Середня квадратична швидкість молекул. Молекулярно-кінетичне тлумачення абсолютної температури. Презентація до уроку "Ідеальний газ у молекулярно-кінетичній теорії (МКТ). Середнє значення квадрата швидкості молекул" Середнє значення квадрата швидкості п

Нас цікавитиме середній квадрат проекції швидкості. Він знаходиться так само, як квадрат модуля швидкості (див. вираз (4.1.2)):

Швидкості молекул набувають безперервного ряду значень. Визначити точні значення швидкостей та обчислити середнє значення (статистичне середнє) за допомогою формули (4.3.2) практично неможливо. Визначимо трохи інакше, більш реалістично. Позначимо через п 1 число молекул в обсязі 1 см 3 мають проекції швидкостей, близькі до v 1х ; через п 2 - число молекул у тому ж обсязі, але зі швидкостями, близькими до v kx , і т. д.* Число молекул зі швидкостями, близькими до максимальної v kx , позначимо через n k (швидкість v k x може бути як завгодно велика). При цьому має виконуватися умова: п 1 + п 2 + ... + n i + ... + n k = п,де п -Концентрація молекул. Тоді для середнього значення квадрата проекції швидкості замість формули (4.3.2) можна написати таку еквівалентну формулу:

* Про те, як ці числа можуть бути визначені, буде розказано у §4.6.

Бо напрямок X нічим не відрізняється від напрямків Yі Z (знову-таки через хаос у русі молекул), справедливі рівності:

(4.3.4)

Для кожної молекули квадрат швидкості дорівнює:

Значення середнього квадрата швидкості, яке визначається так само, як середній квадрат проекції швидкості (див. формули (4.3.2) і (4.3.3)), дорівнює сумі середніх квадратів її проекцій:

(4.3.5)

З виразів (4.3.4) та (4.3.5) випливає, що

(4.3.6)

тобто середній квадрат проекції швидкості дорівнює середнього квадрата самої швидкості. Множник з'являється внаслідок тривимірності простору і, отже, існування трьох проекцій у будь-якого вектора.

Швидкості молекул безладно змінюються, але середнє значення проекцій швидкості на будь-який напрямок та середній квадрат швидкості- Цілком певні величини.

§ 4.4. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії

Обчислимо за допомогою молекулярно-кінетичної теорії тиск газу. На основі виконаних розрахунків можна буде зробити дуже важливий висновок про зв'язок температури газу із середньою кінетичною енергією молекул.

Нехай газ знаходиться у прямокутній посудині з твердими стінками. Газ і посудина мають однакові температури, тобто перебувають у стані теплової рівноваги. Вважатимемо зіткнення молекул зі стінами абсолютно пружними. За цієї умови кінетична енергія молекул у результаті зіткнення не змінюється.

Вимога того, щоб зіткнення були абсолютно пружними, не є обов'язковим. Насправді воно і не реалізується. Молекули можуть відбиватися від стінки під різними кутами та зі швидкостями, не рівними по модулю швидкостей до зіткнення. Але в середньому кінетична енергія відбитих стінкою молекул дорівнюватиме кінетичній енергії падаючих молекул, якщо тільки існує теплова рівновага. Результати розрахунку залежить від детальної картини зіткнень молекул зі стінкою. Тому цілком допустимо вважати зіткнення молекул подібними до зіткнень пружних куль з абсолютно гладкою твердою стінкою.

Обчислимо тиск газу на стінку судини CD, має площу S і розташовану перпендикулярно до осі X (Рис. 4.3).

Запишемо рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва-Клайпейрона) у вигляді

де R - універсальна постійна газова R = 8,31×10 3 .

В одному кіломолі будь-якої речовини знаходиться те саме кількість молекул, що дорівнює числу Авогадро N A = 6,023×10 23 моль -1 .

Об'єм одного кіломолю ідеального газу за нормальних умов

V км = 22,4 м3/кмоль.

Часто використовується ще одна фізична константа - постійна Больцмана k=R/N A =1.38×10 -23 Дж/К. Для одного кіломолю ідеального газу можна записати

і . (11.48)

Звідки слід

Або , , (11.49)

де – середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули газу. Абсолютна температура T лише постійним множником відрізняється від .

З погляду молекулярно-кінетичної теоріїабсолютна температура є величина, пропорційна середній енергії поступального руху молекули.

=3/2kT. (k-постійна Больцмана k=R/N A =1.38×10 -23 Дж/К. )

Абсолютний нуль (-273,15 0С) - температура, коли він поступальний рух молекул ідеального газу завмирає.

Середня квадратична швидкість молекул- середнє квадратичне значення модулів швидкостей всіх молекул аналізованої кількості газу

, де- Маса однієї молекули, - Молярна маса (маса одного молячи речовини).

Число ступенів свободи. Принцип рівнорозподілу енергії за ступенями свободи. Внутрішня енергія ідеального газу.

Рис. 9.4

Числом ступенів свободиназивається число незалежних координат, якими описується рух тіла у просторі. Матеріальна точка має три ступені свободи, оскільки при її русі у просторі змінюються три координати: x, y, z. Система з двох матеріальних точок, відстань між якими залишається постійною, має п'ять ступенів свободи: три з них припадає на поступальний рух і два – на обертальний (рис. 9.4) навколо осей x та z. Обертання навколо осі y не дає додаткового ступеня свободи, тому що при цьому положення матеріальних точок у просторі не змінюється.

Середня кінетична енергія поступального руху молекули дорівнює – формула (8.12) (к – постійна Больцмана, Т – температура). Цей рух можна розглядати як рух із трьома ступенями свободи, оскільки молекули ідеального газу можна прийняти як матеріальні точки. Всі три ступені свободи рівноправні, тому можна вважати, що на один рівень свободи припадає енергія

Підрахуємо тепер внутрішню енергію (U)одного кіломолю ідеального газу. Ця енергія можна знайти множенням середньої енергії однієї молекули з їхньої число, тобто. на число Авогадро:

З (9.10) видно, що внутрішня енергія ідеального газу повністю визначається його температурою. Через відсутність взаємодії між молекулами ідеального газу внутрішня енергія залежить від кількості частинок, температури і залежить від обсягу (закон Джоуля).

Визначте хімічний елемент. Уважно прочитайте умову задачі 1. Знайдіть її у таблиці Менделєєва 2.. Визначте молярну масу даної речовини (М) 3. Розрахуйте число молекул N = (m/М) · N А 4.. Визначте масу молекули m = m 0 ·N 5 Оцініть результати. Зробіть висновок розмірах молекул. 6. Алгоритм вирішення типового завдання

Ударів об стінку судини багато, але маси молекул дуже малі." Молекул газу багато => ударів об стінку судини багато, але мас молекул дуже малі." class="link_thumb"> 8 !}Тиск газу МКТ р,Па р 0 0 t,с Чому середнє значення тиску газу р 0 у закритій посудині практично залишається незмінним? Зробіть висновок: Молекул газу багато => ударів об стінку судини багато, але мас молекул дуже малі. ударів об стінку судини багато, але маси молекул дуже малі."> ударів об стінку судини багато, але маси молекул дуже малі."> ударів об стінку судини багато, але маси молекул дуже малі." title="(!LANG:Тиск газу у МКТ р,Па р 0 0 t,с Чому середнє значення тиску газу р 0 у закритій посудині практично залишається незмінним?"> title="Тиск газу МКТ р,Па р 0 0 t,с Чому середнє значення тиску газу р 0 у закритій посудині практично залишається незмінним? Зробіть висновок: Молекул газу багато => ударів об стінку судини багато, але мас молекул дуже малі."> !}

14 Презентація до уроку. Автор: Підсосонна Оксана Вікторівна () Фізика.10. учитель фізики вищої кваліфікаційної категорії МКОУ «Вечірня (змінна) загальноосвітня школа 2 при виправній колонії» с. Чугуївка Чугуївського району Приморського краю

Поставимо перед собою завдання: користуючись спрощеними уявленнями про рух та взаємодію газових молекул, виразити тиск газу через величини, що характеризують молекулу.

Розглянемо газ, укладений у сферичному обсязі з радіусом і обсягом Відволікаючись від зіткнень газових молекул, ми маємо право прийняти таку просту схему руху кожної молекули.

Молекула рухається прямолінійно і рівномірно з деякою швидкістю вдаряється об стінку судини і відскакує від неї під кутом, що дорівнює куту падіння (рис. 83). Проходячи весь час хорди однакової довжини, молекула наносить стінці судини ударів за 1 с. При кожному ударі імпульс молекули змінюється (див. стор. 57). Зміна імпульсу за 1 с буде рівна

Ми бачимо, що кут падіння скоротився. Якщо молекула падає на стінку під гострим кутом, удари будуть часті, але слабкі; при падінні під кутом, близьким до 90°, молекула наноситиме стінці удари рідше, зате сильніше.

Зміна імпульсу при кожному ударі молекули об стінку дає внесок у загальну силу тиску газу. Можна прийняти відповідно до основного закону механіки, що сила тиску є не що

інше як зміна імпульсу всіх молекул, що відбувається за одну секунду: або, виносячи постійний член за дужки,

Нехай у газі міститься молекул, тоді можна ввести до розгляду середній квадрат швидкості молекули, що визначається формулою

Вираз для сили тиску запишеться тепер коротко:

Тиск газу ми отримаємо, розділивши вираз сили на площу сфери.

Замінюючи на отримаємо таку цікаву формулу:

Отже, тиск газу пропорційно числу молекул газу та середньому значенню кінетичної енергії поступального руху молекули газу.

До найважливішого висновку ми приходимо, порівнюючи отримане рівняння з рівнянням газового стану. Зіставлення правих частин рівностей показує, що

тобто середня кінетична енергія поступального руху молекул залежить тільки від абсолютної температури і до того ж прямо пропорційна їй.

Зроблений висновок показує, що гази, що підпорядковуються закону газового стану, є ідеальними в тому сенсі, що наближаються до ідеальної моделі зборів частинок, взаємодія яких не є суттєвою. Далі цей висновок показує, що введене емпіричним шляхом поняття абсолютної температури як величини, пропорційної тиску розрідженого газу, має простий молекулярно-кінетичний зміст. Абсолютна температура пропорційна кінетичній енергії поступального руху молекул. є число Авогадро - число молекул в одній грам-молекулі, воно є універсальною постійною: Зворотна величина дорівнюватиме масі атома водню:

Універсальною є також величина

Вона називається постійною Больцмана Тоді

Якщо уявити квадрат швидкості через суму квадратів складових, очевидно, на будь-яку складову прийдеться в середньому енергія

Цю величину називають енергією, що припадає на один ступінь свободи.

Універсальна газова стала добре відома з дослідів з газами. Визначення числа Авогадро або постійної Больцмана (що виражаються один через одного) є відносно складним завданням, що вимагає проведення тонких вимірів.

Виконаний висновок дає в наше розпорядження корисні формули, що дозволяють обчислювати середні швидкості молекул і число молекул в одиниці об'єму.

Так, для середнього квадрата швидкості отримаємо

« Фізика – 10 клас»

Згадайте, що таке фізична модель.
Чи можна визначити швидкість однієї молекули?

Ідеальний газ.

У газу при звичайних тисках відстань між молекулами значно перевищує їх розміри. У цьому випадку сили взаємодії молекул зневажливо малі і кінетична енергія молекул набагато більша за потенційну енергію взаємодії. Молекули газу можна як матеріальні точки чи дуже маленькі тверді кульки. Замість реального газу, між молекулами якого діють сили взаємодії, ми розглядатимемо його модель - ідеальний газ.

Ідеальний газ- це теоретична модель газу, у якій враховуються розміри молекул (вони вважаються матеріальними точками) та його взаємодія між собою (крім випадків безпосереднього зіткнення).

Звичайно, при зіткненні молекул ідеального газу на них діє сила відштовхування. Так як молекули газу ми можемо згідно з моделлю вважати матеріальними точками, то розмірами молекул ми нехтуємо, вважаючи, що обсяг, який вони займають, набагато менше обсягу судини.

У фізичної моделі беруть до уваги ті властивості реальної системи, облік яких необхідний пояснення досліджуваних закономірностей поведінки цієї системи.

Жодна модель не може передати всі властивості системи. Зараз ми маємо вирішити завдання: обчислити за допомогою молекулярно-кінетичної теорії тиск ідеального газу на стінки судини. Для цього завдання модель ідеального газу виявляється цілком задовільною. Вона призводить до результатів, що підтверджуються досвідом.

Тиск газу молекулярно-кінетичної теорії.

Нехай газ знаходиться у закритій посудині. Манометр показує тиск газу р0. Як виникає цей тиск?

Кожна молекула газу, ударяючись об стінку, протягом малого проміжку часу діє неї з деякою силою. Внаслідок безладних ударів об стінку тиск швидко змінюється згодом приблизно так, як показано на малюнку 9.1. Проте дії, викликані ударами окремих молекул, настільки слабкі, що манометром де вони реєструються. Манометр фіксує середню за часом силу, що діє кожну одиницю площі поверхні його чутливого елемента - мембрани. Незважаючи на невеликі зміни тиску, середнє значення тиску р 0 практично виявляється певною величиною, так як ударів об стінку дуже багато, а маси молекул дуже малі.

Середній тиск має певне значення як у газі, так і в рідині. Але завжди відбуваються незначні випадкові відхилення від цього середнього значення. Чим менше площа поверхні тіла, тим помітнішими є відносні зміни сили тиску, що діє на дану площу. Так, наприклад, якщо ділянка поверхні тіла має розмір порядку декількох діаметрів молекули, то сила тиску, що діє на неї, змінюється стрибкоподібно від нуля до деякого значення при попаданні молекули на цю ділянку.

Середнє значення квадрата швидкості молекул.

Для обчислення середнього тиску слід знати значення середньої швидкості молекул (точніше, середнє значення квадрата швидкості). Це не просте питання. Ви звикли до того, що швидкість має кожна частка. Середня ж швидкість молекул залежить від цього, які швидкості руху всіх молекул.

Чим відрізняється визначення середньої швидкості тіла у механіці від визначення середньої швидкості молекул газу?

З початку потрібно відмовитися від спроб простежити за рухом всіх молекул, у тому числі складається газ. Їх дуже багато, і рухаються вони дуже складно. Нам не потрібно знати, як рухається кожна молекула. Ми повинні з'ясувати, який результат призводить до руху всіх молекул газу.

Характер руху всієї сукупності молекул газу відомий досвіду. Молекули беруть участь у безладному (тепловому) русі. Це означає, що швидкість будь-якої молекули може виявитися як дуже великою, так і дуже малою. Напрямок руху молекул постійно змінюється при їх зіткненнях один з одним.

Швидкості окремих молекул можуть бути будь-якими, проте середнє значення модуля цих швидкостей є цілком визначеним.

Надалі нам знадобиться середнє значення не самої швидкості, а квадрата швидкості – середня квадратична швидкість. Від цієї величини залежить середня кінетична енергія молекул. А середня кінетична енергія молекул, як ми незабаром переконаємось, має дуже велике значення у всій молекулярно-кінетичній теорії. Позначимо модулі швидкостей окремих молекул газу через 1, 2, 3, ..., N. Середнє значення квадрата швидкості визначається такою формулою:

де N – число молекул у газі.

Але квадрат модуля будь-якого вектора дорівнює сумі квадратів його проекцій на осі координат OX, OY, OZ.

З курсу механіки відомо що при русі на площині 2 = 2 x + 2 y . У випадку, коли тіло рухається у просторі, квадрат швидкості дорівнює:

υ 2 = υ 2 x + υ 2 y + υ 2 z. (9.2)

Середні значення величин υ 2 x , υ 2 y і υ 2 z можна визначити за допомогою формул, подібних до формули (9.1). Між середнім значенням та середніми значеннями квадратів проекцій існує таке саме співвідношення, як співвідношення (9.2):

Справді, кожної молекули справедливо рівність (9.2). Склавши такі рівні для окремих молекул і розділивши обидві частини отриманого рівняння на число молекул N, ми прийдемо до формули (9.3).

>Увага! Оскільки напрямки трьох осей OX, OY і OZ внаслідок безладного руху молекул рівноправні, середні значення квадратів проекцій швидкості рівні один одному:

Враховуючи співвідношення (9.4), підставимо формулу (9.3) замість і . Тоді для середнього квадрата проекції швидкості на вісь ОХ отримаємо

тобто середній квадрат проекції швидкості дорівнює середнього квадрата самої швидкості. Множник з'являється внаслідок тривимірності простору і існування трьох проекцій у будь-якого вектора.

Швидкості молекул безладно змінюються, але середній квадрат швидкості є цілком певною величиною.