Транцендентні числа. Що таке трансцендентність, або чому ми не можемо пізнати самих себе Ірраціональні числа та трансцендентні числа

Уривок, що характеризує трансцендентне число

На дійсній прямій крім алгебраїчних чисел помістилося ще одне безліч, потужність якого збігається з потужністю всієї прямої - це безліч трансцендентних чисел.

Визначення 6 : Число, яке не є алгебраїчним, називається трансцендентним, тобто трансцендентне числом (лат. transcendere - переходити, перевершувати) - це речове або комплексне число, яке не може бути коренем багаточлена (не рівного тотожному нулю) з раціональними коефіцієнтами

Властивості трансцендентних чисел:

· Безліч трансцендентних чисел континуально.

· Кожне трансцендентне речове число є ірраціональним, але протилежне неправильно. Наприклад, число - ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем багаточлена (і тому є алгебраїчним).

· Порядок на безлічі речових трансцендентних чисел ізоморфний порядку на безлічі ірраціональних чисел.

· Міра ірраціональності майже будь-якого трансцендентного числа дорівнює 2.

Вперше існування трансцендентних чисел доведено Ліувілем. Доказ існування трансцендентних чисел у Лаувіля є ефективним; на основі наступної теореми, що є безпосереднім наслідком теореми 5, будуються конкретні прикладитрансцендентних чисел

Теорема 6 [3, стор 54].: Нехай - дійсне число. Якщо для будь-якого натурального n 1 і будь-якого дійсного c>0 існує хоча б один раціональний дріб, такий, що (11), то - трансцендентне число.

Доведення:Якби було алгебраїчним, то знайшлося б (теорема 5) ціле позитивне nі дійсне c>0 такі, що з будь-якого дробу було б, але це суперечить тому, що має місце (11). Припущення, що число алгебри, тобто. трансцендентне число. Теорему доведено.

Числа, для яких за будь-яких n 1 і c>0 нерівність (11) має рішення у цілих числах aі bназиваються трансцендентними числами Ліувіля.

Тепер ми маємо засіб для побудови дійсних чисел, які не є алгебраїчними. Потрібно побудувати число, що допускає наближення як завгодно високого порядку.

приклад:

a- трансцендентне число.

Візьмемо довільні дійсні n 1 і c>0. Нехай де kобрано настільки великим, що і knтоді

Бо для довільних n 1 і c>0 можна знайти такий дріб, що, то - трансцендентне число.

Задамо число у вигляді нескінченного десяткового дробу: де

Тоді для будь-кого, де, . Таким чином, а це означає, що допускає наближення як завгодно високого порядку і тому не може бути алгебраїчним.

У 1873 році Ш. Ерміт довів трансцендентність числа e, основи натуральних логарифмів.

Для доказу трансцендентності числа eзнадобиться дві леми.

Лемма 1.Якщо g(x) - багаточлен з цілими коефіцієнтами, то для будь-якого kN всі коефіцієнти його k-ой похідною g (k) (x) поділяються на k!.

Доведення.Оскільки оператор d/dxлінійний, то затвердження леми достатньо перевірити тільки для багаточленів виду g(x)=x s , s 0.

Якщо k>s, то g (k) (x)= 0 і k!|0.

Якщо k< s , то

біноміальний коефіцієнт є цілим числом і g(k) ( x) знову-таки ділиться на k! націло.

Лемма 2 (Тотожність Ерміта) .Нехай f(x) - довільний багаточлен ступеня kіз дійсними коефіцієнтами,

F( x)=f(x)+f" (x)+f»(x)+ … +f (k) (x) - сума всіх його похідних. Тоді для будь-якого дійсного (і навіть комплексного, але нам це поки що не знадобиться) xвиконано:

Доведення.Інтегруємо частинами:

Інтеграл знову інтегруємо частинами, і так далі. Повторивши цю процедуру k+1 раз, отримаємо:

Теорема 7 (Ерміт, 1873). Число е трансцендентно.

Доведення.Доведемо це твердження від протилежного. Припустимо, що е - алгебраїчне число, ступеня m. Тоді

a m e m + … +a 1 e+a 0 =0

для деякого натурального mта деяких цілих a m ,… a 1 , a 0 . Підставимо в тотожність Ерміта (12) замість хціле число kяке приймає значення від 0 до m; помножимо кожну рівність

відповідно на a k, а потім усі їх складемо. Отримаємо:

Так як (це наше неприємне припущення), то виходить, що для будь-якого багаточлена f(x) повинна бути виконана рівність:

За рахунок відповідного вибору багаточлена f(x) можна зробити ліву частину(13) ненульовим цілим числом, а права частина у своїй виявиться між нулем і одиницею.

Розглянемо багаточлен, де nвизначимо пізніше ( nN, і nвелике).

Число 0 - корінь кратності n-1 многочлена f(x), числа 1, 2, ..., m- коріння кратності n, отже:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0) = (-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Розглянемо g( x)=x n-1 (x-1) n (x-2) n … (x-m) n - багаточлен, схожий на f(x), але з цілими коефіцієнтами. По лемі 1 коефіцієнти g ( l) (x) - цілі числа, що діляться на l!, отже, при l< n у похідній g ( l) (x) всі коефіцієнти - цілі числа, що діляться на n, т.к. g ( l) (x) Виходить з g (l) ( x) поділом тільки на ( n-1)! Саме тому

де А- відповідне ціле число, а над знаком суми стоїть число ( m+1) n-1 - ступінь многочлена f(x) і, хоч підсумовувати можна і до нескінченності, ненульових похідних у f(x) саме стільки.

Аналогічно

де B k- відповідні цілі числа, k = 1, 2,…, m.

Нехай тепер nN - будь-яке ціле число, що задовольняє умовам:

Знову розглянемо рівність (13):

У сумі зліва всі доданки - цілі числа, причому a k F(k) при k = 1, 2,…, mділиться на n, а a 0 F(0) на nне ділиться. Це означає, що вся сума, будучи цілим числом, nне ділиться, тобто. не є нулем. Отже,

Оцінимо тепер праву частину рівності (13). Зрозуміло, що на відрізку і тому на цьому відрізку

де константи C 0 та C 1 не залежать від n. Відомо що

тому, за досить великих n, права частина (13) менше одиниці і рівність (13) неможлива.

У 1882 році Ліндеман довів теорему про трансцендентність ступеня числа eз ненульовим показником алгебри, тим самим довівши трансцендентність числа.

Теорема 8 (Ліндеман) [3, стор. 58]. Якщо - число алгебри і, то число - трансцендентно.

Теорема Ліндемана дозволяє будувати трансцендентні числа.

Приклади:

З теореми Ліндемана випливає, наприклад, що число ln 2 – трансцендентно, адже 2=e ln 2а число 2 - алгебраїчне і якби число ln 2 було алгебраїчним, то за лемою число 2 було трансцендентним числом.

Взагалі, для будь-якого алгебраїчного, lnза теоремою Ліндемана є трансцендентним. Якщо ж трансцендентне, то lnне обов'язково трансцендентне число, наприклад ln e =1

Виявляється, ми ще в середній школі бачили масу трансцендентних чисел. ln 2, ln 3, ln() і т.п.

Зазначимо також, що трансцендентними є числа виду для будь-якого ненульового алгебраїчного числа (за теоремою Ліндемана - Вейєрштрасса, яка є узагальненням теореми Ліндемана). Наприклад, трансцендентними є числа, .

Якщо ж трансцендентно, то не обов'язково трансцендентні числа, наприклад,

Доказ теореми Ліндемана можна провести за допомогою тотожності Ерміта, аналогічно до того, як була доведена трансцендентність, з деякими ускладненнями в перетвореннях. Саме так її і доводив сам Ліндеман. А можна цю теорему доводити іншим шляхом, оскільки це робив радянський математик А.О. Гельфонд, ідеї якого привели в середині ХХ століття до вирішення Сьомої проблеми Гільберта.

У 1900 році на II Міжнародному конгресі математиків Гільберт серед сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо, чи вірно, що числа виду, де, - алгебраїчні і - ірраціонально є трансцендентними числами?» . Ця проблема була вирішена в 1934 Гельфондом, який довів, що всі такі числа дійсно є трансцендентними.

Доказ трансцендентності значень показової функції, запропонований Гельфондом, ґрунтується на застосуванні інтерполяційних методів.

Приклади:

1) На підставі теореми Гельфонду можна довести, наприклад, що число є трансцендентним, оскільки, якби воно було ірраціональним алгебри, то, оскільки то число 19 за теоремою Гельфонду було б трансцендентним, що неправда.

2) Нехай aі b- Ірраціональні числа. Чи може число a bбути раціональним?

Звичайно, з використанням сьомої проблеми Гільберта це завдання вирішити неважко. Справді, число – трансцендентне (оскільки – алгебраїчне ірраціональне число). Але всі раціональні числа є алгебраїчними, тому ірраціональне. З іншого боку,

Отже, ми просто надали такі числа: , Однак це завдання може бути вирішено і без будь-яких посилань на результат Гельфонду. Можна розмірковувати так: розглянемо число. Якщо це число раціональне, то завдання вирішено, такі aі bзнайдено. Якщо ж воно ірраціональне, то візьмемо і.

Отже, ми показали дві пари чисел aі b, таких що одна з цих пар задовольняє поставленій умові, але йому невідомо, яка саме. Але пред'явити таку пару і не потрібно! Таким чином, це рішення в певному сенсі є теоремою існування.

У цьому параграфі ми знову залишимо прекрасне і затишне царство цілих чисел, яким розгулювали (ледь не сказав - тинялися) вивчаючи теорію порівнянь. Якщо простежити історію виникнення та розвитку знань людства про числа, то виявиться досить парадоксальний факт - протягом майже всієї своєї багатовікової історії людство використовувало на практиці і уважно вивчало виключно малу частку всієї кількості живуть у природі чисел. Люди довгий час зовсім не підозрювали про існування, як з'ясувалося згодом, переважної більшості дійсних чисел, наділених дивовижними та загадковими властивостями, які тепер називають трансцендентними. Судіть самі (перераховую орієнтовні етапи розвитку поняття дійсного числа):

1) Геніальна математична абстракція натурального числа, що йде з глибини тисячоліть.

Геніальність цієї абстракції вражає, а її значення для розвитку людства перевершує, мабуть, навіть винахід колеса. Ми звикли до неї настільки, що перестали захоплюватися цим найвидатнішим досягненням людського розуму. Однак спробуйте, для більшої достовірності представивши себе не студентом-математиком, а первісною людиною, або, скажімо, студентом-філологом, сформулювати точно, що спільного є між трьома хатинами, трьома биками, трьома бананами і трьома ультразвуковими томографами ми тут не розглядаємо. Пояснювати не математику, що таке натуральне число "три" - майже безнадійна витівка, проте вже п'ятирічний людський дитинча внутрішньо відчуває цю абстракцію і в змозі розумно оперувати з нею, випрошуючи у мами три цукерки замість двох.

2) Дроби, тобто. позитивні раціональні числа

Дроби природно виникли при вирішенні завдань про поділ майна, вимір земельних ділянок, обчислення часу і т.п. У стародавньої Греціїраціональні числа взагалі були символом гармонії навколишнього світу і проявом божественного початку, проте відрізки, до певного часу, вважалися сумірними, тобто. ставлення їх довжин мало виражатися оптимальним числом, інакше - труба (а боги цього допустити що неспроможні).

3) Негативні числа та нуль (згідно з деякими науковими джерелами

Негативні числа спочатку трактувалися як борг при фінансових та бартерних розрахунках, проте потім з'ясувалося, що без негативних чисел та в інших сферах людської діяльності нікуди не подінешся (хто не вірить, хай подивиться взимку на градусник за вікном). Число нуль, на мій погляд, спочатку служило швидше не символом порожнього місця і відсутністю всякої кількості, а символом рівності та завершеності процесу розрахунків (скільки був винен сусідові, стільки йому і віддав, і ось тепер – нуль, тобто шкода).

4) Ірраціональні алгебраїчні числа

Ірраціональні числа відкрили в піфагорійській школі при спробі порівнювати діагональ квадрата з його стороною, але зберігали це відкриття в страшній таємниці - як би смути не сталося! У це відкриття присвячувалися лише найбільш психічно стійкі та перевірені учні, а тлумачилося воно як огидне явище, що порушує гармонію світу. Але потреба і війна змусили людство вчитися вирішувати рівняння алгебри не тільки першого ступеня з цілими коефіцієнтами. Після Галілея снаряди почали літати параболами, після Кеплера планети полетіли еліпсами, механіка і балістика стали точними науками і скрізь потрібно було вирішувати і вирішувати рівняння, корінням яких були ірраціональні числа. Тому з існуванням ірраціонального коріння алгебраїчних рівнянь довелося змиритися, якими б огидними вони не здавалися. Більше того, методи вирішення кубічних рівнянь і рівнянь четвертого ступеня, відкриті в 16 столітті італійськими математиками Сципіоном дель Ферро, Нікколо Тартальей (Тарталья – це прізвисько, що означає в перекладі – заїка, справжнього його прізвища я не знаю), Людовіком Ферралі та Рафа до винаходу зовсім "надприродних" комплексних чисел, яким судилося отримати повне визнання тільки в 19 столітті. Алгебраїчні ірраціональності міцно увійшли до людської практики вже з 16 століття.

У історії розвитку поняття числа не знайшлося місця для трансцендентних чисел, тобто. чисел не є корінням ніякого рівня алгебри з раціональними або, що рівносильно (після приведення до спільного знаменника), цілими коефіцієнтами. Щоправда, ще давні греки знали чудове число p , яке, як згодом з'ясувалося, трансцендентно, але вони знали його лише як відношення довжини кола до її діаметру. Питання про справжню природу цього числа взагалі мало кого цікавило доти, доки люди вдосталь і безуспішно не вирішувалися давньогрецьким завданням про квадратуру кола, а саме число якимось загадковим чином повилізало в різних розділах математики та природознавства.

Лише в 1844 році Ліувіль побудував історично перший приклад трансцендентного числа, а математичний світ здивувався самому факту існування таких чисел. Лише в 19 столітті геніальний Георг Кантор зрозумів, використовуючи поняття потужності множини, що на числовій прямій трансцендентних чисел переважна більшість. Тільки в п'ятому параграфі цієї невеликої книжки ми, нарешті, звернемо на трансцендентні числа свою увагу.

Пункт 24. Міра та категорія на прямій.

У цьому пункті я наведу деякі попередні відомості з математичного аналізу, необхідні для розуміння подальшого викладу. У математиці придумано чимало різних формалізації поняття “малості” множини. Нам знадобляться два з них - безліч міри нуль і безліч першої категорії по Беру. Обидва ці поняття спираються на поняття лічильності множини. Відомо, що множина раціональних чисел рахункова (| Q|= А 0), і будь-яке нескінченне безліч містить лічильне підмножина, тобто. лічильні безлічі найменші з нескінченних. Між будь-яким рахунковим безліччю та безліччю натуральних чисел Nіснує біологічне відображення, тобто. елементи будь-якої лічильної множини можна перенумерувати, або, іншими словами, будь-яку лічильну множину можна вибудувати в послідовність. Жоден інтервал на прямий не є лічильним безліччю. Це, очевидно, випливає із наступної теореми.

Теорема 1 (Кантор).Для будь-якої послідовності ( a n) дійсних чисел і для будь-якого інтервалу Iіснує точка рПро Iтака, що p № a nдля будь-кого nПро N .

Доведення.Процес. Беремо відрізок (саме відрізок, разом із кінцями) I 1 М Iтакий, що a 1 П I 1 . З відрізка I 1 беремо відрізок I 2 М I 1 такий, що a 2 П I 2 і т.д. Продовжуючи процес з відрізка I n -1беремо відрізок I n М I n-1 такий, що a n П I n. В результаті цього процесу отримуємо послідовність вкладених відрізків I 1 Й I 2 Й … Й I n Й … перетин
яких, як відомо з першого курсу, не пусто, тобто. містить деяку точку
. Очевидно, що p № a nпри всіх n Про N .

Я не думаю, що читачі раніше не зустрічалися з цим витонченим доказом (хоча в моїй практиці зустрічалися і дуже темні студенти), просто ідея цього доказу далі буде використана при доказі теореми Бера і тому корисно її нагадати заздалегідь.

Визначення.Безліч Ащільно в інтервалі I, якщо воно має непусте перетинання з кожним подінтервалом з I. Безліч Ащільно, якщо воно щільно в R. Безліч Аніде не щільно, якщо воно не щільно в жодному інтервалі на дійсному прямому, тобто. кожен інтервал на прямий містить підінтервал, що повністю лежить у додатку до А .

Легко зрозуміти, що безліч Аніде не щільно тоді і лише тоді, коли його доповнення A умістить щільне відкрите безліч. Легко зрозуміти, що безліч Аніде не щільно тоді і лише тоді, коли його замикання
немає жодної внутрішньої точки.

Ніде не щільні множини на прямій інтуїтивно відчуваються маленькими в тому сенсі, що в них повно дірок і точки такої множини розташовані на прямій досить рідко. Деякі властивості ніде не щільних множин сформулюємо скопом у вигляді теореми.

Теорема 2. 1) Будь-яке підмножина ніде не щільної множини ніде не щільно.

2) Об'єднання двох (або будь-якого кінцевого числа) ніде не щільних множин ніде не щільно.

3) Замикання ніде не щільної множини ніде не щільне.

Доведення. 1) Очевидно.

2) Якщо A 1 і A 2 ніде не щільні, то для кожного інтервалу Iзнайдуться інтервали I 1 М ( I \ A 1) та I 2 М ( I 1 \ A 2). Значить, I 2 М I \(A 1 І A 2), а це означає, що A 1 І A 2 ніде не щільно.

3) Очевидно, що будь-який відкритий інтервал, що міститься в A у, міститься також і в
.

Таким чином, клас ніде не щільних множин замкнутий щодо операції взяття підмножин, операції замикання та кінцевих об'єднань. Рахункове об'єднання ніде не щільних множин, взагалі кажучи, не повинно бути ніде не щільним безліччю. Приклад тому - безліч раціональних чисел, яке всюди щільно, але є лічильним об'єднанням окремих точок, кожна з яких утворює одноелементне ніде не щільне безліч R .

Визначення.Безліч, яке можна представити у вигляді кінцевого чи лічильного об'єднання ніде не щільних множин, називається безліччю першої категорії (за Бером). Безліч, яке не можна уявити в такому вигляді, називається безліччю другої категорії.

Теорема 3. 1) Доповнення будь-якої множини першої категорії на прямій є щільним.

2) Ніякий інтервал у Rне є множиною першої категорії.

3) Перетин будь-якої послідовності щільних відкритих множин є щільною множиною.

Доведення.Три сформульовані в теоремі властивості є по суті еквівалентними. Доведемо перше. Нехай

- Подання безлічі Апершої категорії у вигляді лічильного об'єднання ніде не щільних множин, I- Довільний інтервал. Далі - процес як у доказі теореми Кантора. Виберемо відрізок (саме відрізок, разом із кінцями) I 1 М ( I \ A 1). Це можна зробити, тому що в доповненні до ніде не щільної множини A 1 всередині інтервалу Iзавжди знайдеться цілий підінтервал, а він, у свою чергу, містить у собі цілий відрізок. Виберемо відрізок I 2 М ( I 1 \ A 2). Виберемо відрізок I 3 М ( I 2 \ A 3) і т.д. Перетин вкладених відрізків
не пусто, отже, доповнення I \ Aне порожньо, а це означає, що доповнення A ущільно.

Друге твердження теореми безпосередньо випливає з першого, третє твердження також випливає з першого, якщо зробити над собою зусилля і перейти до доповнень послідовності щільних відкритих множин.

Визначення.Клас множин, що містить всілякі кінцеві чи лічильні об'єднання своїх членів та будь-які підмножини своїх членів, називається s – ідеалом.

Очевидно, що клас всіх не більш ніж лічильних множин є s-ідеалом. Після невеликих роздумів легко зрозуміти, що клас всіх множин першої категорії на прямій також є s -ідеалом. Ще один цікавий приклад s-ідеалу дає клас так званих нуль-множин (або множин міри нуль).

Визначення.Безліч АМ Rназивається безліччю міри нуль (нуль-множиною), якщо Аможна покрити лише більш лічильної сукупністю інтервалів, сумарна довжина яких менше будь-якого наперед заданого числа e >0 , тобто. для будь-якого e > 0 існує така послідовність інтервалів I n, що
і е Ѕ I n Ѕ< e .

Поняття нуль-множини є іншою формалізацією інтуїтивного поняття "малості" множини: нуль-множини - це множини маленькі по довжині. Очевидно, що окрема точка є нуль-множиною і що будь-яке підмножина нуль-множини саме є нуль-множиною. Тому той факт, що нуль-множини утворюють s-ідеал випливає з наступної теореми.

Теорема 4 (Лебег).Будь-яке лічильне об'єднання нуль-множин є нуль-множиною.

Доведення.Нехай A і- нуль-множини, i= 1, 2, .... Тоді для кожного iіснує послідовність інтервалів I ij ( j=1, 2, ...) така, що
і
. Безліч всіх інтервалів I ij покриває Аі сума їх довжин менше e, оскільки
. Значить, А- нуль-множина.

Ніякий інтервал чи відрізок перестав бути нуль-множиною, т.к. справедлива

Теорема 5 (Гейне – Борель).Якщо кінцева чи нескінченна послідовність інтервалів I nпокриває інтервал I, то

S Ѕ I n Ѕ і Ѕ I Ѕ .

Я не буду наводити тут доказ цієї інтуїтивно очевидної теореми бо його можна знайти в будь-якому більш-менш серйозному курсі математичного аналізу.

З теореми Гейне-Бореля випливає, що s-ідеал нуль-множин, подібно s-деалам не більше ніж лічильних множин і множин першої категорії не містить інтервалів та відрізків. Спільним між цими трьома s-ідеалами є також те, що вони включають всі кінцеві і лічильні множини. Крім того, існують незліченні множини першої категорії міри нуль. Найбільш знайомий приклад такої множини - канторово досконале (*) безліч cМ , що складається з чисел, у трійковому записі яких немає одиниці. Згадайте процес побудови канторова досконалої множини: відрізок ділиться на три рівні частини і середній відкритий інтервал викидається. Кожна з двох третин, що залишилися, відрізка знову ділиться на три рівні частини і середні відкриті інтервали з них викидаються і т.д. Очевидно, що решта цього процесу безліч ніде не щільно, тобто. першої категорії. Легко підрахувати, сумарна довжина викинутих середніх частин дорівнює одиниці, тобто. змає міру нуль. Відомо що знезліченно, т.к. безліч безліч нескінченних послідовностей, що складаються з нулів і двійок (кожний елемент зпредставляється троїчним дробом у якій після коми йде саме послідовність з нулів і двійок).

Пропоную читачам самостійно перевірити, що існують множини першої категорії, що не є нуль-множинами, і існують нуль-множини, які не є множинами першої категорії (втім, якщо вам ускладнить вигадування відповідних прикладів, не впадайте у відчай, а просто дочитайте цей пункт до теореми .

Таким чином, картинка співвідношень між розглянутими трьома s-ідеалами така:

Отже, ми запровадили два поняття небагатьох множин. Немає нічого парадоксального, що безліч, мала в одному сенсі, може в іншому сенсі виявитися більшою. Наступна теорема непогано ілюструє цю думку і показує, що в деяких випадках, введені поняття малості можуть виявитися діаметрально протилежними.

Теорема 6.Числову пряму можна розбити на дві доповнюючі один одного множини Аі Утак що Ає безліч першої категорії, а Умає міру нуль.

Доведення.Нехай a 1 , a 2 ,…, a n ,… – занумерована безліч раціональних чисел (або будь-яка інша лічильна скрізь щільна підмножина R). Нехай I ij– відкритий інтервал довжини 1/2 i+j з центром у точці a i. Розглянемо безліч:

, j =1,2,...;

; A = R \ B = B ў .

Очевидно, що для будь-якого e > 0 можна вибрати jтак, що 1/2 j< e . Тогда

,

отже, У- нуль-множина.

Далі,
– щільна відкрита підмножина Rт.к. воно є поєднання послідовності відкритих інтервалів і містить усі раціональні точки. Це означає, що його доповнення G jу ніде не щільно, отже
- Багато першої категорії.

Чи не так, дивовижний результат! З доведеної теореми випливає, що кожне підмножина прямий, виявляється, можна представити у вигляді поєднання нуль-множини і множини першої категорії. У наступному пункті ми розглянемо конкретне розбиття Rна дві підмножини, одна з яких - трансцендентні числа Ліувіля - міри нуль, але другий категорії по Беру. Скоріше до наступного пункту!