Умови збереження головного вектора кількості руху системи. Закон збереження кількості руху (закон збереження імпульсу). Випадок системи, що обертається
Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:
Тоді з рівняння (8.14) випливає, що:
, тобто: 
,
а це означає, що 
, тобто. 
.
Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему дорівнює нулю, вектор кількості руху системи буде постійний за величиною і напрямом.
У випадку, якщо зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад, ОХ) дорівнює нулю:
.
Тоді проекція кількості руху системи на цю вісь є величина постійна:
.
Ці результати виражають закон збереження кількості руху системи. Звідси слідує що внутрішні силисистеми не можуть змінити вектор кількості руху системи.
При вирішенні завдань за допомогою закону збереження головного вектора кількостей руху слід дотримуватися наступної послідовності:
Завдання 8.2 (36.3)
Визначити головний вектор кількостей руху маятника, що складається з однорідного стрижня ОАвагою Р 1 довжиною 4 rта однорідного диска Увагою Р 2 радіуси rякщо кутова швидкість маятника в даний момент дорівнює ω .
У цьому завдання система і двох тіл: стрижня, довжиною 4r і однорідного диска радіусом r. Центр мас стрижня перебуває у геометричному центрі (точка З), причому ОС=СА, центр мас диска перебуває у його геометричному центрі (точка У), оскільки тіла однорідні. Тоді для стрижня вектор кількості руху можна обчислити:
Так як 
тоді модуль вектора кількостей руху стрижня буде:
.
Вектор 
спрямований перпендикулярно стрижню ОА. Для диска вектор кількостей руху дорівнює:
.
Швидкість у точці Уможна визначити:
.
Тоді модуль 
дорівнюватиме:
.
Модуль вектора кількостей руху системи визначиться так:
тоді 
Відповідь: 
, вектор кількостей руху спрямований перпендикулярно до стрижня. ОА.
Запитання для самоконтролю:
Що таке кількість руху матеріальної точки та механічної системи?
Теорема про зміну кількості руху у диференційній формі?
Теорема про зміну кількості руху в інтегральній формі?
Література: - .
Лекція 9
Теорема про зміну моменту кількості руху точки
Моментом вектора 
щодо даного центру Про або осі Z позначається відповідно 
і 
називається моментом кількості руху або кінетичним моментом точки щодо центру чи осі.
Обчислюється момент вектора 
як і момент сили.
– для моменту вектора 
щодо центру:
.
– для моменту вектора 
щодо осі:
,
де 
– найкоротша відстань між точкою програми вектора 
та віссю або центром;
Звернемося до основного рівняння динаміки обертального руху
і розглянемо окремий випадокколи на тіло або зовсім не діють зовнішні сили, або вони такі, що їх рівнодіюча не дає моменту щодо осі обертання.
Але якщо зміна величини дорівнює нулю, то отже сама величина залишається постійною:
Рис. 66. Сальто-морталь.
Отже, якщо на тіло не діють зовнішні сили (або результуючий їх момент щодо осі обертання дорівнює нулю), то момент кількості руху тіла щодо осі обертання залишається незмінним. Цей закон має назву закону збереження моменту кількості руху щодо осі обертання.
Наведемо кілька прикладів, що ілюструють закон збереження моменту кількості руху.
Гімнаст під час стрибка через голову (мал. 66) підтискає до тулуба руки та ноги. Цим він зменшує свій момент інерції,
оскільки твір має залишатися незмінним, то кутова швидкість обертання зростає, й у короткий проміжок часу, поки гімнаст перебуває у повітрі, він встигає зробити повний оборот.
Кулька прив'язана до нитки, що намотується на ціпок; у міру того, як зменшується довжина нитки, зменшується момент інерції кульки і, отже, зростає кутова швидкість.
Рис. 67 Обертання людини, що стоїть на лаві Жуковського. прискориться, якщо він опустить руки і сповільниться, якщо він їх підніме.
Рис. 68. Якщо ми піднімемо велосипедне колесо над головою і приведемо його у обертання, то самі разом із платформою почнемо обертатися у протилежний бік.
Ряд цікавих дослідів можна виконати, вставши на платформу, що обертається на шарикопідшипнику (лава Жуковського). На рис. 67 та 68 зображені деякі з цих дослідів.
Зіставляючи рівняння, виведені в останніх параграфах, із законами прямолінійного поступального руху, легко помітити, що формули, що визначають обертальний рух біля нерухомої осі, аналогічні формулам для прямолінійного поступального руху.
У наступній таблиці зіставлені основні величини та рівняння, що визначають ці рухи:
(Див. скан)
Гіроскопи. Реактивний гіроскопічний ефект.Тверде тіло, що обертається з великою кутовою швидкістю навколо осі повної симетрії (вільної осі) називають гіроскопом. За законом збереження вектора моменту кількості руху гіроскоп прагне зберегти напрямок своєї осі обертання незмінним у просторі і виявляє тим більшу стійкість (тобто надає тим більший опір повороту осі обертання), що більше його момент інерції і що більше кутова швидкість обертання.
Коли ми, утримуючи на витягнутих руках якесь масивне нерухоме тіло, повідомляємо йому рух, наприклад зліва направо, то сила інерції, що розвивається тілом, рухає нас у протилежному напрямку. Прояв сил інерції гіроскопа, що обертається, коли ми повертаємо його вісь обертання, виявляється складнішим і на перший погляд несподіваним. Так, якщо ми, утримуючи в руках горизонтально спрямовану вісь обертання гіроскопа, станемо один кінець осі піднімати, а інший опускати, тобто повертати вісь у вертикальній площині, то відчуємо, що вісь чинить тиск на руки не у вертикальній, а в горизонтальній площині, притискаючи одну нашу руку та відтягуючи іншу. Якщо при розгляді праворуч обертання гіроскопа видно тим, що відбувається по руху годинникової стрілки (тобто момент кількості руху гіроскопа спрямований горизонтально наліво), то спроба підняти лівий кінець осі, опускаючи правий вниз, викликає рух лівого кінця осі в горизонтальній площині від нас, а правого - на нас.
Така реакція гіроскопа (так званий гіроскопічний ефект) пояснюється прагненням гіроскопа зберегти незмінним свій момент кількості руху і притому зберегти його незмінним не тільки за величиною, а й у напрямку. Дійсно, щоб при описаному вище повороті осі обертання гіроскопа у вертикальній площині на кут а (рис 69) момент кількості руху геометрично залишався незмінним, гіроскоп повинен придбати додаткове обертання навколо вертикальної осі з моментом кількості руху таким, що геометрично
З вказаної причини гіроскоп, що обертається, врівноважений на рухомій осі гирей (рис. 70), набуває додатково
обертання навколо вертикальної осі, якщо гирю, що врівноважувала гіроскоп, трохи відсунути від точки опори осі (перевішуючи, гиря повідомляє осі деякий нахил, що викликає звернення осі гіроскопа навколо точки опори в напрямку, яке відповідає напрямку вектора на рис. 69).
З тієї ж причини вісь дзиги набуває внаслідок дії сили тяжіння, що перекидає, круговий рух, який називають прецесією (рис. 71).
Отже, якщо до гіроскопа, що обертається, прикласти пару сил, що прагне повернути його біля осі, перпендикулярної до осі обертання, то гіроскоп дійсно стане повертатися, але тільки навколо третьої осі, перпендикулярної до перших двох. Щоб повернути гіроскоп, що обертається (наприклад, у напрямку як показано на рис. 72), потрібно до осі гіроскопа прикласти крутний момент у площині, перпендикулярній до напрямку повороту.
Рис. 71. Схема руху дзиги.
Більш детальний аналіз явищ, аналогічних описаним вище, показує, що гіроскоп прагне розташувати вісь свого обертання таким чином, щоб вона утворила можливо менший кут з віссю обертання, що змушується, і щоб обидва обертання відбувалися в одному і тому ж напрямку.
Ця властивість гіроскопа використовується в гіроскопічному компасі, що набув широкого поширення особливо у військовому флоті. Гирокомпас являє собою дзига, що швидко обертається (мотор трифазного струму, що робить до 25 000 об/хв), який на особливому поплавці плаває в посудині з ртуттю і вісь якого встановлюється в площині меридіана. У разі джерелом зовнішнього крутного моменту є добове обертання Землі навколо її осі. Під його дією вісь обертання гіроскопа прагне збігтися у напрямку з віссю обертання Землі, бо обертання Землі діє на гіроскоп безперервно, то вісь гіроскопа, нарешті, і приймає це положення, тобто встановлюється вздовж меридіана, і продовжує в ньому залишатися зовсім так само, як звичайна магнітна стрілка.
Гіроскопи часто застосовують як стабілізатори. Їх встановлюють зменшення качки на океанських пароплавах.
Були сконструйовані також стабілізатори для однорейкових. залізниць; масивний гіроскоп, що швидко обертається, поміщається всередині вагона однорейкової дороги, перешкоджає перекиданню вагона. Ротори для гіроскопічних стабілізаторів виготовляють вагою від 1 до 100 і більше тонн.
У торпедах гіроскопічні прилади, автоматично діючи на рульове управління, Забезпечують прямолінійність руху торпеди в напрямку пострілу.
Рис. 73. Прецесія земної осі.
Добове обертання Землі робить її подібною до гіроскопа. Так як Земля є не куля, а фігуру, близьку до еліпсоїда, то тяжіння Сонця створює рівнодіючу, що не проходить через центр мас Землі (як було б у разі кулі). Внаслідок цього виникає крутний момент, який прагне повернути вісь обертання Землі перпендикулярно до площини її орбіти (рис. 73). У зв'язку з цим земна вісь зазнає прецесійного руху (з повним оборотом приблизно за 25 800 років).
Закон збереження кількості руху
1. Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на механічну систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху системи є величина постійна за модулем і напрямом.
Якщо, то, отже.
2. Якщо сума проекцій усіх діючих сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи на цю вісь є постійною величиною.
Якщо, то, отже.
Лекція 11
ГОЛОВНИЙ МОМЕНТ КІЛЬКОСТІ РУХУ (кінетичний момент) системи
щодо центру та осі
Поняття моменту кількості руху точки.
Теорема про зміну моменту кількості руху точки.
Кінетичний момент. Теорема про зміну кінетичного
моменту системи при її русі по відношенню до центру мас
Моментом кількості руху точки щодо деякого центруназивається векторна величина, що визначається рівністю:
де - радіус-вектор точки, що рухається. Вектор спрямований перпендикулярно площині, що проходить через центр Проа модуль дорівнює,
де h- Найкоротша відстань від центру до лінії дії вектора швидкості.
Момент кількості руху (МКД) точки щодо будь-якої осі Оz , що проходить через центр О, дорівнює проекції вектора на цю площину:
Продиференціюємо обидві частини рівняння (1). Для правої частини
Вираз як векторний добуток двох паралельних векторів. Враховуючи, що – момент сили щодо центру 0 отримаємо:
Теорема про зміну моменту кількості руху точки.Похідна за часом від моменту кількості руху точки, взятого щодо якогось нерухомого центру, дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.
З рівності випливає, що, якщо, то.
Якщо момент діючих сил щодо деякого центру дорівнює нулю, то момент кількості руху точки щодо цього центру є постійна величина.
Таке можливо у двох випадках: або, або плече дорівнює нулю, тоді ця сила називатиметься центральної, тобто. лінія її дії проходить весь час через цей центр Про(Наприклад, сила тяжіння планет до Сонця, сила натягу нитки при кордовій моделі).
Головним моментом кількостей руху (або кінетичним моментом) системи щодо даного центруназивається векторна величина, що дорівнює геометричній сумі моментів кількостей руху всіх точок системи щодо цього центру:
Аналогічно визначаються моменти кількостей руху (МКД) щодо координатних осей:
У попередній лекції наголошувалося, що кількість руху можна розглядати як характеристику поступального руху. Нижче покажемо, що головний МКД системи може розглядатися як характеристика обертального руху.
З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки.
1. Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:
Тоді з рівняння (20) випливає, що при цьому Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, вектор кількості руху системи буде постійний за модулем і напрямом.
2. Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад, ) дорівнює нулю:
Тоді з рівнянь (20) випливає, що при цьому Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил на якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи на цю вісь є постійною.
Ці результати висловлюють закон збереження кількості руху системи. З них випливає, що внутрішні сили змінити кількість руху системи що неспроможні. Розглянемо деякі приклади.
Явище віддачі чи відкату. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити кількість руху системи, що дорівнює пострілу кулю. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це спричинить рух гвинтівки назад, тобто так звану віддачу. Аналогічне явище виходить при стрільбі зі зброї (відкат).
Робота гребного гвинта (пропелера). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища, як внутрішні, не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) отримує відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишається рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.
Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.
Реактивний рух. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору хвостової частини ракети (із сопла ракетного двигуна). Сила тиску, що діє при цьому, будуть силами внутрішніми і не можуть змінити кількість руху системи ракета - продукти горіння палива. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість, спрямовану вперед. Розмір цієї швидкості буде визначено в § 114.
Звертаємо увагу на те, що гвинтовий двигун (попередній приклад) повідомляє об'єкту, наприклад літаку, рух за рахунок відкидання назад частинок того середовища, в якому він рухається. У безповітряному просторі такий рух неможливий. Реактивний двигун повідомляє рух за рахунок відкидання назад мас, що виробляються в самому двигуні (продукти горіння). Рух це однаково можливий і в повітрі, і в безповітряному просторі.
При розв'язанні задач застосування теореми дозволяє виключити із розгляду всі внутрішні сили. Тому розглянуту систему треба намагатися вибирати так, щоб усі (або частина) заздалегідь невідомі сили зробити внутрішніми.
Закон збереження кількості руху зручно застосовувати у тих випадках, коли щодо зміни поступальної швидкості однієї частини системи треба визначити швидкість іншої частини. Зокрема цей закон широко використовується в теорії удару.
Задача 126. Куля масою, що летить горизонтально зі швидкістю і, потрапляє у встановлений на візку ящик з піском (рис 289). З якою швидкістю почне рухатися візок після удару, якщо маса візка разом із ящиком дорівнює
Рішення. Розглянемо кулю і візок як одну систему Це дозволить при вирішенні завдання виключити сили, які виникають при ударі кулі об ящик. Сума проекцій доданих до системи зовнішніх сил горизонтальну вісьОх равіа нулю. Отже, або де – кількість руху системи до удару; - Після удару.
Оскільки до удару візок нерухома, то .
Після удару візок і куля рухаються із загальною швидкістю, яку позначимо через v. Тоді.
Прирівнюючи праві частини виразів, знайдемо
Завдання 127. Визначити швидкість вільного відкату зброї, якщо вага частин, що відкочуються, дорівнює Р, вага снаряда , а швидкість снаряда по відношенню до каналу стовбура дорівнює в момент вильоту .
Рішення. Для виключення невідомих сил тиску порохових газів розглянемо снаряд і частини, що відкочуються, як одну систему.
Його рухи, тобто. величина.
Імпульс- Векторна величина, що збігається у напрямку з вектором швидкості .
Одиниця виміру імпульсу в системі СІ: кг м/с .
Імпульс системи тіл дорівнює векторній сумі імпульсів усіх тіл, що входять до системи:
Закон збереження імпульсу
Якщо на систему взаємодіючих тіл діють додатково зовнішні сили, наприклад, то в цьому випадку справедливе співвідношення, яке іноді називають законом зміни імпульсу:
Для замкнутої системи (за відсутності зовнішніх сил) справедливий закон збереження імпульсу:
Дія закону збереження імпульсу можна пояснити явище віддачі при стрільбі з гвинтівки або при артилерійській стрільбі. Також дія закону збереження імпульсу є основою принципу роботи всіх реактивних двигунів.
При вирішенні фізичних завдань законом збереження імпульсу користуються, коли знання всіх деталей руху не потрібно, а важливим є результат взаємодії тіл. Такими завданнями, наприклад, є завдання про зіткнення або зіткнення тел. Законом збереження імпульсу користуються при розгляді руху тіл змінної маси, таких як ракети-носії. Більшість маси такої ракети становить паливо. На активній ділянці польоту це паливо вигоряє, і маса ракети на цій ділянці траєкторії швидко зменшується. Також закон збереження імпульсу необхідний у випадках, коли поняття . Важко собі уявити ситуацію, коли нерухоме тіло набуває деякої швидкості миттєво. У звичайній практиці тіла завжди розганяються та набирають швидкість поступово. Однак при русі електронів та інших субатомних частинок зміна їхнього стану відбувається стрибком без перебування у проміжних станах. У разі класичне поняття «прискорення» застосовувати не можна.
Приклади розв'язання задач
ПРИКЛАД 1
| Завдання | Снаряд масою 100 кг, що летить горизонтально вздовж залізничної колії зі швидкістю 500 м/с, потрапляє у вагон із піском масою 10 т і застряє у ньому. Яку швидкість отримає вагон, якщо він рухався зі швидкістю 36 км/год у напрямку, протилежному до руху снаряда? |
| Рішення | Система вагон+снаряд замкнута, тому в даному випадку можна застосувати закон збереження імпульсу. Виконаємо малюнок, вказавши стан тіл до та після взаємодії.
При взаємодії снаряда та вагона має місце пружний удар. Закон збереження імпульсу у разі запишеться як: Вибираючи напрямок осі, що збігається з напрямком руху вагона, запишемо проекцію цього рівняння на координатну вісь: звідки швидкість вагона після попадання до нього снаряда:
Перекладаємо одиниці у систему СІ: т кг. Обчислимо: |
| Відповідь | Після влучення снаряда вагон рухатиметься зі швидкістю 5 м/с. |
ПРИКЛАД 2
| Завдання | Снаряд масою m=10 кг володів швидкістю v=200 м/с у верхній точці. У цій точці він розірвався на дві частини. Найменша частина масою m 1 =3 кг отримала швидкість v 1 =400 м/с у колишньому напрямку під кутом до горизонту. З якою швидкістю та в якому напрямку полетить більша частина снаряда? |
| Рішення | Траєкторія руху снаряда – парабола. Швидкість тіла завжди спрямована щодо до траєкторії. У верхній точці траєкторії швидкість снаряда паралельна осі.
Запишемо закон збереження імпульсу: Перейдемо від векторів до скалярних величин. Для цього зведемо обидві частини векторної рівності квадрат і скористаємося формулами для : Враховуючи, що , і що , знаходимо швидкість другого осколка: Підставивши в отриману формулу чисельні значення фізичних величин, обчислимо: Напрямок польоту більшої частини снаряда визначимо, скориставшись:
Підставивши у формулу чисельні значення, отримаємо: |
| Відповідь | Більшість снаряда полетить зі швидкістю 249 м/с вниз під кутом до горизонтального напрямку. |
ПРИКЛАД 3
| Завдання | Маса поїзда 3000 т. Коефіцієнт тертя 0,02. Якою має бути паровоз, щоб поїзд набрав швидкість 60 км/год через 2 хв після початку руху. |
| Рішення | Так як на поїзд діє (зовнішня сила), систему не можна вважати замкненою, і закон збереження імпульсу в даному випадку не виконується. Скористаємося законом зміни імпульсу: Так як сила тертя завжди спрямована у бік, протилежний руху тіла, в проекцію рівняння на вісь координат (напрямок осі збігається з напрямком руху поїзда) імпульс сили тертя увійде зі знаком «мінус»: |