Властивості ізоморфізму груп. Відображення двох груп G і K називається ізоморфізмом, якщо

Розглянуте вище гомоморфне відображення групи на групу не є однозначним; два різних елемента групи переходять при ньому в один і той же елемент b групи (Відображення однієї кінцевої групи на іншу може бути взаємно однозначним лише в тому випадку, коли ці групи мають однаковий порядок.) Згимно однозначне гомоморфне відображення однієї групи на іншу називається ізоморфним відображенням, чи ізоморфізмом. Отже, ізоморфізм груп - це відображення однієї групи на іншу, що відповідає двом умовам:

1) для всіх елементів а та b (гомоморфізм);

2) у тому й лише тому випадку, коли (взаємна однозначність).

Розглянемо два приклади таких зображень. В одному з них беруть участь кінцеві групи, а в іншому – нескінченні. Читачеві слід звернути увагу на такий факт: ізоморфізм однієї групи на іншу означає, що вони мають однакову структуру алгебри. Саме з цієї причини існує ізоморфізм однієї групи на іншу.

Нехай елементами групи Н є коріння рівняння

Групова операція – звичайне множення. Розглянемо циклічну групу таких обертань квадрата у його площині, у яких він поєднується із собою,

Позначимо через таке відображення групи на Н:

Очевидно, що f - однозначне взаємно відображення. Але чи буде воно гомоморфним? Щоб відповісти на це питання, досліджуємо таблицю множення групи (табл. 9.2) та порівняємо кожен твір r з його чином (записаним під ним):

Таблиця 9.2

Читач легко перевірить (з огляду на рівність, що образи елементів групи утворюють таблицю множення групи H. Таким чином,

і тому відображення f не тільки однозначно взаємно, а й гомоморфно. Отже, f – ізоморфізм. У таких випадках ми говоритимемо, що групи та Н ізоморфні. Дві групи є ізоморфними, якщо існує ізоморфізм однієї групи на іншу. З точки зору цього визначення ізоморфізм є як властивість двох груп, так і властивість їхнього відображення. Саме цю властивість ми мали на увазі, коли говорили, що групи мають однакову структуру.

Графи двох ізоморфних груп зображено на рис. 9.7. Зрозуміло, що це графи збігаються з точністю до позначень при вершинах і утворюють.

Як другий приклад ізоморфних груп розглянемо безліч Р позитивних дійсних чисел і безліч L їх логарифмів. (Не важливо, з якої підстави розглядаються логарифми, але для певності вважатимемо, що вони десяткові.)

Насамперед зазначимо, що кожна з цих множин є групою щодо бінарної операції, зазначеної в таблиці:

Доведемо, що ці групи є ізоморфними і що відображення визначене формулою

є ізоморфізм. Кожен елемент множини L при вказаному відображенні f є образом деякого елемента з Р. Отже, областю визначення цього відображення служить безліч усіх позитивних чисел, а областю значень - множина всіх дійсних чисел (рис. 9.8). Залишається перевірити, що

(1) для будь-яких х і у з

(2) відображення взаємно однозначне.

Тут потрібно бути обережним, щоб не сплутати операції у групах Р та L. Нехай – бінарна операція групи Р, а – бінарна операція групи

Тоді для будь-яких двох елементів х, у групи Р

4. Ізоморфізм груп.

Визначення.

Відображення двох груп G і K називається ізоморфізмом, якщо

1. Відображення j взаємно однозначно. 2.Отображение j зберігає операцію: .

Оскільки зворотне відображення до j також є ізоморфізмом, введене поняття симетрично щодо груп G і K , які називаються ізоморфними.

1.Групи поворотів площини та навколо точок і ізоморфні між собою. Аналогічно, ізоморфними будуть і групи, що складаються з поворотів простору будь-яких двох осей.

2. Група діедра та відповідна просторова група ізоморфні.

3. Група тетраедра T ізоморфна групі, що складається з парних підстановок четвертого ступеня. Для побудови ізоморфізму достатньо занумерувати вершини тетраедра цифрами 1,2,3,4 і помітити, що кожен поворот, який поєднує тетраедр із собою деяким чином переставляє його вершини і, отже, задає деяку підстановку множини (1,2, 3, 4) Повороти навколо осі, що проходить через деяку вершину (наприклад 1), залишає символ 1 на місці та циклічно переставляє символи 1, 2, 3. Усі такі перестановки – парні. Поворот навколо осі, що з'єднує середини ребер (наприклад, 12 і 34) переставляє символи 1 і 2 і 3 і 4. Такі перестановки також є парними.

4. Формула визначає взаємно однозначну відповідність між безліччю R речових чисел і безліччю позитивних чисел. При цьому . Це означає, що є ізоморфізм.

Зауваження. В абстрактній алгебрі ізоморфні групи прийнято вважати однаковими. По суті це означає, що ігноруються індивідуальні властивості елементів групи та походження операції алгебри.

5. Концепція підгрупи.

Непорожня підмножина називається підгрупоюякщо саме є групою. Докладніше це означає, що , і .

Ознака підгрупи.

Непорожня підмножина буде підгрупою тоді і лише тоді, коли .

Доведення.

В один бік це твердження очевидне. Нехай тепер – будь-який елемент. Візьмемо за ознакою підгрупи. Тоді отримаємо . Тепер візьмемо . Тоді отримаємо .

Приклади підгруп.

1. Для груп перетворень нове та старе поняття підгрупи рівносильні між собою.

2. - підгрупа парних підстановок.

5. Нехай G – будь-яка група та – будь-який фіксований елемент. Розглянемо безліч всіляких ступенів цього елемента. Оскільки , Розглянута множина є підгрупою. Вона називається циклічною підгрупою з утворюючим елементом g.

6. Нехай будь-яка підгрупа Розглянемо безліч - централізатор підгрупи H у групі G. З визначення випливає, що якщо , тобто . Тепер ясно, що якщо , то й і отже централізатор є підгрупою. Якщо група G комутативна, то . Якщо G=H, то централізатор складається з тих елементів, які перестановки з усіма елементами групи; у цьому випадку він називається центром групи G та позначається Z(G).

Зауваження про адитивну форму запису групи.

Іноді, особливо коли операція групи коммутативна, вона позначається (+) і називається додаванням. І тут нейтральний елемент називається нулем і задовольняє умові: g+0=g. Зворотний елемент у разі називається протилежним і позначається (-g). Ступені елемента g мають вигляд g+g+ .+g називаються кратними елемента g і позначаються ng.

А

Довжина ряду підгруп- Число nу визначенні ряду підгруп.

Е

Природний гомоморфізмна факторгрупу за нормальною підгрупою H- це гомоморфізм, що ставить у відповідність кожному елементу aгрупи суміжний клас aH. Ядром цього гомоморфізму є підгрупа H .

І

Звичайнопороджена група- Група, що володіє кінцевою системою утворюють.

Кручення, Tor G, комутативної або нільпотентної групи Gє підгрупа всіх елементів кінцевого порядку.

Л

Локальна властивістьгрупи G. Кажуть, що гурт Gмає локальну властивість Pякщо будь-яка звичайно породжена підгрупа з Gмає цю властивість. Прикладами можуть бути локальна кінцівка, локальна нильпотентность.

Локальна теорема. Кажуть, що для певної якості Pгруп справедлива локальна теорема, якщо будь-яка група, локально володіє цією властивістю, Сама володіє ним.

Наприклад: локально абелева група є абелевою, але локально кінцева група може бути нескінченною.

М

Метабелєва група― група, другий комутант якої тривіальний (розв'язана щаблі 2).

Метациклічна група― група, що володіє циклічною нормальною підгрупою, факторгрупа за якою також циклічна. Будь-яка кінцева група, порядокЯкий вільний від квадратів (тобто не ділиться на квадрат якогось числа), є метациклічною.

Мультиплікативна групатіла - група, елементами якої є всі ненульові елементи даного тіла, а операція збігається з операцією множення в тілі.

Н

Холлова підгрупа- підгрупа, порядок якої взаємно простий із її індексом у всій групі.

Ц

Центр групи Gзазвичай позначається Z(G), визначається як

Z(G) = { | gh = hgдля будь-якого),

інакше кажучи, це максимальна підгрупа елементів, що комутують з кожним елементом G.