Межа функції х прагне нескінченності. Межі. Концепція меж. Обчислення меж. Межа функції в точці та при

Для тих, хто хоче навчитися знаходити межі в цій статті, ми розповімо про це. Не заглиблюватимемося в теорію, зазвичай її дають на лекціях викладачі. Так що "нудна теорія" має бути у Вас законспектована у зошитах. Якщо цього немає, то можна почитати підручники взяті в бібліотеці навчального закладу або на інших інтернет-ресурсах.

Отже, поняття межі досить важливе у вивченні курсу вищої математики, особливо коли ви зіткнетеся з інтегральним обчисленням і зрозумієте зв'язок між межею та інтегралом. У поточному матеріалі буде розглянуто прості приклади, і навіть способи їх вирішення.

Приклади рішень

Приклад 1
Обчислити а) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; б)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Рішення
а) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ б)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Нам часто надсилають ці межі із проханням допомогти вирішити. Ми вирішили їх виділити окремим прикладом і пояснити, що ці межі необхідно просто запам'ятати, як правило. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!
Відповідь
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( б))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Що робити з невизначеністю виду: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Приклад 3
Вирішити $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Рішення
Як завжди починаємо з підстановки значення $ x $ у вираз, що стоїть під знаком межі. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Що тепер далі? Що ж має вийти у результаті? Оскільки це невизначеність, це ще відповідь і продовжуємо обчислення. Так як у чисельники у нас багаточлен, то розкладемо його на множники, допомогою знайомої всім формули ще зі шкільної лави $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Згадали? Чудово! Тепер вперед і з піснею застосовувати її :) Отримуємо, що чисельник $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продовжуємо вирішувати враховуючи вищенаведене перетворення: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Відповідь
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Спрямуємо межу останніх двох прикладах до нескінченності і розглянемо невизначеність: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Приклад 5
Обчислити $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Рішення
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Що ж робити? Як бути? Не варто панікувати, бо неможливе – можливо. Потрібно винести за дужки і в чисельнику і в знаменнику ікс, а потім скоротити його. Після цього межу спробувати обчислити. Пробуємо... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Використовуючи визначення з прикладу 2 і підставляючи місце х нескінченність отримуємо: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Відповідь
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Алгоритм обчислення лімітів

Отже, давайте коротко підіб'ємо підсумок розібраним прикладам і складемо алгоритм розв'язання меж:

Підставити точку х вираз, наступне після знака межі. Якщо виходить певна кількість, або нескінченність, то межа вирішена повністю. В іншому випадку маємо невизначеність: "нуль ділити на нуль" або "нескінченність ділити на нескінченність" і переходимо до наступних пунктів інструкції.
Щоб усунути невизначеність "нуль ділити на нуль", потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники. Скоротити такі. Підставити точку х у вираз, що стоїть під знаком межі.
Якщо невизначеність "нескінченність ділити на нескінченність", тоді виносимо і в чисельнику, і в знаменнику x найбільшою мірою. Скорочуємо ікси. Підставляємо значення ікса з-під межі в вираз, що залишився.

У цій статті Ви ознайомилися з основами вирішення меж, які часто використовуються в курсі Математичного аналізу. Звичайно ж це не всі типи завдань, що пропонуються екзаменаторами, а найпростіші межі. У наступних статтях поговоримо про інші типи завдань, але спершу необхідно засвоїти цей урок, щоб рухатися далі. Обговоримо, що робити, якщо є коріння, ступеня, вивчимо нескінченно малі еквівалентні функції, чудові межі, правило Лопіталя.

Якщо Вам не вдається самостійно вирішити межі, то не панікуйте. Ми завжди раді допомогти!

Зазвичай другий чудовий ліміт записують у такій формі:

\begin(equation) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(equation)

Число $e$, вказане у правій частині рівності (1), є ірраціональним. Наближене значення цього числа таке: $ e \ approx (2 (,) 718281828459045) $. Якщо зробити заміну $t=\frac(1)(x)$, то формулу (1) можна переписати в такому вигляді:

\begin(equation) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(equation)

Як і для першої чудової межі, неважливо, який вираз стоїть замість змінної $x$ у формулі (1) або замість змінної $t$ у формулі (2). Головне – виконання двох умов:

Підстава ступеня (тобто вираз у дужках формул (1) і (2)) має прагнути одиниці;
Показник ступеня (тобто $x$ у формулі (1) або $\frac(1)(t)$ у формулі (2)) має прагнути нескінченності.

Говорять, що друга чудова межа розкриває невизначеність $1^\infty$. Зауважте, що у формулі (1) ми не уточнюємо, про яку саме нескінченність ($+\infty$ або $-\infty$) йдеться. У кожному з цих випадків формула (1) є вірною. У формулі (2) змінна $t$ може прагнути нулю як зліва, і справа.

Зазначу, що є також кілька корисних наслідків із другої чудової межі. Приклади використання другої чудової межі, як і наслідків із нього, дуже популярні у укладачів стандартних типових розрахунків і контрольних робіт.

Приклад №1

Обчислити межу $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Відразу зазначимо, що основа ступеня (тобто $\frac(3x+1)(3x-5)$) прагне одиниці:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

У цьому показник ступеня (вираз $4x+7$) прагне нескінченності, тобто. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

Підстава ступеня прагне одиниці, показник ступеня - до нескінченності, тобто. ми маємо справу з невизначеністю $1^\infty$. Застосуємо формулу для розкриття цієї невизначеності. На підставі ступеня формули розташовано вираз $1+\frac(1)(x)$, а в наведеному прикладі підстава ступеня таке: $\frac(3x+1)(3x-5)$. Тому першою дією стане формальне припасування виразу $\frac(3x+1)(3x-5)$ під вигляд $1+\frac(1)(x)$. Для початку додамо і віднімемо одиницю:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Слід врахувати, що так додати одиницю не можна. Якщо ми змушені додати одиницю, то її потрібно і відняти, щоб не змінювати значення всього виразу. Для продовження рішення врахуємо, що

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) = frac(6)(3x-5). $$

Оскільки $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, то:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) $$

Продовжимо «підганяння». У виразі $1+\frac(1)(x)$ формули в чисельнику дробу знаходиться 1, а в нашому виразі $1+\frac(6)(3x-5)$ у чисельнику знаходиться $6$. Щоб отримати $1$ у чисельнику, опустимо $6$ у знаменник за допомогою наступного перетворення:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Таким чином,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

Отже, основа ступеня, тобто. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, підігнано під вигляд $1+\frac(1)(x)$, який потрібно у формулі . Тепер почнемо працювати із показником ступеня. Зауважте, що у формулі висловлювання, які у показники ступеня й у знаменнику, однакові:

Отже, й у прикладі показник ступеня і знаменник треба призвести до однакової формі. Щоб отримати в показнику ступеня вираз $\frac(3x-5)(6)$, просто домножимо показник ступеня на цей дріб. Природно, що з компенсації такого домноження, доведеться відразу примножити на зворотний дріб, тобто. на $ frac (6) (3x-5) $. Отже, маємо:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\) infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Окремо розглянемо межу дробу $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$, розташованого в ступені:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ frac(4)(3) =8. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.

Приклад №4

Знайти межу $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Оскільки при $x>0$ маємо $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, то:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ left(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

Розкладаючи дріб $\frac(x+1)(x)$ на суму дробів $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ отримаємо:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1)) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Відповідь: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Приклад №5

Знайти межу $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Оскільки $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ і $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \infty$, ми маємо справу з невизначеністю виду $1^\infty$. Детальні пояснення наведено в прикладі №2, тут же обмежимося коротким рішенням. Зробивши заміну $ t = x-2 $, отримаємо:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=x-2 ;\;x=t+2\\t(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Можна розв'язати цей приклад і інакше, використовуючи заміну: $t=\frac(1)(x-2)$. Зрозуміло, відповідь буде тим самим:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(aligned)&t=\frac( 1) (x-2); x; =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Відповідь: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Приклад №6

Знайти межу $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

З'ясуємо, чого прагне вираз $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ за умови $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0) = 1. $$

Таким чином, у заданій межі ми маємо справу з невизначеністю виду $1^\infty$, яку розкриємо за допомогою другої чудової межі:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Відповідь: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Межа функції в точці та при

Межа функції – основний апарат математичного аналізу. З його допомогою визначається надалі безперервність функції, похідна, інтеграл, сума низки.

Нехай функція y=f(x)визначена в деякій околиці точки , крім, можливо самої точки.

Сформулюємо два, еквівалентні між собою, визначення межі функції в точці.

Визначення 1 (на «мові послідовностей», або за Гейном). Число bназивається межею функції y=f(x) у точці (або при ), якщо для будь-якої послідовності допустимих значень аргументу сходить до (тобто ), послідовність відповідних значень функції сходиться до b(Тобто).

У цьому випадку пишуть або за . Геометричний зміст межі функції: означає, що для всіх точок х, досить близьких до точки , відповідні значення функції як завгодно мало відрізняються від числа b.

Визначення 2 (на мові e-d », або по Коші). Число bназивається межею функції y=f(x) у точці (або при ), якщо для будь-якого позитивного числа e знайдеться таке позитивне число d, що для всіх, хто задовольняє нерівність, виконується нерівність.

Записують.

Це визначення коротко можна записати так:

Зауважимо, що можна записати і так.

Геометричний сенс межі функції: якщо для будь-якої e-околиці точки bзнайдеться така d-околиця точки , що для всіх з цієї d-околиці відповідні значення функції f(x) лежать у e-околиці точки b. Іншими словами, точки графіка функції y=f(x) лежать усередині смуги шириною 2e, обмеженою прямими у = b+ e, у = b- e (рисунок 17). Очевидно, що величина d залежить від вибору e тому пишуть d = d(e).

У визначенні межі функції вважається, що хпрагнути до будь-яким способом: залишаючись меншим, ніж (зліва від ), більшим, ніж (справа від ), або вагаючись біля точки .

Бувають випадки, коли спосіб наближення аргументу хдо істотно впливає значення межі функції. Тому запроваджують поняття односторонніх меж.

Визначення. Число називається межею функції y=f(x) ліворуч у точці якщо для будь-якого числа e > 0 існує число d = d(e) > 0, таке, що при , виконується нерівність .

Межа зліва записується так чи коротко (позначення Діріхле) (рисунок 18).

Аналогічно визначається межа функції праворуч , запишемо його за допомогою символів:

Коротко межа праворуч позначається.

Межі функції ліворуч і праворуч називаються односторонніми межами . Очевидно, якщо існує , то існують обидва односторонні межі, причому .

Справедливе і зворотне твердження: якщо існують обидві межі і вони рівні, то існує межа і .

Якщо ж , то немає.

Визначення. Нехай функція y=f(x) визначено у проміжку . Число bназивається межею функції y=f(x) при х® ¥, якщо для будь-якого числа e > 0 існує таке число М = М(e) > 0, що за всіх х, що задовольняють нерівність виконується нерівність . Коротко це визначення можна записати так:

Якщо х® +¥, то пишуть , якщо х® -¥, то пишуть , якщо = , то їх загальне значенняприйнято позначати.

Геометричний зміст цього визначення такий: для , що за умови і відповідні значення функції y=f(x) потрапляють у e-околиця точки b, тобто. точки графіка лежать у смузі шириною 2e, обмеженою прямими та (рисунок 19).

Нескінченно великі функції (б.б.ф)

Нескінченно малі функції (б.м.ф)

Визначення. Функція y=f(x) називається нескінченно великий при якщо для будь-якого числа М> 0 є число d = d( М) > 0, що для всіх х, що задовольняють нерівність , виконується нерівність Записується або за .

Наприклад, функція є б.б.ф. при .

Якщо f(x) прагне до нескінченності при і набуває лише позитивних значень, то пишуть ; якщо лише негативні значення, то .

Визначення. Функція y=f(x), задана на всій числовій осі, називається нескінченно великий при якщо для будь-якого числа М> 0 знайдеться таке число N = N(М) > 0, що для всіх х, що задовольняють нерівність , виконується нерівність Записується . Коротко:

Наприклад, є б.б.ф. при .

Зазначимо, що якщо аргумент х, прагнучи нескінченності, приймає лише натуральні значення, тобто. , То відповідна б.б.ф. стає нескінченно великою послідовністю. Наприклад, послідовність є нескінченно великою послідовністю. Очевидно, всяка б.б.ф. на околиці крапки є необмеженою у цій околиці. Зворотне твердження неправильне: необмежена функція може бути б.б.ф. (Наприклад, )

Однак, якщо , де b - кінцеве число, то функція f(x обмеженав околиці точки.

Дійсно, з визначення межі функції випливає, що за умови виконання . Отже, при , а це означає, що функція f(x) обмежена.

Визначення. Функція y=f(x) називається нескінченно малої при , якщо

За визначенням межі функції ця рівність означає: для будь-якого числа знайдеться число таке, що для всіх х, що задовольняють нерівність , виконується нерівність .

Аналогічно визначається б.м.ф. при

: У всіх цих випадках .

Нескінченно малі функції часто називають нескінченно малими величинами або нескінченно малими ; позначаються зазвичай грецькими літерами a, b тощо.

Прикладами б.м.ф. служать функції при

Інший приклад: - нескінченно мала послідовність.

прикладДовести, що .

Рішення . Функцію 5+ хможна у вигляді суми числа 7 і б.м.ф. х- 2 (при), тобто. виконано рівність. Отже, з теореми 3.4.6 отримуємо .

Основні теореми про межі

Розглянемо теореми (без підтвердження), які полегшують знаходження меж функції. Формулювання теорем для випадків, коли і аналогічно. У теоремах, що наводяться, будемо вважати, що межі , існують.

Теорема 5.8Межа суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їх меж: .

Теорема 5.9Межа твору двох функцій дорівнює твору їх меж:

Зазначимо, що теорема справедлива добутку будь-якого кінцевого числа функцій.

Наслідок 3Постійний множник можна виносити за знак межі: .

Слідство 4Межа ступеня з натуральним показником дорівнює тому ж ступеню межі: . Зокрема,

Теорема 5.10Межа дробу дорівнює межі чисельника, поділеній на межу знаменника, якщо межа знаменника не дорівнює нулю:

прикладОбчислити

Рішення .

прикладОбчислити

Рішення . Тут застосувати теорему межі дробу не можна, т.к. межа знаменника, при дорівнює 0. Крім того, межа чисельника дорівнює 0. У таких випадках говорять, що маємо невизначеність виду. Для її розкриття розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники, потім скоротимо на:

прикладОбчислити

Рішення . Тут ми маємо справу з невизначеність виду. Для знаходження межі даного дробу розділимо чисельник і знаменник на:

Функція є сума числа 2 і б.м.ф.

Ознаки існування меж

Не всяка функція, навіть обмежена, має межу. Наприклад, функція за межі немає. У багатьох питаннях аналізу буває досить переконається у існуванні межі функції. У разі користуються ознаками існування межі.

Перший і другий чудові межі

Визначення.При обчисленні меж виразів, що містять тригонометричні функції, часто використовують межу

званий першою чудовою межею .

Читається: межа відношення синуса до його аргументу дорівнює одиниці, коли аргумент прагне нуля.

прикладЗнайти

Рішення . Маємо невизначеність виду. Теорема про межу дробу не застосовується. Позначимо тоді при і

приклад 3 Знайти

Рішення.

Визначення.Рівності і називаються другою чудовою межею .

Зауваження. Відомо, що межа числової послідовності

Має межу, що дорівнює е: . Число е називають неперовим числом. Число ірраціональне, його наближене значення дорівнює 2,72 (е = 2, 718281828459045 ...). Деякі властивості числа е роблять особливо зручним вибір цього числа як основа логарифмів. Логарифми на основі е називаються натуральними логарифмами і позначаються Зауважимо, що

Приймемо без доказу твердження, що до е прагне і функція

Якщо покласти то слід. Ці рівності широко застосовуються при обчисленні меж. У додатках аналізу велику роль грає показова функція з основою е. Функція називається експоненційною, використовується також позначення

прикладЗнайти

Рішення . Позначимо очевидно, при маємо

Обчислення меж

Для розкриття невизначеностей виду часто буває корисним застосовувати принцип заміни нескінченно малих еквівалентних та інші властивості еквівалентних нескінченно малих функцій. Як відомо, ~ xза т.к. ~ xпри , т.к.

Наводяться формулювання основних теорем та властивостей межі функції. Дано визначення кінцевих і нескінченних меж у кінцевих точках та на нескінченності (двосторонніх та односторонніх) по Коші та Гейні. Розглянуто арифметичні властивості; теореми, пов'язані з нерівностями; критерій збіжності Коші; межа складної функції; властивості нескінченно малих, нескінченно великих та монотонних функцій. Дано визначення функції.

Зміст

Друге визначення щодо Коші

Межа функції (по Коші) при її аргументі x , що прагне x 0 - це таке кінцеве число або нескінченно віддалена точка a для якої виконуються такі умови:
1) існує така проколота околиця точки x 0 , на якій функція f (x)визначено;
2) для будь-якої околиці точки a , що належить , існує така проколота околиця точки x 0 , на якій значення функції належать вибраному околиці точки a:
при .

Тут a і x 0 також можуть бути як кінцевими числами, так і віддаленими точками. За допомогою логічних символів існування та загальності це визначення можна записати так:
.

Якщо як безліч взяти ліву чи праву околицю кінцевої точки, то отримаємо визначення межі по Коші ліворуч або праворуч.

Теорема
Визначення межі функції по Коші та Гейні еквівалентні.
Доведення

Околиці точок, що застосовуються

Тоді, фактично, визначення Коші означає наступне.
Для будь-яких позитивних чисел , існують числа , так що для всіх x, що належать проколоті околиці точки : , значення функції належать околиці точки a: ,
де , .

З таким визначенням не зовсім зручно працювати, оскільки околиці визначаються за допомогою чотирьох чисел. Але його можна спростити, якщо запровадити околиці з рівновіддаленими кінцями. Тобто можна покласти. Тоді ми отримаємо визначення, яке простіше використовувати за доказом теорем. При цьому воно є еквівалентним визначенню, в якому використовуються довільні околиці. Доказ цього факту наводиться у розділі «Еквівалентність визначень межі функції Коші» .

Тоді можна дати єдине визначення межі функції кінцевих і нескінченно віддалених точках:
.
Тут для кінцевих точок
; ;
.
Будь-які околиці нескінченно віддалених точок є проколотими:
; ; .

Кінцеві межі функції у кінцевих точках

Число a називається межею функції f (x)у точці x 0 , якщо
1) функція визначена на деякому проколоті околиці кінцевої точки;
2) для будь-якого існує таке , що залежить від , що для всіх x , для яких виконується нерівність
.

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення межі функції можна записати так:
.

Односторонні межі.
Ліва межа в точці (лівостороння межа):
.
Права межа в точці (правостороння межа):
.
Межі ліворуч і праворуч часто позначають так:
; .

Кінцеві межі функції у нескінченно віддалених точках

Аналогічно визначаються межі в нескінченно віддалених точках.
.
.
.

Нескінченні межі функції

Також можна запровадити визначення нескінченних меж певних знаків, рівних і :
.
.

Властивості та теореми межі функції

Далі ми вважаємо, що функції, що розглядаються, визначені у відповідній проколоті околиці точки, яка є кінцевим числом або одним із символів: . Також може бути точкою односторонньої межі, тобто мати вигляд або . Околиця є двосторонньою для двосторонньої межі та односторонньою для односторонньої.

Основні властивості

Якщо значення функції f (x)змінити (або зробити невизначеними) у кінцевому числі точок x 1, x 2, x 3, ... x n, то ця зміна ніяк не вплине на існування та величину межі функції у довільній точці x 0 .

Якщо існує кінцева межа, то існує така проколота околиця точки x 0 , на якій функція f (x)обмежена:
.

Нехай функція має у точці x 0 кінцева межа, відмінна від нуля:
.
Тоді, для будь-якого числа c з інтервалу існує така проколота околиця точки x 0 , що для ,
, якщо;
якщо .

Якщо, на деякому проколоті околиці точки, - постійна, то .

Якщо існують кінцеві межі та й на деякому проколотом околиці точки x 0
,
те.

Якщо , і на околиці точки
,
те.
Зокрема, якщо на деякій околиці точки
,
то якщо, то і;
якщо, то і.

Якщо на деякому проколотом околиці точки x 0 :
,
і існують кінцеві (або нескінченні певного знака) рівні межі:
, то
.

Докази основних властивостей наведено на сторінці
"Основні властивості межі функції".

Нехай функції і визначені в деякій проколоті околиці точки. І нехай існують кінцеві межі:
та .
І нехай C – постійна, тобто задане число. Тоді
;
;
;
якщо .

Якщо то .

Докази арифметичних властивостей наведено на сторінці
"Арифметичні властивості межі функції".

Критерій Коші існування межі функції

Теорема
Для того, щоб функція , визначена на деякому проколотом околиці кінцевої або нескінченно віддаленої точки x 0 , мала в цій точці кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0 існувала така проколота околиця точки x 0 , Що для будь-яких точок і з цієї околиці, виконувалася нерівність:
.

Межа складної функції

Теорема про межу складної функції
Нехай функція має межу і відображає проколоту околицю точки на проколоту околицю точки. Нехай функція визначена на околиці і має на ній межу.
Тут - кінцеві чи нескінченно віддалені точки: . Околиці та відповідні їм межі може бути як двосторонні, і односторонні.
Тоді існує межа складної функції і він дорівнює:
.

Теорема про межу складної функції застосовується у тому випадку, коли функція не визначена в точці або має значення, відмінне від граничного . Для застосування цієї теореми, має існувати проколота околиця точки , де безліч значень функції не містить точку :
.

Якщо функція безперервна в точці, то знак межі можна застосовувати до аргументу безперервної функції:
.
Далі наводиться теорема, що відповідає цьому випадку.

Теорема про межу безперервної функції від функції
Нехай існує межа функції g (x)при x → x 0 , і він дорівнює t 0 :
.
Тут точка x 0 може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою: .
І нехай функція f (t)безперервна в точці t 0 .
Тоді існує межа складної функції f (g(x)), і він дорівнює f (t 0):
.

Докази теорем наведено на сторінці
«Межа і безперервність складної функції».

Нескінченно малі та нескінченно великі функції

Нескінченно малі функції

Визначення
Функція називається нескінченно малою при , якщо
.

Сума, різниця та твіркінцевого числа нескінченно малих функцій при є нескінченно малою функцією при .

Добуток функції, обмеженоїна деякому проколоті околиці точки, на нескінченно малу при є нескінченно малою функцією при.

Для того, щоб функція мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб
,
де - нескінченно мала функціяпри .

«Властивості нескінченно малих функцій».

Нескінченно великі функції

Визначення
Функція називається нескінченно великою при , якщо
.

Сума або різниця обмеженої функції, на деякій проколоті околиці точки , і нескінченно великий функції при є нескінченно великою функцієюпри .

Якщо функція є нескінченно великою при , а функція - обмежена, на деякому проколоті околиці точки , то
.

Якщо функція , на деякому проколоті околиці точки , задовольняє нерівності:
,
а функція є нескінченно малою при:
, і (на деякому проколоті околиці точки ), то
.

Докази властивостей викладені у розділі
"Властивості нескінченно великих функцій".

Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями

З двох попередніх властивостей випливає зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями.

Якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .

Якщо функція є нескінченно малою при , і , то функція є нескінченно великою при .

Зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою функцією можна виразити символічним чином:
, .

Якщо нескінченно мала функція має певний знак при , тобто позитивна (або негативна) на деякому проколоті околиці точки , то цей факт можна виразити так:
.
Так само якщо нескінченно велика функція має певний знак при , то пишуть:
.

Тоді символічний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями можна доповнити такими співвідношеннями:
, ,
, .

Додаткові формули, що зв'язують символи нескінченності, можна знайти на сторінці
«Нескінченно віддалені точки та їх властивості».

Межі монотонних функцій

Визначення
Функція , визначена на деякій множині дійсних чисел X називається строго зростаючоюякщо для всіх таких що виконується нерівність:
.
Відповідно, для суворо спадаючоюфункції виконується нерівність:
.
Для невпадаючою:
.
Для незростаючою:
.

Звідси випливає, що функція, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна функція також є незростаючою.

Функція називається монотонної, якщо вона незнижена або незростаюча.

Теорема
Нехай функція не зменшується на інтервалі, де.
Якщо вона обмежена зверху числом M:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена зверху, то .
Якщо обмежена знизу числом m:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена знизу, то .

Якщо точки a і b є нескінченно віддаленими, то виразах під знаками меж мається на увазі, що .
Цю теорему можна сформулювати компактніше.

Нехай функція не зменшується на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі в точках a і b:
;
.

Аналогічна теорема для функції, що не зростає.

Нехай функція не зростає на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі:
;
.

Доказ теореми викладено на сторінці
"Межі монотонних функцій".

Визначення функції

функцією y = f (x)називається закон (правило), згідно з яким, кожному елементу x множини X ставиться у відповідність один і тільки один елемент y множини Y .

Елемент x ∈ Xназивають аргументом функціїабо незалежної змінної.
Елемент y ∈ Yназивають значенням функціїабо залежною змінною.

Безліч X називається областю визначення функції.
Безліч елементів y ∈ Y, які мають прообрази у множині X , називається областю або безліччю значень функції.

Дійсна функція називається обмеженою зверху (знизу)якщо існує таке число M , що для всіх виконується нерівність:
.
Числова функція називається обмеженоюякщо існує таке число M , що для всіх :
.

Верхньою граннюабо точним верхнім кордономРеальну функцію називають найменше з чисел, що обмежує область її значень зверху. Тобто це таке число s, для якого для всіх і для будь-якого, знайдеться такий аргумент, значення функції якого перевищує s′:.
Верхня грань функції може позначатися так:
.

Відповідно нижньою граннюабо точної нижнім кордоном Насправді функції називають найбільше з чисел, що обмежує область її значень знизу. Тобто це таке число i , для якого для всіх і для будь - якого , знайдеться такий аргумент , значення функції якого менше ніж i : .
Нижня грань функції може позначатися так:
.

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.

Див. також:

Урок та презентація на тему: "Межа функції на нескінченності"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову у просторі для 10 та 11 класів

Що вивчатимемо:

1. Що таке Нескінченність?

5. Властивості. 6. Приклади.

Діти, давайте подивимося, що таке межа функції на нескінченності?
А що таке нескінченність?
Нескінченність- використовується для характеристики безмежних, безмежних, невичерпних предметів і явищ, у разі характеристика чисел.

Нескінченність- скільки завгодно велике (мале), безмежне число.
Якщо розглянути координатну площину, то вісь абсцис (ординат) йде на нескінченність, якщо її безмежно продовжувати вліво або вправо (вниз або вгору).

Тепер давайте перейдемо до межі функції на нескінченності:
Нехай у нас є функція y=f(x), область визначення нашої функції містить промінь, і нехай пряма y=b є горизонтальною асимптотою графіка функції y=f(x), запишемо все це математичною мовою: