Ознаки збіжності рядів – приклади рішення. Числові ряди. Достатні ознаки їхньої збіжності

мала. Оскільки при font-size:14.0pt">~ (див. ), то ~ .

Враховуючи це, отримаємо:

отже, ряд розходиться.

Г) font-size:14.0pt">,

отже, ряд розходиться.

Умова є необхідним,але не достатнімумовою збіжності ряду: існує безліч рядів, для яких, але які тим не менш розходяться.

приклад 3.Дослідити збіжність ряду font-size:14.0pt"> Рішення.Зауважимо, що https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , Т. е. необхідну умову збіжності виконано. Часткова сума

left">

– раз

тому font-size:14.0pt">, а це означає, що ряд розходиться за визначенням.

Достатні ознаки збіжності знакопозитивних рядів

Нехай. Тоді рядfont-size:14.0pt"> Ознака порівняння

Нехай та – знакопозитивні ряди. Якщо всім виконується нерівність , то зі збіжності ряду випливає збіжність ряду , та якщо з розбіжності ряду width = "55"

Ця ознака залишається в силі, якщо нерівність, а лише починаючи з деякого номера . Його можна проінтерпретувати наступним чином: якщо більший ряд сходиться, то менший тим більше сходиться, якщо менший ряд розходиться, то більший також розходиться.

приклад 4.Дослідити збіжність ряду 0 style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Рішення.

А) Зауважимо, що для всіх . Ряд із спільним членом

Б) Порівняємо ряд з рядом ..gif width = "91" height = "29 src = ">. розходиться, отже, цей ряд також розходиться.

Незважаючи на простоту формулювання ознаки порівняння, на практиці зручніша наступна теорема, що є його наслідком.

Гранична ознака порівняння

Нехай https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> - знакопозитивні ряди. Якщо існує кінцевийі не рівний нулюмежа , то обидва ряди і

одночасно сходяться або одночасно розходяться.

Як ряд, що використовується для порівняння з даними, часто вибирають ряд видів . Такий ряд називається поряд Діріхле. У прикладах 3 і 4 було показано, що ряд Діріхле з і розходиться. Можна поки-

зати, що ряд font-size:14.0pt"> .

Якщо , то ряд називається гармонійним. Гармонійний ряд розходиться.

Приклад 5.Дослідити на збіжність рядза допомогою граничної ознаки порівняння, якщо

Рішення.а) Так як при досить великих http://www.pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif"

~ , то ~ font-size:14.0pt">порівняння з цим гармонійний ряд font-size:14.0pt">, тобто .

Оскільки межа кінцева і відмінна від нуля і гармонійний ряд розходиться, то розходиться і даний ряд.

Б) При досить великих width="111" width="119" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> – загальний член ряду, з яким будемо порівнювати даний:

Ряд сходиться ( ряд Діріхле з font-size:16.0pt">)тому цей ряд також сходиться.

в) тому нескінченно малу font-size:14.0pt">можна

замінити на еквівалентну їй за величину(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> при font-size: 20.0pt">). ;

;

;

г)

;

.

Ця стаття є структурованою і докладною інформацією, яка може стати в нагоді під час розбору вправ і завдань. Ми розглянемо тему числових рядів.

Ця стаття починається з основних визначень та понять. Далі ми стандартні варіанти та вивчимо основні формули. Для того, щоб закріпити матеріал, у статті наведено основні приклади та завдання.

Базові тези

Спочатку представимо систему: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . де a k ∈ R , k = 1 , 2 . . . .

Наприклад, візьмемо такі числа, як: 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , . . . .

Визначення 1

Числовий ряд – це сума членів ∑ ak k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + . . . + a n +. . . .

Щоб краще зрозуміти визначення, розглянемо випадок, у якому q = - 0 . 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Визначення 2

a k є загальним або k –имчленом низки.

Він виглядає приблизно таким чином - 16 · - 1 2 k.

Визначення 3

Часткова сума рядувиглядає приблизно таким чином Sn = a1+a2+. . . + a n , у якій n-Будь-яке число. S n є n-ийсумою низки.

Наприклад, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k є S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 .

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . утворюють нескінченну послідовність числового ряду.

Для ряду n-асуму знаходиться за формулою S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n . Використовуємо наступну послідовністьчасткових сум: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

Визначення 4

Ряд ∑ k = 1 ∞ a k є схожимтоді, коли послідовність має кінцеву межу S = lim S n n → + ∞ . Якщо межі немає або послідовність нескінченна, то ряд ∑ k = 1 ∞ a k називається розбіжним.

Визначення 5

Сумою ряду, що сходить∑ k = 1 ∞ a k є межа послідовності ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S .

У даному прикладі lim S n n → + ∞ = lim 16 3 т → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , ряд ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k сходиться. Сума дорівнює 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

Приклад 1

Як приклад розбіжного ряду можна навести суму геометричної прогресії зі знаменником більшим, ніж одиниця: 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

n -а часткова сума визначається виразом S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 1 · (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 , а межа часткових сум нескінченна: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Ще одним прикладом розбіжного числового ряду є сума виду ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + . . . . У цьому випадку n-а часткова сума може бути обчислена як Sn = 5n. Межа часткових сум нескінченна lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

Визначення 6

Сума такого виду як ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n +. . . – це гармонійнийчисловий ряд.

Визначення 7

Сума ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 ns + . . . , де s-дійсне число, є узагальнено гармонійним числовим рядом.

Визначення, розглянуті вище, допоможуть вам вирішити більшість прикладів і завдань.

Щоб доповнити визначення, необхідно довести певні рівняння.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – розбіжний.

Діємо методом від зворотного. Якщо він сходиться, то межа скінченна. Можна записати рівняння як lim n → + ∞ S n = S та lim n → + ∞ S 2 n = S . Після певних дій одержуємо рівність l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 .

Навпаки,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n

Справедливі такі нерівності 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Виходить, що S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Вираз S 2 n - S n > 1 2 свідчить про те, що lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 не досягається. Ряд розбіжний.

1. b1+b1q+b1q2+. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Необхідно підтвердити, що сума послідовності чисел сходить при q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Згідно з наведеними вище визначеннями, сума nчленів визначається згідно з формулою S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 .

Якщо q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Ми довели, що числовий ряд сходиться.

При q = 1 b 1 + b 1 + b 1 +. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Суми можна знайти з допомогою формули S n = b 1 · n , межа нескінченна lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ . У цьому варіанті ряд розходиться.

Якщо q = - 1ряд виглядає як b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (-1) k + 1 . Часткові суми виглядають як S n = b 1 для непарних n, і S n = 0 для парних n. Розглянувши цей випадок, ми переконаємося, що межі немає і ряд є розбіжним.

При q > 1 справедливо lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

Ми довели, що числовий ряд розходиться.

1. Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходиться, якщо s > 1і розходиться, якщо s ≤ 1 .

Для s = 1отримуємо ∑ k = 1 ∞ 1 k , ряд розходиться.

При s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,натурального числа. Оскільки ряд є розбіжним ∑ k = 1 ∞ 1 k , то межі немає. Дотримуючись цього, послідовність ∑ k = 1 ∞ 1 k s необмежена. Робимо висновок, що обраний ряд розходиться при s< 1 .

Необхідно надати докази, що ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходить при s > 1.

Представимо S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s = 1 ns + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Припустимо, що 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Представимо рівняння для чисел, які є натуральними та парними n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Отримуємо:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s +. . . + 1 15 s +. . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Вираз 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . - Це сума геометричної прогресії q = 1 2 s - 1 . Згідно з вихідними даними при s > 1, то 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1збільшується і обмежується зверху 11-12s-1. Уявімо, що є межа і ряд є ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Визначення 8

Ряд ∑ k = 1 ∞ a k позитивний у тому випадку, якщо його члени > 0 ak > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знак чергуєтьсяякщо знаки чисел відрізняються. Даний приклад представлений як ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (-1) k · a k або ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , де a k > 0 , k = 1, 2,. . . .

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакозмінний, тому що в ньому безліч чисел, негативних та позитивних.

Другий варіант ряд – це окремий випадоктретього варіанта.

Наведемо приклади для кожного випадку відповідно:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Для третього варіанта також можна визначити абсолютну та умовну збіжність.

Визначення 9

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно збігається в тому випадку, коли ∑ k = 1 ∞ b k також вважається схожим.

Докладно розберемо кілька характерних варіантів

Приклад 2

Якщо ряди 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . і 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . визначаються як схожі, то правильно вважати, що 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +. . .

Визначення 10

Знакозмінний ряд ∑ k = 1 ∞ b k вважається умовно схожим у тому випадку, якщо ∑ k = 1 ∞ b k – розбіжний, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k вважається схожим.

Приклад 3

Докладно розберемо варіант ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . . Ряд ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k , що складається з абсолютних величин, визначається як розбіжний. Цей варіант вважається таким, що сходить, так як це легко визначити. З цього прикладу ми дізнаємося, що ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + . . . буде вважатися умовно схожим.

Особливості рядів, що сходяться

Проаналізуємо властивості для певних випадків

1. Якщо ∑ k = 1 ∞ a k буде сходиться, то і ряд ∑ k = m + 1 ∞ a k також визнається таким, що сходить. Можна зазначити, що ряд без mчленів також вважається схожим. У випадку, якщо ми додаємо до ∑ k = m + 1 ∞ a k кілька чисел, то результат також буде схожим.
2. Якщо ∑ k = 1 ∞ a k сходиться і сума = S, то сходиться і ряд ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S , де A-Постійна.
3. Якщо ∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k є схожими, суми Aі Bтеж, те й ряди ∑ k = 1 ∞ a k + b k і ∑ k = 1 ∞ a k - b k також сходяться. Суми дорівнюватимуть A + Bі A - Bвідповідно.

Визначити, що ряд сходить ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 .

Змінимо вираз ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 вважається схожим, оскільки ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходить при s > 1. Відповідно до другої властивості, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

Приклад 5

Визначити, чи сходиться ряд ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 .

Перетворимо початковий варіант ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞.

Отримуємо суму ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 та ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Кожен ряд визнається таким, що сходить відповідно до властивості. Оскільки ряди сходяться, то вихідний варіант теж.

Приклад 6

Обчислити, чи сходиться ряд 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . та обчислити суму.

Розкладемо вихідний варіант:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Кожен ряд сходиться, оскільки є одним із членів числової послідовності. Відповідно до третього властивості, ми можемо обчислити, що вихідний варіант також є схожим. Обчислюємо суму: Перший член ряду ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, а знаменник = 0 . 5 , за цим слідує, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Перший член ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , а знаменник спадної числової послідовності = 1 3 . Отримуємо: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

Використовуємо вирази, одержані вище, для того, щоб визначити суму 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 · 9 2 = - 7

Необхідна умова для визначення, чи є ряд схожим

Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ ak є схожим, то межа його k-огочлена = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Якщо ми перевіримо будь-який варіант, потрібно не забувати про неодмінну умову. Якщо воно не виконується, ряд розходиться. Якщо lim k → + ∞ a k ≠ 0 , ряд розбіжний.

Слід уточнити, що умова важлива, але не достатньо. Якщо рівність lim k → + ∞ a k = 0 виконується, це не гарантує, що ∑ k = 1 ∞ a k є схожим.

Наведемо приклад. Для гармонійного ряду ∑ k = 1 ∞ 1 k умова виконується lim k → + ∞ 1 k = 0 , але ряд все одно розходиться.

Приклад 7

Визначити збіжність ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n .

Перевіримо вихідний вираз виконання умови lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Межа n-огочлена не дорівнює 0 . Ми довели, що цей ряд розходиться.

Як визначити збіжність знакопозитивного ряду.

Якщо постійно користуватись зазначеними ознаками, доведеться постійно обчислювати межі. Цей розділ допоможе уникнути складнощів під час вирішення прикладів та завдань. Щоб визначити збіжність знакопозитивного ряду, існує певна умова.

Для збіжності знакопозитивного ∑ k = 1 ∞ a k , ak > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . Необхідно визначати обмежену послідовність сум.

Як порівнювати ряди

Існує кілька ознак порівняння рядів. Ми порівнюємо ряд, збіжність якого пропонується визначити, із тим рядом, збіжність якого відома.

Перша ознака

∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні ряди. Нерівність a k ≤ b k справедлива для k = 1, 2, 3, ...З цього випливає, що з ряду ∑ k = 1 ∞ b k ми можемо отримати ∑ k = 1 ∞ a k . Оскільки ∑ k = 1 ∞ a k розходиться, ряд ∑ k = 1 ∞ b k можна визначити як розбіжний.

Це правило постійно використовується для вирішення рівнянь і є серйозним аргументом, який допоможе визначити збіжність. Складнощі можуть полягати в тому, що підібрати потрібний приклад для порівняння можна знайти далеко не в кожному випадку. Досить часто ряд вибирається за принципом, згідно з яким показник k-огочлена дорівнюватиме результату віднімання показників ступенів чисельника та знаменника k-огочлена низки. Припустимо, що a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 різниця дорівнюватиме 2 – 3 = - 1 . В даному випадку можна визначити, що для порівняння необхідний ряд k-имчленом b k = k - 1 = 1 k, який є гармонійним.

Щоб закріпити отриманий матеріал, детально розглянемо пару типових варіантів.

Приклад 8

Визначити, яким є ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 .

Оскільки межа = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 ми виконали необхідну умову. Нерівність буде справедливою 1 k< 1 k - 1 2 для k ,які є натуральними. З попередніх пунктів ми дізналися, що гармонійний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k – розбіжний. Згідно з першою ознакою, можна довести, що вихідний варіант є розбіжним.

Приклад 9

Визначити, чи є ряд схожим або розбіжним ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

У цьому прикладі виконується необхідна умова, оскільки lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 . Подаємо у вигляді нерівності 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. Ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 є схожим, оскільки гармонійний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k s сходиться при s > 1. Згідно з першою ознакою, ми можемо зробити висновок, що числовий ряд є схожим.

Приклад 10

Визначити, яким є ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) . lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

У цьому вся варіанті можна назвати виконання необхідної умови. Визначимо ряд порівняння. Наприклад, ∑ k = 1 ∞ 1 k s . Щоб визначити, чому дорівнює ступінь, розглянемо послідовність (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Члени послідовності ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5),. . . збільшується до безкінечності. Проаналізувавши рівняння, можна відзначити, що, взявши ролі значення N = 1619 , то члени послідовності > 2 . Для даної послідовності буде справедлива нерівність 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Друга ознака

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k та ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні числові ряди.

Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходиться, і ∑ k = 1 ∞ a k сходить також.

Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , оскільки ряд ∑ k = 1 ∞ b k розходиться, то ∑ k = 1 ∞ ak також розходиться.

Якщо lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ і lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 , то збіжність чи розбіжність ряду означає збіжність чи розбіжність іншого.

Розглянемо ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 за допомогою другої ознаки. Для порівняння ∑ k = 1 ∞ b k візьмемо ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 . Визначимо межу: lim k → + ∞ k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Згідно з другою ознакою можна визначити, що ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3, що сходить, означає, що початковий варіант також сходиться.

Приклад 11

Визначити, яким є ряд ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 .

Проаналізуємо необхідну умову lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 , яка в даному варіанті виконується. Відповідно до другої ознаки, візьмемо ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k . Шукаємо межу: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k →

Згідно з наведеними вище тезами, ряд, що розходиться, тягне собою розбіжність вихідного ряду.

Третя ознака

Розглянемо третю ознаку порівняння.

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k та _ ∑ k = 1 ∞ b k - знакопозитивні числові ряди. Якщо умова виконується для деякого номера a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k , то збіжність даного ряду ∑ k = 1 ∞ b k означає, що ряд ∑ k = 1 ∞ ak також є схожим. Розбіжний ряд ∑ k = 1 ∞ a k тягне за собою розбіжність ∑ k = 1 ∞ b k .

Ознака Даламбера

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k - знакопозитивний числовий ряд. Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1 то розбіжним.

Зауваження 1

Ознака Даламбера справедлива у тому випадку, якщо межа нескінченна.

Якщо lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , то ряд є схожим, якщо lim k → ∞ ak + 1 ak = + ∞ , то розбіжним.

Якщо lim k → + ∞ ak + 1 ak = 1 , то ознака Даламбера не допоможе і потрібно провести ще кілька досліджень.

Приклад 12

Визначити, чи є ряд схожим або розбіжним ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k за ознакою Даламбера.

Необхідно перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності. Обчислимо межу, скориставшись правилом Лопіталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Ми можемо побачити, що умова виконується. Скористаємося ознакою Даламбер: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2< 1

Ряд є схожим.

Приклад 13

Визначити, чи є ряд розбіжним ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Скористаємося ознакою Даламбера у тому, щоб визначити розбіжність ряду: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k! k k · (k + 1)! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Отже, ряд є розбіжним.

Радикальна ознака Коші

Допустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k – це знакопозитивний ряд. Якщо lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1 то розбіжним.

Зауваження 2

Якщо lim k → + ∞ ak k k = 1 , то ця ознакане дає жодної інформації – потрібне проведення додаткового аналізу.

Ця ознака може бути використана в прикладах, які легко визначити. Випадок буде характерним тоді, коли член числового ряду – це показово статечне вираз.

Щоб закріпити отриману інформацію, розглянемо кілька характерних прикладів.

Приклад 14

Визначити, чи є позитивний ряд ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k на схожому.

Потрібна умова вважається виконаною, оскільки lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Згідно з ознакою, розглянутою вище, отримуємо lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

Приклад 15

Чи схожий числовий ряд ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 .

Використовуємо ознаку, описану в попередньому пункті lim k → + ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 k = 1 3 · lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Інтегральна ознака Коші

Припустимо, що ∑ k = 1 ∞ ak є знакопозитивним рядом. Необхідно позначити функцію безперервного аргументу y = f(x), Що збігається a n = f (n) . Якщо y = f(x)більше нуля, не переривається і зменшується на [a; + ∞) , де a ≥ 1

То якщо невласний інтеграл ∫ a + ∞ f (x) d x є схожим, то аналізований ряд також сходиться. Якщо ж він розходиться, то в прикладі ряд теж розходиться.

При перевірці зменшення функції можна використовувати матеріал, розглянутий на попередніх уроках.

Приклад 16

Розглянути приклад ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на збіжність.

Умова збіжності ряду вважається виконаною, оскільки lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Розглянемо y = 1 x · ln x. Вона більше нуля, не переривається і зменшується на [2; + ∞). Перші два пункти достеменно відомі, а на третьому слід зупинитися докладніше. Знаходимо похідну: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Вона менша за нуль на [ 2 ; + ∞) Це доводить тезу про те, що функція є спадною.

Власне, функція y = 1 x · ln x відповідає ознакам принципу, що ми розглядали вище. Скористаємося ним: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lm A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Відповідно до отриманих результатів, вихідний приклад розходиться, оскільки невласний інтеграл є розбіжним.

Приклад 17

Доведіть збіжність ряду ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 .

Оскільки lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, то умова вважається виконаною.

Починаючи з k = 4 , вірний вираз 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Якщо ряд ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 буде вважатися схожим, то, згідно з одним із принципів порівняння, ряд ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 також вважатиметься схожим. Таким чином, ми зможемо визначити, що вихідний вираз також є схожим.

Перейдемо до доказу ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Оскільки функція y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 більша за нуль, не переривається і зменшується на [ 4 ; + ∞). Використовуємо ознаку, описану в попередньому пункті:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 · lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = - 1 10 · lim A → + ∞ 1 (ln (5 · A + 8)) 2 - 1 (ln (5 · 4 + 8)) 2 = = - 1 10 · 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

В отриманому ряді, що сходиться, ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , можна визначити, що ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8) )) 3 також сходиться.

Ознака Раабе

Допустимо, що ∑ k = 1 ∞ a k - знакопозитивний числовий ряд.

Якщо lim k → + ∞ k · ak a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, то сходиться.

Даний спосіб визначення можна використовувати у тому випадку, якщо описані вище техніки не дають видимих ​​результатів.

Дослідження на абсолютну збіжність

Для дослідження беремо ∑ k = 1 ∞ b k. Використовуємо позитивний ∑ k = 1 ∞ b k . Ми можемо використовувати будь-яку з відповідних ознак, які ми описували вище. Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ b k сходиться, то вихідний ряд є абсолютно схожим.

Приклад 18

Дослідити ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 на збіжність ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 k-1.

Умова виконується lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Використовуємо ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 і скористаємось другою ознакою: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

Ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 3 k 3 + 2 k - 1 сходиться. Вихідний ряд також абсолютно схожий.

Розбіжність знакозмінних рядів

Якщо ряд ∑ k = 1 ∞ b k – розбіжний, то відповідний знакозмінний ряд ∑ k = 1 ∞ b k або розбіжний, або умовно схожий.

Лише ознака Даламбера та радикальна ознака Коші допоможуть зробити висновки про ∑ k = 1 ∞ b k за розбіжністю з модулів ∑ k = 1 ∞ b k . Ряд ∑ k = 1 ∞ b k також розходиться, якщо не виконується необхідна умова збіжності, тобто якщо lim k → ∞ + b k ≠ 0 .

Приклад 19

Перевірити розбіжність 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , . . . .

Модуль k-огочлена представлений як b k = k! 7 k.

Досліджуємо ряд ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k на збіжність за ознакою Даламбер: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k розходиться як і, як і вихідний варіант.

Приклад 20

Чи є ∑ k = 1 ∞ (-1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) схожим.

Розглянемо необхідну умову lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Умова не виконана, тому ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ряд розбіжний. Межа була обчислена за правилом Лопіталя.

Ознаки умовної збіжності

Ознака Лейбніца

Якщо величини членів ряду, що чергується, зменшуються b 1 > b 2 > b 3 > . . . >. . . і межа модуля = 0 при k → + ∞ , то ряд ∑ k = 1 ∞ b k збігається.

Приклад 17

Розглянути ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) на збіжність.

Ряд представлений як ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . Потрібна умова виконується lim k + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Розглянемо ∑ k = 1 ∞ 1 k за другою ознакою порівняння lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Отримуємо, що ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) розходиться. Ряд ∑ k = 1 ∞ (-1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) сходиться за ознакою Лейбниця: послідовність 2 · 1 + 1 5 · 1 · 1 1 + 1 = 3 10 , 2 · 2 + 1 5 · 2 · (2 ​​+ 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1, . . . зменшується і lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

Ряд умовно сходиться.

Ознака Абеля-Діріхле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходить у тому випадку, якщо ( u k ) не зростає, а послідовність ∑ k = 1 + ∞ v k обмежена.

Приклад 17

Дослідіть 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . на збіжність.

Уявимо

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 · 1 + 1 2 · (- 3) + 1 3 · 2 + 1 4 · 1 + 1 5 · (- 3) + 1 6 · = ∑ k = 1 ∞ u k · v k

де (u k) = 1, 1 2, 1 3,. . . - Незростаюча, а послідовність (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . обмежена (S k ) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Ряд сходиться.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

На практиці часто не так важливо знайти суму низки, як відповісти на питання про збіжність низки. Для цього використовуються ознаки збіжності, засновані на властивостях загального члена ряду.

НЕОБХІДНИЙ ОЗНАК СХОДНІСТЬ РЯДУ

ТЕОРЕМА 1.

Якщо ряд сходиться, то його спільний член a n прагне до нуля при, тобто. .

Коротко: якщо ряд сходиться, його загальний член прагне нулю.

Наслідок: якщо ,то ряд розходиться.

Приклад 15.

Рішення.Для цього ряду загальний член та .

Отже, цей ряд розходиться.

Приклад 16. Дослідити на збіжність ряд .

Рішення.Очевидно, що загальний член цього ряду, вид якого не вказаний через громіздкість виразу, прагне нуля при n®¥,тобто. необхідна ознака збіжності ряду виконується, проте цей ряд розходиться, оскільки його сума прагне нескінченності.

Достатні ознаки східності

ЗНАКОВАЛЬНИХ РЯДІВ

Числовий ряд, всі члени якого позитивні, називається позитивним.

ТЕОРЕМА 2. (перша ознака порівняння).

Нехай дано два знакопозитивні ряди:

a 1 + a 2 +a 3 +...+a n +...=(17)

b 1 + b 2 +b 3 +...+b n +...= ,(18)

причому, починаючи з деякого номера Nдля будь-якого n>Nвиконується нерівність a n £ b n. Тоді:

1) зі збіжності ряду (“більшого”) випливає збіжність ряду (“меншого”);

2) з розбіжності ряду (“меншого”) випливає розбіжність ряду (“більшого”).

Схематичний запис першої ознаки порівняння:

a n £ b n

сход.сход.

розх. ® розх.

Для застосування цієї ознаки часто використовують такі еталони, збіжність або розбіжність яких відома заздалегідь, наприклад:

1) ¾ геометричний, (він сходить при і розходиться при);

2) - гармонійний (він розходиться);

3) - ряд Діріхле (він сходить при a>1 і розходиться при a£1).

Розглянемо конкретному прикладі схему дослідження знакопозитивного низки збіжність з допомогою першого ознаки порівняння.

Приклад 17.

Рішення.Крок 1. Перевіримо знакопозитивність низки: .

Крок 2. Перевіримо виконання необхідної ознаки збіжності низки: . Так як, то.

(Якщо обчислення межі викликає труднощі, цей крок можна пропустити.)

Крок 3. Використовуємо першу ознаку порівняння. Підберемо для цього ряду ряд-еталон. Оскільки , то ролі зразка можна взяти ряд , тобто. ряд Діріхле. Цей ряд сходиться, оскільки показник ступеня a = >1. Отже, згідно з першою ознакою порівняння сходиться і досліджуваний ряд.

Приклад 18. Дослідити ряд на збіжність.

Рішення. 1.Цей ряд знакопозитивний, тому що для n=1,2,3,... .

2.Необхідна ознака збіжності ряду виконується, бо

3.Підберемо ряд-еталон. Так як , то як зразок можна взяти геометричний ряд (). Цей ряд сходиться, отже сходиться і ряд, що досліджується.

ТЕОРЕМА 3. (Друга ознака порівняння )

Якщо для знакопозитивних рядів і існує відмінна від нуля кінцева межа, ряди сходяться або розходяться одночасно.

Якщо a n ®0 при n®¥ (необхідна ознака збіжності), то з умови слід, що a n і b n – нескінченно малі одного порядку малості (еквівалентні при l=1). Отже, якщо дано ряд , де a n ®0 при n®0, то цього ряду можна брати ряд-эталон, де загальний член b nмає той самий порядок дещиці, як і загальний член цього ряду.

Приклад19. Дослідити на збіжність ряд

Рішення.Даний ряд знакопозитивний, тому що для будь-якого nN.

Оскільки ~ ~ , то візьмемо в якості ряду-еталону гармонійний ряд, що розходиться . Оскільки межа відношення спільних членів a nі кінцевий і відмінний від нуля (він дорівнює 1), то на підставі другої ознаки порівняння цей ряд розходиться.

ТЕОРЕМА 4.(Ознака Даламбера )

Якщо знакопозитивного ряду існує кінцева межа , то ряд сходиться при l<1 и расходится при l>1.

Зауваження:

1) Якщо l = 1, теорема 4 не дає відповіді на питання про збіжність ряду і тому необхідно використовувати інші ознаки збіжності.

2) Ознака Даламбера зручна практично тоді, коли загальний член низки містить показову функцію чи факториал.

Приклад 20. Дослідити на збіжність ряд за ознакою Даламбер.

Зауваження:

1) Якщо l=1, теорема 5 не дає відповіді питання про збіжності низки, тому необхідно використовувати інші ознаки порівняння.

2) Якщо l = ¥, то ряд розходиться.

Приклад 22. Дослідити на збіжність ряд.

Рішення.Цей ряд знакопозитивний, тому що для будь-якого nÎN. Опускаючи перевірку здійсненності необхідної ознаки збіжності ряду, відразу скористаємося теоремою 5. Оскільки , то за ознакою Коші цей ряд розходиться.

ТЕОРЕМА 6. (Інтегральна ознака Коші)

Нехай функція f(x)безперервна, невід'ємна і не зростає для всіх x³m,де m -деяке невід'ємне число. Тоді числовий ряд

сходиться, якщо сходиться невласний інтеграл

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Числові ряди

лекція.Числові ряди

1. Визначення числового ряду. Збіжність

2. Основні властивості числових рядів

3. Ряди із позитивними членами. Ознаки збіжності

4. Знакорядні ряди. Ознака збіжності Лейбниця

5. Знакозмінні ряди

Запитання для самоперевірки

Література

лекція. ЧИСЛОВІ РЯДИ

1. Визначення числового ряду. Збіжність.

2. Основні властивості числових рядів.

3. Ряди із позитивними членами. Ознаки збіжності.

4. Знакорядні ряди. Ознака збіжності Лейбниця.

5. Знакозмінні ряди.

1. Визначення числового ряду. Збіжність

У математичних додатках, і навіть під час вирішення деяких завдань економіки, статистиці та інших галузях розглядаються суми з нескінченним числом доданків. Тут ми дамо визначення того, що розуміється під такими сумами.

Нехай задана нескінченна числова послідовність

Визначення 1.1. Числовим поручабо просто порядназивається вираз (сума) виду

Щоб задати ряд (1.1), достатньо задати функцію натурального аргументу

Приклад 1.1. Нехай

називається гармонійним рядом .

Приклад 1.2. Нехай

називається узагальненим гармонійним рядом. В окремому випадку при

Приклад 1.3. Нехай

називається поруч геометричної прогресії.

З членів ряду (1.1) утворюємо числову послідовність частковихсумде

…………………………….

…………………………….

Числова послідовність

1) мати кінцеву межу;

2) не мати кінцевої межі (межа не існує або дорівнює нескінченності).

Визначення 1.2. Ряд (1.1) називається схожим,якщо послідовність його часткових сум (1.5) має кінцеву межу, тобто.

У цьому випадку число

Визначення 1.3.Ряд (1.1) називається розбіжним,якщо послідовність його часткових сум не має кінцевої межі.

Розбіжному ряду не приписують жодної суми.

Таким чином, завдання знаходження суми ряду (1.1), що сходить, рівносильна обчисленню межі послідовності його часткових сум.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.4.Довести, що ряд

сходиться, і знайти його суму.

Знайдемо n- ю часткову суму цього ряду

Загальний член

Звідси маємо:

приклад 1.5. Дослідити на збіжність ряд

Для цього ряду

Зауваження. При

приклад 1.6.Дослідити на збіжність ряд

Для цього ряду

У цьому випадку межа послідовності часткових сум

приклад 1.7.Дослідити на збіжність ряд геометричної прогресії (1.4):

Неважко показати, що n-я часткова сума ряду геометричної прогресії при

Розглянемо випадки:

Отже, ряд сходиться і його сума дорівнює

На практиці часто не так важливо знайти суму низки, як відповісти на питання про збіжність низки. Для цього використовуються ознаки збіжності, засновані на властивостях загального члена ряду.

Необхідна ознака збіжності ряду

ТЕОРЕМА 1

Якщо рядсходиться, то його спільний член прагне до нуля при
, тобто.
.

Коротко: якщо ряд сходиться, його спільний член прагне нулю.

Доведення.Нехай ряд сходиться і його сума дорівнює . Для будь-кого часткова сума

.

Тоді. 

З доведеної необхідної ознаки збіжності випливає достатня ознака розбіжності ряду: якщо при
загальний член ряду не прагне нуля, то ряд розходиться.

приклад 4.

Для цього ряду спільний член
і
.

Отже, цей ряд розходиться.

Приклад 5.Дослідити на збіжність ряд

Очевидно, що загальний член цього ряду, вид якого не вказаний через громіздкість виразу, прагне нуля при
, тобто. необхідна ознака збіжності ряду виконується, проте цей ряд розходиться, оскільки його сума прагне нескінченності.

Знакопозитивні числові ряди

Числовий ряд, всі члени якого позитивні, називається позитивним.

ТЕОРЕМА 2 (Критер збіжності знакопозитивного ряду)

Для збіжності знакопозитивного ряду необхідно і достатньо, щоб усі його часткові суми були обмежені зверху одним і тим самим числом.

Доведення.Тому що для будь-кого
, те, тобто. послідовність
– монотонно зростаюча, тому для існування межі необхідне й достатньо обмеження послідовності зверху якимось числом.

Ця теорема більшою мірою має теоретичне, ніж практичне значення. Далі наведено інші ознаки збіжності, які мають більшого застосування.

Достатні ознаки збіжності знакопозитивних рядів

ТЕОРЕМА 3 (Перша ознака порівняння)

Нехай дано два знакопозитивні ряди:

(1)

(2)

причому, починаючи з деякого номера
для будь-якого
виконується нерівність
Тоді:

Схематичний запис першої ознаки порівняння:

сход.сход.

розх.  розрах.

Доведення. 1) Так як відкидання кінцевого числа членів ряду не впливає на його збіжність, доведемо теорему для випадку
. Нехай для будь-кого
маємо

, (3)

де
і
- відповідно часткові суми рядів (1) та (2).

Якщо ряд (2) сходиться, існує число
. Оскільки при цьому послідовність
- Зростаюча, її межа більше за будь-якого з її членів, тобто.
для будь-кого . Звідси з нерівності (3) випливає
. Таким чином, усі часткові суми ряду (1) обмежені зверху числом . Відповідно до теореми 2 цей ряд сходиться.

2) Справді, якби ряд (2) сходився, то за ознакою порівняння сходився б і ряд (1). 

Для застосування цієї ознаки часто використовують такі еталони, збіжність або розбіжність яких відома заздалегідь, наприклад:

3) - ряд Діріхле (він сходиться при
і розходиться при
).

Крім цього, часто використовують ряди, які можна отримати за допомогою наступних очевидних нерівностей:

,

,
,
.

Розглянемо на конкретні прикладисхему дослідження знакопозитивного низки збіжність з допомогою першого ознаки порівняння.

Приклад 6.Дослідити ряд
на збіжність.

Крок 1. Перевіримо знакопозитивність ряду:
для

Крок 2. Перевіримо виконання необхідної ознаки збіжності ряду:
. Так як
, то

(якщо обчислення межі викликає труднощі, цей крок можна пропустити).

Крок 3. Використовуємо першу ознаку порівняння. І тому підберемо для цього ряду ряд-эталон. Так як
, то як зразок можна взяти ряд
, тобто. ряд Діріхле. Цей ряд сходиться, оскільки показник ступеня
. Отже, згідно з першою ознакою порівняння сходиться і досліджуваний ряд.

Приклад 7.Дослідити ряд
на збіжність.

1) Цей ряд знакопозитивний, оскільки
для

2) Необхідна ознака збіжності ряду виконується, бо

3) Підберемо ряд-еталон. Так як
, то як зразок можна взяти геометричний ряд

. Цей ряд сходиться, отже, сходиться досліджуваний ряд.

ТЕОРЕМА 4 (Друга ознака порівняння)

Якщо для знакопозитивних рядів і існує відмінна від нуля кінцева межа
, то ряди сходяться чи розходяться одночасно.

Доведення.Нехай ряд (2) сходиться; доведемо, що тоді сходиться ряд (1). Виберемо якесь число , більше, ніж . З умови
випливає існування такого номера , що для всіх
справедлива нерівність
, або, що те саме,

(4)

Відкинувши в рядах (1) та (2) перші членів (що впливає збіжність), вважатимуться, що нерівність (4) справедливо всім
Але ряд із спільним членом
сходить у силу збіжності ряду (2). Згідно з першою ознакою порівняння, з нерівності (4) випливає збіжність ряду (1).

Нехай тепер сходить ряд (1); доведемо збіжність ряду (2). Для цього слід просто змінити ролями задані ряди. Так як

то, за доведеним вище, зі збіжності ряду (1) повинна слідувати збіжність ряду (2). 

Якщо
при
(необхідна ознака збіжності), то умови
, випливає, що і - нескінченно малі одного порядку малості (еквівалентні при
). Отже, якщо дано ряд , де
при
, то цього ряду можна брати ряд-эталон , де спільний член має той самий порядок дещиці, як і загальний член цього ряду.

При виборі ряду-еталону можна користуватися наступною таблицею еквівалентних нескінченно малих при
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Приклад 8.Дослідити на збіжність ряд

.

для будь-кого
.

Так як
, то візьмемо як ряд-еталон гармонійний розбіжний ряд
. Оскільки межа відношення спільних членів і кінцевий і відмінний від нуля (він дорівнює 1), то на підставі другої ознаки порівняння даний ряд розходиться.

Приклад 9.
за двома ознаками порівняння.

Цей ряд знакопозитивний, оскільки
, і
. Оскільки
, то як ряд-еталон можна брати гармонійний ряд . Цей ряд розходиться і отже, за першою ознакою порівняння, досліджуваний ряд також розходиться.

Так як для даного ряду та ряду-еталона виконується умова
(тут використано 1-у чудову межу), то на підставі другої ознаки порівняння ряд
- Розходиться.

ТЕОРЕМА 5 (Ознака Даламбера)

існує кінцева межа
, то ряд сходиться за
і розходиться при
.

Доведення.Нехай
. Візьмемо якесь число , укладене між та 1:
. З умови
слід, що з деякого номера виконується нерівність

;
;
(5)

Розглянемо ряд

Згідно (5) всі члени ряду (6) не перевищують відповідних членів нескінченної геометричної прогресії
Оскільки
, ця прогресія є схожою. Звідси через першу ознаку порівняння випливає збіжність ряду

Випадок
розгляньте самостійно.

Зауваження :

слід, що залишок ряду

.

Ознака Даламбера зручна практично тоді, коли загальний член низки містить показову функцію чи факториал.

приклад 10.Дослідити на збіжність ряд за ознакою Даламбер.

Цей ряд знакопозитивний і

.

(Тут при обчисленні двічі застосовано правило Лопіталя).

то за ознакою Даламбер цей ряд сходиться.

Приклад 11..

Цей ряд знакопозитивний і
. Оскільки

то цей ряд сходиться.

ТЕОРЕМА 6 (Ознака Коші)

Якщо для позитивного ряду існує кінцева межа
, то при
ряд сходиться, а при
ряд розходиться.

Доказ аналогічний до теореми 5.

Зауваження :

приклад 12.Дослідити на збіжність ряд
.

Цей ряд знакопозитивний, оскільки
для будь-кого
. Оскільки обчислення межі
викликає певні труднощі, то перевірку здійсненності необхідної ознаки збіжності низки опускаємо.

то за ознакою Коші цей ряд розходиться.

ТЕОРЕМА 7 (Інтегральна ознака збіжності Маклорена – Коші)

Нехай дано ряд

члени якого позитивні та не зростають:

Нехай далі
- функція, яка визначена для всіх речових
, безперервна, не зростає і