Qattiqlashuvning bir qismini tugatamiz. G'ayrat bilan f(x)=b+a(x) iz | f (x) - b | = | a|. Ale juda yaxshi a(x)– cheksiz kichik, u holda yetarli e uchun d – nuqtaning tashqi tomoni topiladi a, hammaning oldida x nima maqsadda a(x) munosabatlardan mamnun |a(x)|< e. Todi |f(x) – b|< e. Va tse nimani anglatadi.
2. Yakshto, keyin nima uchun e >0 hamma uchun X faoliyat bilan d - nuqta atrofida a bo'ladi |f(x) – b|< e. Ale yakscho muhim ahamiyatga ega f(x) - b = a, Bu |a(x)|< e, ce esa shuni anglatadi a- cheksiz kichik.
Keling, cheksiz kichik funktsiyalarning asosiy kuchini ko'rib chiqaylik.
Teorema 1. Ikki, uch va hatto har qanday chekli sonli cheksiz kichiklarning algebraik yig'indisi cheksiz kichik funktsiyadir.
Tugallandi. Keling, ikkita Dodanga dalil keltiraylik. Qani ketdik f(x)=a(x)+b(x), de i. Yaxshilik uchun yaxshi bo'lgan narsa kichik uchun yaxshi ekanligini etkazishimiz kerakmi? > 0 bilaman δ> 0, nima uchun x notekislikni nima qondiradi | x – a |<δ , vikonuvetsya |f(x)|< ε.
Shunday qilib, keling, etarli miqdordagi e ni tuzataylik > 0. Mental teoremaning qoldiqlari a(x)- funktsiya juda kichik, unda bunday narsa bormi? > 0, nima uchun | x – a |< 1 may |a(x)|< ε / 2. Xuddi shunday, parchalar b(x)- cheksiz kichik bo'lsa, u holda d 2 ham bo'ladi > 0, nima uchun | x – a |< 2 may | b(x)|< ε / 2.
Keling, olamiz d=min( d 1 , d2 } . Todi nuqtaning chekkasida a radius δ Terida nosimmetrikliklar mavjud |a(x)|< ε / 2 ta | b(x)|< ε / 2. Xo'sh, siz bu chekkada bo'lasiz
|f(x)|=| a(x)+b(x)| ≤ |a(x)| + | b(x)|< ε /2 + ε /2= ε,
tobto. |f(x)|< e, nimani tarbiyalash kerak edi.
Teorema 2. Cheksiz kichik funktsiyani qo'shish a(x) o'zaro bog'langan funktsiyaga f(x) da x→a(yoki agar x→∞) juda kichik funksiyadir.
Tugallandi. Funktsiyaning qoldiqlari f(x) o'rab olingan, keyin ko'p bor M shunday, bu hamma uchun nimani anglatadi? x nuqtadan a|f(x)|≤M. Bundan tashqari, parchalar a(x)- juda kichik funksiya qachon x→a, keyin yetarli e uchun > 0 nuqta atrofida topasiz a tengsizlik bor joyda |a(x)|< ε /M. Bu atrofdagi eng kamida Todi bo'lishi mumkin | af|< ε /M= e. Va bu shuni anglatadiki af- cheksiz kichik. Vipadku uchun x→∞ Tasdiqlash xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi.
Quyidagi teorema quyidagicha:
Nasledok 1. Yakshcho i, keyin.
Naslidok 2. Yakshto i c= const, keyin .
Teorema 3. Cheksiz kichik funksiyaga munosabat a(x) har bir funktsiya uchun f(x), noldan har qanday farq o'rtasidagi cheksiz kichik funktsiyadir.
Tugallandi. Qo'yib yubor. Todi 1 /f(x) Funktsiya cheklangan. Demak, bu o'zaro bog'langan funktsiyada cheksiz kichik funksiya mavjudligini bildiradi. funksiya cheksiz kichikdir.
Cheksiz kichik va buyukni sanash
Cheksiz kichik hisoblash- cheksiz kichik miqdorlardan hosil bo'lgan hisob-kitoblar, bunda yakuniy natija cheksiz kichik miqdorlarning cheksiz yig'indisi sifatida qabul qilinadi. Cheksiz kichik miqdorlarni hisoblash zamonaviy matematikaning asosi bo'lgan differentsial va integral hisoblar uchun asosiy tushunchadir. Cheksiz kichik kattalik tushunchasi chegara tushunchasi bilan chambarchas bog'liq.
Juda kichik
Ketma-ketlik a n chaqirdi cheksiz kichik yakscho Masalan, raqamlar ketma-ketligi cheksiz kichikdir.
Funktsiya chaqiriladi chekkasida cheksiz kichik nuqta x 0, yakscho 
.
Funktsiya chaqiriladi nomuvofiqlikda cheksiz kichik, yakscho 
yoki yana 
.
Bundan tashqari, funktsiya cheksiz kichik, ya'ni funktsiyalar va chegaralar o'rtasida farq bor, shuning uchun 
, Bu f(x) − a = α( x)
, .
Cheksiz katta hajm
Ketma-ketlik a n chaqirdi cheksiz ajoyib, yakscho 
.
Funktsiya chaqiriladi nuqtaning chekkasida cheksiz ajoyib x 0, yakscho 
.
Funktsiya chaqiriladi cheksizlikda cheksiz buyuk, yakscho 
yoki yana 
.
Barcha holatlarda o'ng qo'lning nomuvofiqligi belgiga bog'liq (yoki "ortiqcha" yoki "minus"). Masalan, funktsiya x gunoh x da cheksiz ajoyib emas.
Cheksiz kichik va cheksiz buyuk kuchlar
Cheksiz kichik miqdorlarni tenglashtirish
Cheksiz kichik miqdorlarni qanday sozlash mumkin?
Cheksiz kichik miqdorlarni o'rnatish ahamiyatsizlik deb ataladigan narsani yaratadi.
Viznachennya
Aytaylik, bizda bir xil a() qiymati uchun cheksiz kichik qiymatlar mavjud. x) va b( x) (yoki ma'no uchun hech qanday ahamiyatga ega bo'lmasa-da, ketma-ketlik cheksiz kichik).
Bunday ma'lumotlarni hisoblash uchun L'Hopital qoidasidan foydalanish tavsiya etiladi.
Tozalashni qo'llang
Z vikoristannyam Haqida- Belgilar va natijalar real vaqt rejimida yozilishi mumkin x 5 = o(x 3). Bunday holda, adolatli yozuvlar 2x 2 + 6x = O(x) і x = O(2x 2 + 6x).Ekvivalent qiymatlar
Viznachennya
Darhaqiqat, a va b juda kichik miqdorlar deyiladi ekvivalent ().
Shubhasiz, biz ekvivalent miqdorlarni bir xil kichiklik tartibidagi cheksiz kichik miqdorlar qatori bilan yaxlitlaymiz.
Agar quyidagi ekvivalentlik munosabatlari to'g'ri bo'lsa: , , 
.
Teorema
Ikki cheksiz kichik miqdor o'rtasidagi farq, agar ulardan biri (yoki qoidabuzarlik) ekvivalent miqdor bilan almashtirilmasa, o'zgarmasdir..Bu teorema (div. dumba) orasidagi tushunishga kelganda amaliy ahamiyatga ega.
Vikoristanny dumba
O'zgartirish sin 2x ekvivalent qiymat 2 x, o'tkazib yuborilishi mumkin
Tarixiy rasm
"Cheksiz kichik" tushunchasi qadimgi davrlarda bo'linmas atomlar tushunchasi bilan bog'liq holda muhokama qilingan, ammo u klassik matematikaga aylanmagan. U 16-asrda “individual usul”ning paydo boʻlishi – kichik sohalarda tadqiqotning rivojlanishi bilan yana paydo boʻla boshladi.
17-asrda cheksiz kichik sonlarni algebralash rivojlandi. Noxush hid paydo bo'la boshladi raqamli qiymatlar, bu har qanday oxirgi (nol bo'lmagan) qiymatdan kichik va hali ham nolga teng emas. Tahlilning maqsadi cheksiz kichik (differensial) sodir bo'lgan murakkab munosabatlarda, shuningdek, uning integratsiyasida yotadi.
Qadimgi maktab matematiklari kontseptsiyani ishlab chiqdilar cheksiz kichik qattiq tanqid. Mishel Rol yangi raqam " daho sovg'alar to'plami"; Volter, isbotlab bo'lmaydigan nutqlarni hisoblash va to'g'ri o'chirish uchun hisob-kitob kuchini juda hurmat qildi. Biroq, Gyuygens yuqori darajadagi farqlar tuyg'usini tushunishini bilar edi.
Ajablanarlisi shundaki, asrning o'rtalarida nostandart tahlilning paydo bo'lishini ko'rish mumkin, bu esa asosiy nuqtai nazar - haqiqiy cheksiz kichik nuqtai nazar ham ajoyib emasligini va tahlil qilish uchun asos sifatida ishlatilishi mumkinligini ko'rsatadi. .
Div. shuningdek
Wikimedia fondi. 2010 yil.
Boshqa lug'atlarda "Cheksiz ajoyib" nima ekanligiga hayron bo'ling:
Y ning cheksiz kichik qiymati X ning cheksiz kichik qiymatiga o'ralgan bo'lib, Y = 1/X ... Buyuk ensiklopedik lug'at
Cheksiz kichik qiymat y cheksiz kichik qiymatga o'ralgan bo'lib, y = 1/x bo'ladi. * * * CHEKSIZ BUYUK cheksiz katta, Y ning o'zgaruvchan qiymati X ning cheksiz kichik qiymatiga teng, keyin Y = 1/X ... Ensiklopedik lug'at
Matematikada bu o'zgarish jarayonida oldindan belgilangan raqamdan kattaroq mutlaq qiymatga aylanadigan va yo'qotadigan o'zgaruvchan miqdor. Vivchennya Bi. b. miqdorlarni cheksiz kichiklarga kamaytirish mumkin. Katta Radyanska entsiklopediyasi