Інтерполяція. Вступ. Загальна постановка задачі

При вирішенні різних практичних завдань результати досліджень оформляються у вигляді таблиць, що відображають залежність однієї або кількох вимірюваних величин від визначального параметра (аргументу). Такі таблиці представлені зазвичай у вигляді двох або більше рядків (стовпців) і використовуються для формування математичних моделей.

Таблично задані в математичні моделіфункції зазвичай записуються в таблиці виду:

Y1 (X)	Y(Х0)	Y(Х1)		Y(Хn)
Ym (X)	Y(Х0)	Y(Х1)		Y(Хn)

Обмеженість інформації, представленої такими таблицями, часом вимагає отримати значення функцій Y j (X) (j=1,2,…,m) у точках Х , які збігаються з вузловими точками таблиці Х i (i=0,1,2 , ..., N) . У таких випадках необхідно визначити деяке аналітичне вираз φ j (Х) для обчислення наближених значень досліджуваної функції Y j (X) в довільно задаються точках Х . Функція φ j (Х), що використовується для визначення наближених значень функції Y j (X), називається апроксимуючою функцією (від латинського approximo - наближаюся). Близькість апроксимуючої функції j (Х) до апроксимованої функції Y j (X) забезпечується вибором відповідного алгоритму апроксимації.

Всі подальші розгляду та висновки ми робитимемо для таблиць, що містять вихідні дані однієї досліджуваної функції (тобто для таблиць з m=1).

1. Методи інтерполяції

1.1 Постановка задачі інтерполяції

Найчастіше визначення функції φ(Х) використовується постановка, звана постановкою завдання інтерполяції.

У цій класичній постановці завдання інтерполяції потрібно визначити наближену аналітичну функцію φ(Х), значення якої у вузлових точках Х i збігаються зі значеннями Y(Х i ) вихідної таблиці, тобто. умов

ϕ (X i ) = Y i (i = 0,1,2,..., n )

Побудована таким чином апроксимуюча функція φ(Х) дозволяє отримати досить близьке наближення до функції, що інтерполюється Y(X) в межах інтервалу значень аргументу [Х 0 ; Х n], що визначається таблицею. При заданні значень аргументу Х , не належатьцьому інтервалу, завдання інтерполяції перетворюється на завдання екстраполяції . У цих випадках точність

значень, одержуваних при обчисленні значень функції φ(Х), залежить від відстані значення аргументу Х від Х 0 якщо Х< Х 0 , или от Х n , если Х >Х n.

При математичному моделюванні інтерполююча функція може бути використана для обчислення наближених значень досліджуваної функції у проміжних точках підінтервалів [Х i ; Х i +1]. Така процедура називається ущільненням таблиці.

Алгоритм інтерполяції визначається способом обчислення значень функції (Х). Найбільш простим та очевидним варіантом реалізації інтерполюючої функції є заміна досліджуваної функції Y(Х) на інтервалі [Х i ; Х i+1 ] відрізком прямої, що з'єднує точки Y i , Y i +1 . Цей метод називається методом лінійної інтерполяції.

1.2 Лінійна інтерполяція

При лінійній інтерполяції значення функції в точці Х, що знаходиться між вузлами Х i і Х i+1 визначається за формулою прямої, що з'єднує дві сусідні точки таблиці

Y(X) = Y(Xi)+	Y(Xi + 1) − Y(Xi)	(X - Xi) (i = 0,1,2, ..., n),
	X i+ 1 − X i

На рис. 1 наведено приклад таблиці, отриманої в результаті вимірювання деякої величини Y(X) . Рядки вихідної таблиці виділені заливкою. Праворуч від таблиці побудовано точкову діаграму, що відповідає цій таблиці. Ущільнення таблиці виконано завдяки обчисленню за формулою

(3) значень апроксимованої функції в точках Х , відповідних серединам підінтервалів (i = 0, 1, 2, ..., n).

Рис.1. Ущільнена таблиця функції Y(X) та відповідна їй діаграма

Під час розгляду графіка на рис. 1 видно, що точки, отримані в результаті ущільнення таблиці методом лінійної інтерполяції, лежать на відрізках прямих, що з'єднують точки вихідної таблиці. Точність лінійної

інтерполяції, істотно залежить від характеру інтерполюваної функції і від відстані між вузлами таблиці X i, X i +1 .

Очевидно, що якщо функція плавна, то навіть при порівняно великій відстані між вузлами графік, побудований шляхом з'єднання точок відрізками прямих, дозволяє досить точно оцінити характер функції Y(Х). Якщо ж функція змінюється досить швидко, а відстані між вузлами великі, лінійна інтерполююча функція не дозволяє отримати досить точне наближення до реальної функції.

Лінійна інтерполююча функція може бути використана для загального попереднього аналізу та оцінки коректності результатів інтерполяції, одержуваних потім іншими точними методами. Особливо актуальною така оцінка стає у випадках, коли обчислення виконуються вручну.

1.3 Інтерполяція канонічним поліномом

Метод інтерполяції функції канонічним поліномом ґрунтується на побудові інтерполюючої функції як полінома у вигляді [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x 2 + ... + cn x n

Коефіцієнти з i полінома (4) є вільними параметрами інтерполяції, що визначаються з умов Лагранжа:

Pn (xi) = Yi, (i = 0, 1, ..., n)

Використовуючи (4) та (5) запишемо систему рівнянь

	C x + c x 2				C x n = Y
	C x + c x 2				C x n
			C x 2			C x n = Y

Вектор рішення з i (i = 0, 1, 2, …, n) системи лінійних рівнянь алгебри (6) існує і може бути знайдений, якщо серед вузлів х i немає збігаються. Визначник системи (6) називається визначником Вандермонда1 і має аналітичний вираз [2].

1 Визначником Вандермонда називається визначник

Він дорівнює нулю і тоді, коли xi = xj для деяких . (Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії)

Для визначення значень коефіцієнтів з i (i = 0, 1, 2, …, n)

рівнянь (5) можна записати у векторно-матричній формі

A * C = Y,

де А, матриця коефіцієнтів, що визначаються таблицею ступенів вектора аргументів X = (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, …

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

З - вектор-стовпець коефіцієнтів з i (i = 0, 1, 2, …, n), а Y - вектор-стовпець значень Y i (i = 0, 1, 2, …, n) функції, що інтерполюється у вузлах інтерполяції.

Рішення цієї системи лінійних рівнянь алгебри може бути отримано одним з методів, описаних в [ 3 ]. Наприклад, за формулою

С = A− 1 Y ,

де А -1 - матриця зворотна матриці А. Для отримання зворотної матриці А -1 можна скористатися функцією МОБР() , що входить до стандартних функцій програми Microsoft Excel.

Після того, як будуть визначені значення коефіцієнтів з i , використовуючи функцію (4), можуть бути обчислені значення функції, що інтерполується для будь-якого значення аргументу х .

Запишемо матрицю для таблиці, наведеної на рис.1, без урахування рядків ущільнюючих таблицю.

Рис.2 Матриця системи рівнянь для обчислення коефіцієнтів канонічного полінома

Використовуючи функцію МОБР(), отримаємо матрицю А -1 зворотну матрицю А (рис. 3). Після чого, за формулою (9) отримаємо вектор коефіцієнтів С = (c0, c1, c2, …, cn) T, наведений на рис. 4.

Для обчислення значень канонічного полінома в комірку стовпця Y канонич , що відповідає значенню х 0 , введемо перетворену до наступного виду формулу, що відповідає нульовому рядку системи (6)

=((((c 5	* х 0 + c 4) * х 0 + c 3) * х 0 + c 2) * х 0 + c 1) * х 0 + c 0

C0 + x * (c1 + x * (c2 + x * (c3 + x * (c4 + x * c5))))

Замість запису "c i " у формулі, що вводиться в комірку таблиці Excel, має стояти абсолютне посилання на відповідну комірку, що містить цей коефіцієнт (див. рис. 4). Замість "х 0" - відносне посилання на комірку стовпця Х (див. рис. 5).

Y канонич (0) значення, що збігається зі значенням в комірці Y лін (0) . При протягуванні формули, записаної в комірку Y канонич (0), повинні також збігтися і значення Y каноніч (i) , відповідні вузловим точкам вихідної

таблиці (див. рис.5).

Рис. 5. Діаграми, побудовані за таблицями лінійної та канонічної інтерполяції

Порівняння графіків функцій, побудованих за таблицями, обчисленими за формулами лінійної та канонічної інтерполяції, бачимо у низці проміжних вузлів істотне відхилення значень, отриманих за формулами лінійної та канонічної інтерполяції. Більш обґрунтовано судити про точність інтерполяції можна на підставі отримання додаткової інформації про характер процесу, що моделюється.

Це розділ із книги Білла Джелена.

Завдання: деякі інженерні проблеми проектування вимагають використання таблиць для обчислення параметрів. Оскільки таблиці дискретні, дизайнер використовує лінійну інтерполяцію для отримання проміжного значення параметра. Таблиця (рис. 1) включає висоту над землею (керуючий параметр) і швидкість вітру (параметр, що розраховується). Наприклад, якщо треба знайти швидкість вітру, що відповідає висоті 47 метрів, слід застосувати формулу: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 м/сек.

Завантажити нотатку у форматі або , приклади у форматі

Як бути, якщо існує два параметри, що управляють? Чи можна виконати обчислення за допомогою однієї формули? У таблиці (рис. 2) показано значення тиску вітру для різних висот та величин прольоту конструкцій. Потрібно обчислити тиск вітру на висоті 25 метрів та величині прольоту 300 метрів.

Рішення: проблему вирішуємо шляхом розширення методу, що використовується для випадку з одним параметром, що управляє. Виконайте наступні дії.

Почніть із таблиці, зображеної на рис. 2. Додайте вихідні осередки для висоти та прольоту в J1 та J2 відповідно (рис. 3).

Рис. 3. Формули в осередках J3: J17 пояснюють роботу мегаформули

Для зручності використання формул визначте імена (рис. 4).

Прослідкуйте за роботою формули послідовно переходячи від комірки J3 до комірки J17.

Шляхом зворотного послідовного встановлення зберіть мегаформулу. Скопіюйте текст формули з комірки J17 до J19. Замініть у формулі посилання на J15 значення в осередку J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. І так далі. Вийде формула, що складається з 984 символів, яку неможливо сприйняти в такому вигляді. Ви можете подивитися на неї у доданому Excel-файлі. Не впевнений, що такі мегаформули корисні у використанні.

Резюме: лінійна інтерполяція використовується для отримання проміжного значення параметра, якщо табличні значення задані лише меж діапазонів; запропоновано метод розрахунку за двома керуючими параметрами.

Якщо вимагати, щоб збігалася з табличними значеннями у вибраних вузлах сітки, отримаємо систему

з якої можна визначити параметри Цей спосіб підбору параметрів називається інтерполяцією (точніше, лагранжевою інтерполяцією). За кількістю використовуваних вузлів сітки називатимемо інтерполяцію одноточковою, двоточковою і т.д.

Якщо нелінійно залежить від параметрів, інтерполяцію назвемо нелінійною; у цьому випадку знаходження параметрів із системи (1) може бути важким завданням. Зараз ми розглянемо лінійну інтерполяцію, коли лінійно залежить від параметрів, тобто представимо у вигляді так званого узагальненого багаточлена

Очевидно, функції можна вважати лінійно-незалежними, інакше число членів у сумі та параметрів можна було б зменшити. На систему функцій слід накласти ще одне обмеження. Підставляючи (2) (1), отримаємо для визначення параметрів наступну систему лінійних рівнянь:

Щоб завдання інтерполяції завжди мало єдине рішення, треба, щоб при будь-якому розташуванні вузлів (аби серед них не було збігаються) визначник системи (3) був би відмінний від нуля:

Система функцій, що задовольняють вимогу (4), називається чебишевською. Таким чином, при лінійній інтерполяції треба будувати узагальнений багаточлен за якоюсь чебишевською системою функцій.

Для лінійної інтерполяції найбільш зручні звичайні многочлени, оскільки вони легко обчислюються і клавішній машині і ЕОМ. Інші системи функцій сьогодні майже не використовуються, хоча теоретично докладно розглядають інтерполяцію тригонометричними многочленами і експонентами. Тому ми не наводимо виразу узагальненого многочлена (2) через табульовані значення функції вивести цей вираз нескладно.