Ознаки збіжності числових рядів. Сума ряду на практиці Максимальна кількість рядів, що розходяться, серед наведених нижче

Приклад 8. Даний ряд

Дослідити його збіжність у точках x= 1 і х= 3, x= -2.

При х = 1 даний ряд перетворюється на числовий ряд

Досліджуємо збіжність цього ряду за ознакою Даламбер. Маємо

Тобто. ряд сходиться.

При х = 3 отримаємо ряд

Який розходиться, тому що не виконується необхідна ознака збіжності ряду

При х = -2 отримаємо

Це ряд, який, за ознакою Лейбниця, сходиться.

Отже, у точках x= 1 і х= -2. ряд сходиться, а в точці x= 3 розходиться.

Розкладання елементарних функцій до ряду Маклорена:

Поруч Тейлорадля функції f(x)називається статечним рядом виду

Якщо, а = 0, то отримаємо окремий випадок ряду Тейлора

який називається поряд Маклорена.

Ступіньовий ряд усередині його проміжку збіжності можна почленно диференціювати і інтегрувати скільки завгодно разів, причому отримані ряди мають той же проміжок збіжності, що вихідний ряд.

Два статечних ряди можна почленно складати і множити за правилами складання та множення багаточленів. При цьому проміжок збіжності одержаного нового ряду збігаються із загальною частиною проміжків збіжності вихідних рядів.

Для розкладання функції до ряду Маклорена необхідно:

1) обчислити значення функції та її послідовних похідних у точці x = 0, тобто. , , .

8. Розкласти до ряду Маклорен функції.

Яка сума всіх натуральних чисел? Інтуїція нагадує, що відповідь - нескінченність. У математичному аналізі сума натуральних чисел є простим прикладом ряду, що розходиться. Тим не менш, математики та фізики вважали за корисне надати дробові, негативні і навіть нульові значення сумам таких рядів. Мета моєї статті - бажання відсунути завісу таємниці, що оточує результати підсумовування рядів, що розходяться. Зокрема, я використовуватиму функцію Sum (функція пошуку часткових сум, рядів тощо) Mathematica), а також інші функції у Wolfram Language для того, щоб пояснити в якому сенсі варто розглядати такі твердження:

Важливість позначень формул літерами A, B, C і D незабаром стане вам зрозумілою.

Почнемо з того, що нагадаємо поняття ряду, що сходить, використовуючи наступну нескінченно спадаючу геометричну прогресію.

Загальний член ряду, починаючи з n = 0 , Визначається за формулою:

Тепер поставимо суму членів ряду від i= 0 до деякого кінцевого значення i = n.

Ця кінцева сума називається частковою сумою ряду.

Графік значень таких часткових сум показує, що їх значення наближаються до 2 зі зростанням n:

Застосовуючи функцію Limit (пошук межі послідовності чи функції у точці) знайдемо межу значення часткових сум цього ряду при прагненні nдо нескінченності, що підтвердить наші спостереження.

Функція Sum дає такий самий результат, коли ми робимо підсумовування членів ряду в межах від 0 до нескінченності.

Ми говоримо, що цей ряд (сума даної нескінченно спадної геометричної прогресії) сходитьсяі що його сумадорівнює 2.

Взагалі, нескінченний ряд сходиться, якщо послідовність його часткових сум прагне деякого значення при необмеженому збільшенні номера часткової суми. У цьому випадку граничне значення часткових сум називається сумою ряду.

Нескінченний ряд який не сходиться називається розбіжним. За визначенням, сума ряду, що розходиться, не може бути знайдена за допомогою розглянутого вище методу часткових сум. Тим не менш, математики розробили різні способи присвоювання кінцевих числових значень сум цих рядів. Така сума називається регуляризованоюсумою ряду, що розходиться. Процес обчислення регуляризованих сум називається регуляризацією.

Тепер ми розглянемо приклад A із вступу.

"A" позначає Абеля, знаменитого норвезького математика, який запропонував одну з технік регуляризації рядів, що розходяться. У ході свого короткого життя, він помер всього в 26 років, Абель досяг вражаючих результатів у вирішенні одних з найважчих математичних завдань. Зокрема, він показав, що рішення рівняння алгебри п'ятого ступеня не може бути знайдено в радикалах, поставивши тим самим точку в проблемі, яка залишалася невирішеною протягом 250 років до нього.

Для того щоб застосувати метод Абеля, зауважимо, що загальний член даного ряду має вигляд:

Це можна легко перевірити, знайшовши кілька перших значень a[n].

Як можна побачити на графіку нижче, часткові суми ряду приймають значення, рівні 1 або 0 залежно від того, парне nчи непарне.

Природно, що функція Sum видає повідомлення, що ряд розходиться.

Регуляризація Абеля може бути застосована до цього ряду за два кроки. Спочатку ми будуємо відповідний статечний ряд.

Потім ми беремо межу цієї суми при xщо прагне до 1, зауважимо при цьому, що відповідний ряд сходиться для значень xменших, але з рівних 1.

Ці два кроки можна об'єднати, сформувавши, по суті, визначення суми ряду, що розходиться по Абелю.

Ми можемо отримати ту ж відповідь, використовуючи опцію Regularization для функції Sum наступним чином.

Значення 1 / 2 представляється розумним, оскільки воно є середньою величиною з двох значень, 1 і 0, що приймаються частковою сумою даного ряду. Крім того, граничний перехід, що використовується в даному методі, інтуїтивно зрозумілий, т. к. при x= 1 статечний ряд збігається з нашим рядом, що розходиться. Однак, Абель був дуже стурбований відсутністю суворості, яка була притаманна математичному аналізу того часу, і висловлював свою стурбованість про це:

«Розбіжні ряди - винахід диявола, і це соромно на них посилатися за будь-яких доказів. З їх допомогою можна зробити будь-який висновок, який йому буде до вподоби, і саме тому ці ряди роблять стільки помилок і стільки парадоксів. (Н. Х. Абель у листі до свого колишнього вчителя Берндта Хольмбоя, Січень 1826)

Звернемося тепер до прикладу B, у якому стверджується, що:

“B” означає Бореля, французького математика, який працював у таких галузях як теорія міри та теорія ймовірностей. Зокрема, Борель пов'язаний з так званою “теоремою про нескінченні мавпи”, яка стверджує, що якщо абстрактна мавпа випадково ударятиме по клавіатурі друкарської машинки протягом нескінченної кількості часу, то ймовірність того, що вона надрукує деякий конкретний текст, наприклад, повне зібрання творів Вільяма Шекспіра, відмінна від нуля.

Для того щоб застосувати метод Бореля зауважимо, що загальний член даного ряду має вигляд:

Регуляризація Бореля може бути застосована до рядів, що швидко розходяться в два кроки. На першому кроці ми обчислюємо експоненційну функцію для послідовності членів даного ряду. Факторіал, що стоїть у знаменнику, забезпечує збіжність даного ряду при всіх значеннях параметра. t.

Потім ми виробляємо перетворення Лапласа нашої експоненційної функції, що виробляє, і шукаємо його значення в точці s= 1 .

Ці кроки можна об'єднати, в результаті ми отримаємо, по суті, визначення суми ряду, що розходиться по Борелю.

Також ми можемо використовувати спеціалізовані функції Wolfram Language для пошуку експоненційної виробляючої функції та перетворення Лапласу:

При цьому відповідь можна отримати безпосередньо за допомогою Sum наступним чином.

Визначення суми по Борелю розумно, тому що воно дає той самий результат, що і звичайний метод часткових сум, якщо його застосувати до ряду, що сходить. У цьому випадку можна поміняти місцями підсумовування та інтегрування, і потім визначити Гамма-функцію, при цьому ми отримаємо, що відповідний інтеграл дорівнюватиме 1 і залишиться просто, по суті, вихідна сума ряду:

Однак у випадку з рядами, що розходяться, поміняти місцями знаки суми та інтеграла не можна, що призводить до цікавих результатів, які дає даний метод регуляризації.

Підсумовування по Борелю є універсальним методом підсумовування рядів, що розходяться, який застосовується, скажімо, в квантовій теорії поля. Про застосування підсумовування Бореля існує величезна колекція літератури.

Приклад C стверджує, що:

“C” означає Чезаро (англійською мовою його прізвище пишеться як Cesaro), італійського математика, який зробив значний внесок у диференціальну геометрію, теорію чисел та математичну фізику. Чезаро був дуже продуктивним математиком і написав близько 80 робіт у період з 1884 по 1886, до того, як отримав ступінь PhD в 1887!

Для початку зауважимо, що загальний член ряду, починаючи з n= 0, має вигляд:

Графік показує сильну осциляцію часткових сум цього ряду.

Метод Чезаро використовує послідовність середніх арифметичних значень часткових сум ряду у тому, щоб придушити осциляції, що демонструє наступний графік.

Формально кажучи, підсумовування по Чезаровизначається як межа послідовності середніх арифметичних значень часткових сум ряду. Обчислюючи цю межу для ряду з прикладу C, ми отримаємо очікуваний результат -1/2 (див. графік вище).

Сума по Чезаро може бути отримана безпосередньо, якщо ми в функції Sum використовуємо цей тип регуляризації, вказавши відповідне значення опції Regularization.

Метод підсумовування по Чезаро грає важливу роль у теорії рядів Фур'є, в яких ряди на основі тригонометричних функцій використовуються для подання періодичних функцій. Ряд Фур'є для безперервної функції може і не сходиться, але відповідна сума по Чезаро (чи чезарівське середнє, як її зазвичай називають) завжди буде сходитися до функції. Цей гарний результат називається теорема Фейєра.

Наш останній приклад стверджує, що сума натурального ряду дорівнює -1/12.

“D” означає Діріхле, німецького математика, який зробив величезний внесок у теорію чисел та низку інших галузей математики. Про широту вкладів Діріхлі можна судити, просто ввівши в Mathematica 10 наступний код.

Out//TableForm=

Регуляризація по Діріхлі одержала свою назву від поняття "ряд Діріхлі", який визначається таким чином:

Спеціальним випадком цього ряду є дзета-функція Рімана, яку можна визначити так:

Функція SumConvergence говорить нам, що цей ряд сходиться у тому випадку, якщо дійсна частина параметра sбуде більше 1.

Однак сама по собі дзета-функція Рімана може бути визначена і для інших значень параметра sза допомогою процесу аналітичного продовження, відомого з теорії функцій комплексного змінного. Наприклад, при s= -1, ми отримаємо:

Але при s= -1 ряд, що задає дзета-функцію Рімана і є натуральний ряд. Звідси ми і отримуємо, що:

Ще один спосіб усвідомлення цього результату полягає в тому, щоб ввести нескінченно малий параметр ε у вираз члена нашого ряду, що розходиться, а потім знайти розкладання отриманої функції в ряд Маклорена за допомогою функції Series , як показано нижче.

Перший доданок у розкладанні вище прагне нескінченності при наближенні параметра ε до нуля, у той же час третій член і всі наступні члени прагнуть нуля. Якщо відкинути всі члени, що залежать від ε, то число -1/12, що залишилося, якраз і буде сумою по Диріхлі натурального ряду. Таким чином, сума по Діріхлі виходить шляхом відкидання нескінченно малих і нескінченно великих членів розкладання ряду, побудованого описаним нами способом. Це в протиріччі з тим, що прийнято відкидати лише нескінченно малі величини у звичайному математичному аналізі, тому результат підсумовування рядів, що розходяться, по Діріхлі не настільки інтуїтивно зрозумілий.
Стівен Хокінг застосував цей метод до завдання обчислення Фейнманових інтегралів у викривленому просторі-часі. Стаття Хокінга описує процес дзета-регуляризації дуже системно і вона набула великої популярності після публікації.

Наші знання про ряди, що розходяться, засновані на глибоких теоріях, розроблених одними з кращих мислителів останніх кількох століть. Тим не менш, я погоджуся з багатьма читачами, які, як і я, відчувають деяке нерозуміння, коли вони бачать їх у сучасних фізичних теоріях. Великий Абель, мабуть, мав рацію, коли назвав ці ряди “винаходом диявола”. Не виключено, що якийсь майбутній Ейнштейн, який має розум, вільний від усіляких підвалин і авторитетів, відкине переважні наукові переконання і переформулює фундаментальну фізику так, що в ній не буде місця для рядів, що розходяться. Але навіть якщо така теорія стане реальністю, ряди, що розходяться, все одно будуть давати нам багате джерело математичних ідей, висвітлюючи дорогу до більш глибокого розуміння нашого Всесвіту.

Розглянемо нескінченну послідовність чисел, тобто. безліч чисел, у якому кожному натуральному числу nза певним правилом відповідає деяке число a n. Вираз виду називається числовим рядом, самі числа - членами ряду, - спільним членом ряду. Коротко ряд записують так: .

Суми , в яких присутні тільки nперших членів ряду, називаються частковими сумами ряду.

Числовий ряд називається схожим, якщо послідовність його часткових сум має кінцеву межу. Число Sназивається сумою ряду.

Якщо межа не існує, то ряд називається .

приклад 1.Дана нескінченна геометрична прогресія. Складемо ряд

і досліджуємо його на збіжність, з визначення збіжності ряду. І тому складемо часткову суму =. Зі шкільного курсу математики відомо, що . Нагадаємо, як це виходить. Для доказу зробимо поділ

Обчислимо тепер межу , враховуючи, що тут можливі три випадки:

2) якщо q= 1, то = і ,

3) якщо q= -1, то =, і, а =, і. Отже, послідовність часткових сум єдиної межі немає.

Тому робимо висновок: геометрична прогресія сходиться, як і розходиться при .

приклад 2.Довести розбіжністьряду

Рішення.Оцінимо часткову суму ряду:

> , тобто. > ,

а межа часткової суми дорівнює нескінченності (за відомою теоремою про межі: якщо x n > y n, то): = ¥. Отже, цей ряд розходиться.

Властивості рядів, що сходяться

Розглянемо два ряди та . Другий ряд отримано з першого шляхом відкидання перших mйого членів. Цей ряд називається залишком ряду та позначається r n.

Теорема 1. Якщо члени ряду, що сходить, помножити на деяке число З, то збіжність ряду не порушиться, а сума помножиться на З.

Теорема 2. Два ряди, що сходяться, можна почленно складати (віднімати) і сума отриманого ряду дорівнюватиме , де - сума першого ряду, а - сума другого.

Теорема 3. Якщо сходиться ряд, то сходиться кожен із його залишків. Зі збіжності залишку ряду випливає збіжність самого ряду.

Можна сказати й інакше: на збіжність низки впливає відкидання (чи приписування) кінцевого число членів ряду. І ця властивість найчудовіша. Справді, нехай сума ряду дорівнює нескінченності (ряд розходиться). Ми складаємо дуже велику, але кінцеву кількість членів ряду. Ця сума може бути дуже великою, але, знову ж таки, кінцевим числом. Так, значить, сума залишку ряду, а там члени ряду вже мізерно малі числа, все одно дорівнює нескінченності за рахунок нескінченності числа доданків.

Теорема 4. Необхідна ознака збіжності.

Якщо ряд сходиться, то його спільний член a nпрагне нуля, тобто. .

Доведення. Справді,

І якщо ряд сходиться, то і, отже, при .

Зазначимо, що це ознака перестав бути достатнім, тобто. ряд може розходитися, яке спільний член прагне нулю. У прикладі 2 ряд розходиться, хоча його спільний член.

Але якщо а nне прагне нуля при , то ряд є розбіжним ( достатня ознака розбіжності ряду).

Схожість рядів із позитивними членами

Ряд називається позитивним, якщо все.

Часткові суми такого ряду S nутворюють зростаючу послідовність, оскільки кожна попередня менше наступної, тобто. . З теорії меж відомо (теорема Больцано-Вейєрштрасса), що якщо зростаюча послідовність обмежена зверху (тобто для всіх S nіснує така кількість М, що S n < Мдля всіх n), вона має межу. Звідси випливає наступна теорема.

Теорема. Ряд з позитивними членами сходиться, якщо часткові суми його обмежені зверху, і розходиться інакше.

На цій властивості засновані всі достатні ознаки збіжності рядів із позитивними членами. Розглянемо основні їх.

Ознака порівняння

Розглянемо два ряди з неотрицательными членами: - (3) і - (4), причому , починаючи з деякого n. Тоді зі збіжності ряду (4) випливає збіжність ряду (3). А з розбіжності ряду (3) випливає розбіжність ряду (4).

Інакше: якщо сходиться ряд із більшими членами, то сходиться й ряд із меншими членами; якщо розходиться ряд із меншими членами, то розходиться і ряд із більшими членами.

приклад.Дослідити на збіжність ряд.

Рішення.Загальний член ряду, а ряд є нескінченна сума членів геометричної прогресії зі знаменником< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Ознака порівняння у граничній формі

Розглянемо два ряди і , і нехай - кінцеве число. Тоді обидва ряди сходяться чи розходяться одночасно.

приклад.

Рішення. Виберемо ряд для порівняння, з'ясувавши для цього, як поводиться загальний член ряду при великих n:

Тобто. ~ , і як ряд порівняння беремо ряд , який розходиться, що було показано раніше.

Обчислимо межу

і отже, обидва ряди поводяться однаково, тобто. цей ряд теж розходиться.

Ознака Даламбера

Нехай дано ряд і існує межа. Тоді, якщо l < 1, то ряд сходится, если l> 1, то ряд розходиться, якщо l= 1, цей ознака відповіді не дає (тобто. необхідне додаткове дослідження).

приклад.Дослідити збіжність ряд (нагадаємо, що , тобто. n-факторіал є добуток усіх цілих чисел від 1 до n).

Рішення.Для цього ряду , (для знаходження потрібно nпідставити n+ 1). Обчислимо межу

і так як межа менше 1, цей ряд сходиться.

Радикальна ознака Коші

Нехай дано ряд і існує межа. Якщо l< 1, то ряд сходится, если l> 1, то ряд розходиться, якщо l= 1, цей ознака відповіді не дає (необхідне додаткове дослідження).

приклад.Дослідити на збіжність ряд

Рішення.Загальний член ряду. Обчислимо межу. Значить, низка сходиться.

Інтегральна ознака Коші

Розглянемо ряд і припустимо, що на проміжку хÎ існує безперервна, позитивна і монотонно спадна функція така, що , n= 1, 2, 3… . Тоді ряд і невласний інтеграл сходяться чи розходяться одночасно.

Зазначимо, що якщо даний ряд то й функція розглядається на проміжку .

Нагадаємо, що вказаний невласний інтегралназивається схожим, якщо існує кінцева межа, і тоді =. Якщо при не має кінцевої межі, то кажуть, що невласний інтегралрозходиться.

приклад.Розглянемо ряд - узагальнений гармонійний рядабо ряд Діріхле з показником ступеня s. Якщо s= 1, то ряд називають гармонійним рядом.

Досліджуємо даний ряд, використовуючи інтегральний ознака Коші: =, і функція = має всі властивості, зазначені в ознакі. Обчислимо невласний інтеграл.

Можливі три випадки:

1) s < 1, и тогда

інтеграл розходиться.

2) при s = 1

інтеграл розходиться.

3) якщо s> 1, то

інтеграл сходиться.

Висновок. Узагальнений гармонійний ряд сходиться, якщо s> 1, і розходиться, якщо s ≤ 1.

Цей ряд часто використовують для порівняння з іншими рядами, що містять ступеня n.

приклад.Дослідити ряд на збіжність.

Рішення.Для цього ряду ~ =, отже, даний ряд порівнюємо з рядом , який сходиться, як ряд Діріхле з показником ступеня s = 2 > 1.

За ознакою порівняння в граничній формі знаходимо межу відношення спільних членів даного ряду та ряду Діріхле:

Отже, цей ряд теж сходиться.

Рекомендації щодо використанняознак збіжності

Насамперед, слід скористатися необхідною ознакою збіжності ряду та обчислити межу загального члена ряду при . Якщо , то ряд свідомо розходиться, і якщо , слід скористатися однією з достатніх ознак.

Ознаки порівняннякорисно використовувати у тих випадках, коли шляхом перетворень виразу для загального члена ряду вдається перейти від вихідного ряду до ряду, збіжність (чи розбіжність) якого відома. Зокрема, якщо містить лише ступені nі не містить жодних інших функцій, це завжди можна зробити.

Ознаки порівняннязастосовують тоді, коли вихідний ряд можна зіставити з узагальненим гармонійним рядом або поруч, складеним із членів нескінченної геометричної прогресії.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

Тому, якщо в чисельнику стоїть якась із цих функцій, а в знаменнику - функція лівіше за неї, то, швидше за все, ряд розходиться, і навпаки.

На практиці часто не так важливо знайти суму низки, як відповісти на питання про збіжність низки. Для цього використовуються ознаки збіжності, засновані на властивостях загального члена ряду.

Необхідна ознака збіжності ряду

ТЕОРЕМА 1

Якщо рядсходиться, то його спільний член прагне до нуля при
, тобто.
.

Коротко: якщо ряд сходиться, його спільний член прагне нулю.

Доведення.Нехай ряд сходиться і його сума дорівнює . Для будь-кого часткова сума

.

Тоді. 

З доведеної необхідної ознаки збіжності випливає достатня ознака розбіжності ряду: якщо при
загальний член ряду не прагне нуля, то ряд розходиться.

приклад 4.

Для цього ряду загальний член
і
.

Отже, цей ряд розходиться.

Приклад 5.Дослідити на збіжність ряд

Очевидно, що загальний член цього ряду, вид якого не вказаний через громіздкість виразу, прагне нуля при
, тобто. необхідна ознака збіжності ряду виконується, проте цей ряд розходиться, оскільки його сума прагне нескінченності.

Знакопозитивні числові ряди

Числовий ряд, всі члени якого позитивні, називається позитивним.

ТЕОРЕМА 2 (Критер збіжності знакопозитивного ряду)

Для збіжності знакопозитивного ряду необхідно і достатньо, щоб усі його часткові суми були обмежені зверху одним і тим самим числом.

Доведення.Тому що для будь-кого
, те, тобто. послідовність
– монотонно зростаюча, тому для існування межі необхідне й достатньо обмеження послідовності зверху якимось числом.

Ця теорема більшою мірою має теоретичне, ніж практичне значення. Далі наведено інші ознаки збіжності, які мають більшого застосування.

Достатні ознаки збіжності знакопозитивних рядів

ТЕОРЕМА 3 (Перша ознака порівняння)

Нехай дано два знакопозитивні ряди:

(1)

(2)

причому, починаючи з деякого номера
для будь-якого
виконується нерівність
Тоді:

Схематичний запис першої ознаки порівняння:

сход.сход.

розх.  розрах.

Доведення. 1) Так як відкидання кінцевого числа членів ряду не впливає на його збіжність, доведемо теорему для випадку
. Нехай для будь-кого
маємо

, (3)

де
і
- відповідно часткові суми рядів (1) та (2).

Якщо ряд (2) сходиться, існує число
. Оскільки при цьому послідовність
- Зростаюча, її межа більше за будь-якого з її членів, тобто.
для будь-кого . Звідси з нерівності (3) випливає
. Таким чином, усі часткові суми ряду (1) обмежені зверху числом . Відповідно до теореми 2 цей ряд сходиться.

2) Справді, якби ряд (2) сходився, то за ознакою порівняння сходився б і ряд (1). 

Для застосування цієї ознаки часто використовують такі ряди-еталони, збіжність чи розбіжність яких відома заздалегідь, наприклад:

3) - ряд Діріхле (він сходиться при
і розходиться при
).

Крім цього, часто використовують ряди, які можна отримати за допомогою наступних очевидних нерівностей:

,

,
,
.

Розглянемо на конкретних прикладах схему дослідження знакопозитивного низки збіжність з допомогою першого ознаки порівняння.

Приклад 6.Дослідити ряд
на збіжність.

Крок 1. Перевіримо знакопозитивність ряду:
для

Крок 2. Перевіримо виконання необхідної ознаки збіжності ряду:
. Так як
, то

(якщо обчислення межі викликає труднощі, цей крок можна пропустити).

Крок 3. Використовуємо першу ознаку порівняння. І тому підберемо для цього ряду ряд-эталон. Так як
, то як зразок можна взяти ряд
, тобто. ряд Діріхле. Цей ряд сходиться, оскільки показник ступеня
. Отже, згідно з першою ознакою порівняння сходиться і досліджуваний ряд.

Приклад 7.Дослідити ряд
на збіжність.

1) Цей ряд знакопозитивний, оскільки
для

2) Необхідна ознака збіжності ряду виконується, бо

3) Підберемо ряд-еталон. Так як
, то як зразок можна взяти геометричний ряд

. Цей ряд сходиться, отже, сходиться досліджуваний ряд.

ТЕОРЕМА 4 (Друга ознака порівняння)

Якщо для знакопозитивних рядів і існує відмінна від нуля кінцева межа
, то ряди сходяться чи розходяться одночасно.

Доведення.Нехай ряд (2) сходиться; доведемо, що тоді сходиться ряд (1). Виберемо якесь число , більше, ніж . З умови
випливає існування такого номера , що для всіх
справедлива нерівність
, або, що те саме,

(4)

Відкинувши в рядах (1) та (2) перші членів (що впливає збіжність), вважатимуться, що нерівність (4) справедливо всім
Але ряд із спільним членом
сходить у силу збіжності ряду (2). Згідно з першою ознакою порівняння, з нерівності (4) випливає збіжність ряду (1).

Нехай тепер сходить ряд (1); доведемо збіжність ряду (2). Для цього слід просто змінити ролями задані ряди. Так як

то, за доведеним вище, зі збіжності ряду (1) повинна слідувати збіжність ряду (2). 

Якщо
при
(необхідна ознака збіжності), то умови
, випливає, що і - нескінченно малі одного порядку малості (еквівалентні при
). Отже, якщо дано ряд , де
при
, то цього ряду можна брати ряд-эталон , де спільний член має той самий порядок дещиці, як і загальний член цього ряду.

При виборі ряду-еталону можна користуватися наступною таблицею еквівалентних нескінченно малих при
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Приклад 8.Дослідити на збіжність ряд

.

для будь-кого
.

Так як
, то візьмемо як ряд-еталон гармонійний розбіжний ряд
. Оскільки межа відношення спільних членів і кінцевий і відмінний від нуля (він дорівнює 1), то на підставі другої ознаки порівняння даний ряд розходиться.

Приклад 9.
за двома ознаками порівняння.

Цей ряд знакопозитивний, оскільки
, і
. Оскільки
, то як ряд-еталон можна брати гармонійний ряд . Цей ряд розходиться і отже, за першою ознакою порівняння, досліджуваний ряд також розходиться.

Оскільки для даного ряду та ряду-еталону виконується умова
(тут використано 1-у чудову межу), то на підставі другої ознаки порівняння ряд
- Розходиться.

ТЕОРЕМА 5 (Ознака Даламбера)

існує кінцева межа
, то ряд сходиться за
і розходиться при
.

Доведення.Нехай
. Візьмемо якесь число , укладене між та 1:
. З умови
слід, що з деякого номера виконується нерівність

;
;
(5)

Розглянемо ряд

Згідно (5) всі члени ряду (6) не перевищують відповідних членів нескінченної геометричної прогресії
Оскільки
, ця прогресія є схожою. Звідси через першу ознаку порівняння випливає збіжність ряду

Випадок
розгляньте самостійно.

Зауваження :

слід, що залишок ряду

.

Ознака Даламбера зручна практично тоді, коли загальний член низки містить показову функцію чи факториал.

Приклад 10Дослідити на збіжність ряд за ознакою Даламбер.

Цей ряд знакопозитивний і

.

(Тут при обчисленні двічі застосовано правило Лопіталя).

то за ознакою Даламбер цей ряд сходиться.

Приклад 11..

Цей ряд знакопозитивний і
. Оскільки

то цей ряд сходиться.

ТЕОРЕМА 6 (Ознака Коші)

Якщо для позитивного ряду існує кінцева межа
, то при
ряд сходиться, а при
ряд розходиться.

Доказ аналогічний до теореми 5.

Зауваження :

Приклад 12Дослідити на збіжність ряд
.

Цей ряд знакопозитивний, оскільки
для будь-кого
. Оскільки обчислення межі
Викликає певні труднощі, то перевірку здійсненності необхідної ознаки збіжності ряду опускаємо.

то за ознакою Коші цей ряд розходиться.

ТЕОРЕМА 7 (Інтегральна ознака збіжності Маклорена – Коші)

Нехай дано ряд

члени якого позитивні та не зростають:

Нехай далі
- функція, яка визначена для всіх речових
, безперервна, не зростає і