Властивості центрованої випадкової величини. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Коваріація та коефіцієнт кореляції. Перетворення випадкових величин
Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називають суму творів її всіх можливих значеньна їх ймовірності
Зауваження.З визначення слідує, що математичне очікування дискретної випадкової величини є невипадковою (постійною) величиною.
Математичне очікування безперервної випадкової величини можна обчислити за формулою
M(X) = 
.
Математичне очікування приблизно дорівнює(Тим точніше, чим більше число випробувань) середнього арифметичного значень випадкової величини, що спостерігаються.
Властивості математичного очікування.
Властивість 1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій:
Властивість 2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
Властивість 3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:
M(XY) = M(X) * M(Y).
Властивість 4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
12.1. Дисперсія випадкової величини та її властивості.
Насправді часто потрібно з'ясувати розсіяння випадкової величини навколо її середнього значення. Наприклад, в артилерії важливо знати, наскільки купно ляжуть снаряди поблизу мети, яка має бути вражена.
На перший погляд може здатися, що для оцінки розсіювання найпростіше обчислити всі можливі значення відхилення випадкової величини і потім знайти їхнє середнє значення. Однак такий шлях нічого не дасть, тому що середнє значення відхилення, тобто M, для будь-якої випадкової величини дорівнює нулю.
Тому найчастіше йдуть іншим шляхом – використовують для обчислення дисперсію.
Дисперсією(розсіянням) випадкової величини називають математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:
D(X) = M 2 .
Для обчислення дисперсії часто буває зручно користуватися наступною теоремою.
Теорема. Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини X та квадратом її математичного очікування.
D(X) = M(X 2) - 2 .
Властивості дисперсії.
Властивість 1. Дисперсія постійної величиниCдорівнює нулю:
Властивість 2. Постійний множник можна зводити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:
D(CX) =C 2 D(X).
Властивість 3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:
D(X+Y) = D(X) + D(Y).
Властивість 4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:
D(X-Y) = D(X) + D(Y).
13.1. Нормовані випадкові величини.
має дисперсію рівну 1 і математичне очікування 0.
Нормована випадкова величина V – це відношення даної випадкової величини X до її середнього квадратичного відхилення σ
Середнє квадратичне відхилення– це квадратний корінь із дисперсії
Математичне очікування і дисперсія нормованої випадкової величини виражаються через характеристики X так:
де v - Коефіцієнт варіації вихідної випадкової величини X.
Для функції розподілу F V (x) та щільності розподілу f V (x) маємо:
F V (x) = F (σx), f V (x) = f (σx),
де F(x)- Функція розподілу вихідної випадкової величини Х, а f(x)- Її щільність імовірності.
Як числові характеристики системи випадкового двовимірного вектора (X,Y) зазвичай розглядаються початкові і центральні моменти різних порядків.
Початковим моментом порядку k+sСистема двох випадкових величин (X,Y) або двовимірного випадкового вектора називається математичне очікування твору X k на Y s
a k , s = M (1)
Центральним моментом порядку k+sСистема двох випадкових величин (X,Y) називається математичне очікування твору на
де , - Центровані випадкові величини.
Центрованоювипадковою величиною називається відхилення випадкової величини від її математичного очікування.
Для системи дискретних випадкових величин (X, Y) отримаємо
P (X = x i, Y = y j) = p ij
Для системи безперервних випадкових величин (X, Y)
Порядкомпочаткового (або центрального моменту) називається сума індексів k+s.
Початкові моменти першого порядку:
a 1,0 = M = M [X] = m x , a 1,0 = m x
a 0,1 = M = my, a 0,1 = my (7)
являють собою математичні очікування випадкових величин X та Y.
Центральні моменти першого порядку природно дорівнюють нулю.
Початкові моменти другого порядку:
Центральні моменти другого порядку:
Перші два моменти представляють дисперсію, а третій називається підступом(або кореляційним моментом) випадкових величин (X,Y), позначається K xy:
За визначенням коваріації
K xy = K yx (11)
тобто. при зміні індексів подекуди коваріація не змінюється.
Дисперсію випадкових величин можна як окремий випадокпідступності:
тобто. дисперсія випадкових величин є не що інше, як "ковариація її із самою собою". (Для незалежних випадкових величин коваріація дорівнює 0. Довести самостійно).
Коваріацію K xy зручно виражати через початкові моменти нижчих порядків:
K xy =a 1,1 -a 1,0 ×a 0,1 або До xy =M-M[X]×M[Y] (13)
Корисно запам'ятати цю формулу: коваріація двох випадкових величин дорівнює математичному очікуванню їхнього твору мінус добуток математичних очікувань.
Коваріація характеризує як ступінь залежності випадкових величин, але й їх розсіювання навколо точки (m x ,m y).
Розмірність коваріації дорівнює добутку розмірностей випадкових величин X і Y. Щоб одержати безрозмірну величину, що характеризує лише залежність, коваріацію ділять на твір п.к.о. s x s y .
r xy = K xy / s x s y (14)
Величина r xy називається коефіцієнтом кореляціївипадкових величин X і Y. Цей коефіцієнт характеризує ступінь лише лінійноїзалежність цих величин. Залежність у тому, що з зростанні однієї випадкової величини інша виявляє тенденцію також зростати (чи зменшуватися). У першому випадку r xy >0 і кажуть, що випадкові величини X та Y пов'язані позитивною кореляцією, у другому r xy<0, и корреляция отрицательна.
Для будь-яких випадкових величин X та Y
Якщо коваріація двох випадкових величин дорівнює нулю: K xy = 0, то випадкові величини X та Y називаються некорельованимиякщо K xy ¹0, то корельованими.
З незалежності випадкових величин випливає їхня некорельованість; Проте з некорелюваності випадкових величин (r xy =0) ще випливає їх незалежність. Якщо r xy = 0, це означає лише відсутність лінійного зв'язкуміж випадковими величинами; будь-який інший вид зв'язку може бути присутнім.
Перетворення випадкових величин
За кожною випадковою величиною Хвизначають ще три величини – центровану Yнормовану Vта наведену U. Центрована випадкова величина Y- це різниця між даною випадковою величиною Хта її математичним очікуванням М(Х),тобто. Y = Х - М (Х).Математичне очікування центрованої випадкової величини Yдорівнює 0, а дисперсія - дисперсії даної випадкової величини: М(Y) = 0, D(Y) = D(X). Функція розподілу F Y(x) центрованої випадкової величини Yпов'язана з функцією розподілу F(x) вихідної випадкової величини Xспіввідношенням:
F Y(x) = F(x + M(X)).
Для щільностей цих випадкових величин справедлива рівність
f Y(x) = f(x + M(X)).
Нормована випадкова величина V- Це відношення даної випадкової величини Хдо її середнього квадратичного відхилення, тобто. . Математичне очікування та дисперсія нормованої випадкової величини Vвиражаються через характеристики Хтак:
,
де v- Коефіцієнт варіації вихідної випадкової величини Х. Для функції розподілу F V(x) та щільності f V(x) нормованої випадкової величини Vмаємо:
де F(x) - Функція розподілу вихідної випадкової величини Х, а f(x) - Її щільність імовірності.
Наведена випадкова величина U- Це центрована і нормована випадкова величина:
.
Для наведеної випадкової величини
Нормовані, центровані та наведені випадкові величини постійно використовуються як у теоретичних дослідженнях, так і в алгоритмах, програмних продуктах, нормативно-технічній та інструктивно-методичній документації. Зокрема, тому, що рівності 
дозволяють спростити обґрунтування методів, формулювання теорем та розрахункові формули.
Використовуються перетворення випадкових величин та більш загального плану. Так, якщо Y = aX + b, де aі b- Деякі числа, то
Приклад 7.Якщо то Y– наведена випадкова величина і формули (8) переходять у формули (7).
З кожною випадковою величиною Хможна пов'язати безліч випадкових величин Y, заданих формулою Y = aX + bпри різних a> 0 та b. Це безліч називають масштабно-зсувним сімейством, породженим випадковою величиною Х. Функції розподілу F Y(x) складають масштабно зсувне сімейство розподілів, породжене функцією розподілу F(x). Замість Y = aX + bчасто використовують запис
Число зназивають параметром зсуву, а число d- Параметром масштабу. Формула (9) показує, що Х– результат виміру деякої величини – переходить у У– результат виміру тієї ж величини, якщо початок виміру перенести до точки з, а потім використовувати нову одиницю вимірювання, dразів більшу за стару.
Для масштабно-зсувної родини (9) розподіл Х називають стандартним. У імовірнісно-статистичних методах прийняття рішень та інших прикладних дослідженнях використовують стандартний нормальний розподіл, стандартний розподіл Вейбулла-Гніденко, стандартний гамма-розподіл та ін. (Див. нижче).
Застосовують інші перетворення випадкових величин. Наприклад, для позитивної випадкової величини Хрозглядають Y= lg Xде lg X– десятковий логарифм числа Х. Ланцюжок рівностей
FY(x) = P( lg X< x) = P(X < 10x) = F( 10x)
пов'язує функції розподілу Хі Y.
Повною характеристикою випадкової величини закон розподілу. Насправді така характеристика який завжди може бути отримана через обмеженість експериментальних результатів. У цих випадках замість законів розподілу використовують наближений опис випадкових величин, що виходить за допомогою мінімальної кількості невипадкових характеристик. Кількість цих характеристик має бути невеликою, але повинна відображати найбільш суттєві особливості розподілу:
· Математичне очікування випадкової величини;
· Дисперсія (момент нульового порядку, 1-го).
Найпростішою числовою характеристикою дискретної випадкової величини Х – середнє значення: де - середнє значення випадкової величини; N - Число випробувань; - Значення випадкової величини, яке воно приймає при N випробувань.
Для характеристики розкиду значень дискретної випадкової величини у цій серії дослідів використовується квадрат різниці між значеннями випадково величини та її середнім значенням: , де - статистична дисперсія випадково величини Х. При практичних розрахунках замість дисперсії застосовується середньоквадратичне відхилення: , що менше , тим більше групуються значення випадкової величини біля її середнього значення.
Якщо результати експериментів характеризуються однією випадковою величиною, а кількома, то крім розглянутих характеристик вводяться величини, що характеризують ступінь залежності між цими випадковими величинами. В якості такої характеристики, наприклад для 2-х випадкових величин х і у даної серії дослідів прийнята величина: . Рівність (4) статичним кореляційним моментом. При збільшенні дослідів значення частоти появи цієї події буде наближатися до ймовірності. А середнє арифметичне значення прагне її математичного очікування : , де ймовірність появи значення . Таким чином, математичним очікуванням дискретної випадкової величини Х називається сума творів всіх її можливих значень х на ймовірність появи цих значень. , Дисперсія випадкової величини називається її математичне очікування квадрата відхилення від цієї величини від її математичного очікування. де центрована випадкова величина, , . Кореляційний момент: де - це ймовірність того, що випадкова величина х, уприймуть значення x i , y i, .
Для безперервних випадкових величин математичне очікування, дисперсія та кореляційний момент визначаються через густину: .
Для незалежних випадкових величин: тоді , . Відповідно (9) для незалежних випадкових величин тому, якщо двох випадкових величин відмінний від 0, це вказує на наявність залежності між цими випадковими. Випадкові величини для яких називаються випадковими некореляційними величинами. характеризує як залежність величин, а й їх розсіювання. Якщо, наприклад, одна з величин Х або У мало відхиляється від свого математичного очікування, то кореляційний момент буде малий якою б залежністю ці величини чоловіка собою не мали.
Для усунення цього недоліку вводиться безрозмірна характеристика, що називається коефіцієнтом кореляції: . Якщо користуватися механічною інтерпретацією, то абсцису можна як центр тяжкості фігури, а дисперсію як інерції плоскої фігури.