Правило інтерполяції. §5. Програмування ЧПУ. Лінійна інтерполяція. Програмування лінійних переміщень

Це розділ із книги Білла Джелена.

Завдання: деякі інженерні проблеми проектування вимагають використання таблиць для обчислення параметрів. Оскільки таблиці дискретні, дизайнер використовує лінійну інтерполяцію для отримання проміжного значення параметра. Таблиця (рис. 1) включає висоту над землею (керуючий параметр) і швидкість вітру (параметр, що розраховується). Наприклад, якщо треба знайти швидкість вітру, що відповідає висоті 47 метрів, слід застосувати формулу: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 м/сек.

Завантажити нотатку у форматі або , приклади у форматі

Як бути, якщо існує два параметри, що управляють? Чи можна виконати обчислення за допомогою однієї формули? У таблиці (рис. 2) показано значення тиску вітру для різних висот та величин прольоту конструкцій. Потрібно обчислити тиск вітру на висоті 25 метрів та величині прольоту 300 метрів.

Рішення: проблему вирішуємо шляхом розширення методу, що використовується для випадку з одним параметром, що управляє. Виконайте наступні дії.

Почніть із таблиці, зображеної на рис. 2. Додайте вихідні осередки для висоти та прольоту в J1 та J2 відповідно (рис. 3).

Рис. 3. Формули в осередках J3: J17 пояснюють роботу мегаформули

Для зручності використання формул визначте імена (рис. 4).

Прослідкуйте за роботою формули послідовно переходячи від комірки J3 до комірки J17.

Шляхом зворотного послідовного встановлення зберіть мегаформулу. Скопіюйте текст формули з комірки J17 до J19. Замініть у формулі посилання на J15 значення в осередку J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. І так далі. Вийде формула, що складається з 984 символів, яку неможливо сприйняти в такому вигляді. Ви можете подивитися на неї у доданому Excel-файлі. Не впевнений, що такі мегаформули корисні у використанні.

Резюме: лінійна інтерполяція використовується для отримання проміжного значення параметра, якщо табличні значення задані лише меж діапазонів; запропоновано метод розрахунку за двома керуючими параметрами.

Цей термін має й інші значення, див. Інтерполяція. Про функцію див.: Інтерполянт.

Інтерполяція, інтерпретування (відлат. inter-polis - « розгладжений, підновлений, оновлений; перетворений») - в обчислювальній математиці спосіб знаходження проміжних значень величини наявного дискретного набору відомих значень. Термін "інтерполяція" вперше вжив Джон Валліс у своєму трактаті "Арифметика нескінченних" (1656).

У функціональному аналізі інтерполяція лінійних операторів є розділом, що розглядає банахові простори як елементи деякої категорії.

Багатьом із тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками, часто доводиться оперувати наборами значень, набутих дослідним шляхом або методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, на яку могли б високою точністюпотрапляти інші значення, що отримуються. Таке завдання називається апроксимацією. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через точки даних.

Існує також близьке до інтерполяції завдання, яке полягає в апроксимації будь-якої складної функціїіншою, більш простою функцією. Якщо деяка функція надто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в кількох точках, а за ними побудувати, тобто інтерполювати більш просту функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє отримати такі самі точні результатиякі давала б початкова функція. Але в деяких класах завдань досягнутий виграш у простоті та швидкості обчислень може переважити отримувану похибку в результатах.

Слід також згадати і зовсім інший різновид математичної інтерполяції, відомий під назвою «інтерполяція операторів». До класичних робіт з інтерполяції операторів відносяться теорема Рісса - Торіна (Riesz-Thorin theorem) та теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), що є основою для багатьох інших робіт.

Визначення

Розглянемо систему неспівпадаючих точок x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) з деякої області D (\displaystyle D) . Нехай значення функції f (\displaystyle f) відомі лише у цих точках:

Y i = f (x i), i = 1, …, N. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Завдання інтерполяції полягає у пошуку такої функції F (\displaystyle F) із заданого класу функцій, що

F (x i) = y i, i = 1, …, N. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Точки x i (\displaystyle x_(i)) називають вузлами інтерполяції, А їх сукупність - інтерполяційною сіткою.
• Пари (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) називають точками данихабо базовими точками.
• Різниця між «сусідними» значеннями Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - кроком інтерполяційної сітки. Він може бути як змінним, і постійним.
• Функцію F(x) (\displaystyle F(x)) - інтерполюючою функцієюабо інтерполянтом.

приклад

1. Нехай ми маємо табличну функцію на кшталт описаної нижче, яка для кількох значень x (\displaystyle x) визначає відповідні значення f (\displaystyle f) :

X (\displaystyle x) f(x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Інтерполяція допомагає нам дізнатися, яке значення може мати така функція в точці, яка відрізняється від зазначених точок (наприклад, при x = 2,5).

На цей час існує безліч різних способів інтерполяції. Вибір найбільш відповідного алгоритму залежить від відповіді питання: як точний вибирається метод, які витрати з його використання, наскільки гладкою є інтерполяційна функція, якої кількості точок даних вона і т.п.

2. Знайти проміжне значення (методом лінійної інтерполяції).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000))(8000-60) 15.5)) (1)) = 16.1993)

У мовах програмування

Приклад лінійної інтерполяції функції y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Користувач може ввести число від 1 до 10.

Fortran

program interpol integer i real x, y, xv, yv, yv2 dimension x(10) dimension y(10) call prisv(x, i) call func(x, y, i) write(*,*) "enter number: read(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) then yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end end do end subbroutine

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Інтерполяція X1 - X2 "); system("echo Ввести число: "); cin >> ob; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko);

Способи інтерполяції

Інтерполяція методом найближчого сусіда

Найпростішим способом інтерполяції є інтерполяція методом найближчого сусіда.

Інтерполяція багаточленами

Насправді найчастіше застосовують інтерполяцію многочленами. Це пов'язано насамперед з тим, що багаточлени легко обчислювати, легко аналітично знаходити їх похідні та багато багаточленів щільно у просторі безперервних функцій (теорема Вейєрштрасса).

• Лінійна інтерполяція
• Інтерполяційна формула Ньютона
• Метод кінцевих різниць
• ІМН-1 та ІМН-2
• Багаточлен Лагранжа (інтерполяційний багаточлен)
• Схема Ейткена
• Сплайн-функція
• Кубічний сплайн

Зворотне інтерполювання (обчислення x за заданої y)

• Поліном Лагранжа
• Зворотне інтерполювання за формулою Ньютона
• Зворотне інтерполювання за формулою Гауса

Інтерполяція функції кількох змінних

• Білінійна інтерполяція
• Бікубічна інтерполяція

Інші способи інтерполяції

• Раціональна інтерполяція
• Тригонометрична інтерполяція

суміжні концепції

• Екстраполяція – методи знаходження точок за межами заданого інтервалу (продовження кривої)
• Апроксимація - методи побудови наближених кривих

Зворотня інтерполяція

на класі функцій із простору C2 , графіки яких проходять через точки масиву (xi, yi), i = 0, 1, . . . m.

Рішення. Серед усіх функцій, що проходять через опорні точки (xi, f(xi)) і належать згаданому простору, саме кубічний сплайн S(x), що відповідає крайовим умовам S00(a) = S00(b) = 0, надає екстремум (мінімум) функціоналу I(f).

Часто на практиці виникає завдання пошуку за заданим значенням функції значення аргументу. Це завдання вирішується методами зворотної інтерполяції. Якщо задана функція монотонна, зворотну інтерполяцію найпростіше здійснити шляхом заміни функції аргументом і навпаки і наступного інтерполювання. Якщо ця функція не монотонна, то цим прийомом скористатися не можна. Тоді, не змінюючи ролями функцію та аргумент, записуємо ту чи іншу інтерполяційну формулу; використовуючи відомі значення аргументу та, вважаючи функцію відомої, вирішуємо отримане рівняння щодо аргументу.

Оцінка залишкового члена при використанні першого прийому буде така сама, як і при прямій інтерполяції, тільки похідні від прямої функції потрібно замінити похідними від зворотної функції. Оцінимо помилку другого методу. Якщо нам задана функція f(x) та Ln(x) - інтерполяційний багаточлен Лагранжа, побудований для цієї функції за вузлами x0, x1, x2, . . . , xn, то

f (x) - Ln (x) = (n + 1)! (x−x0). . . (x−xn) .

Припустимо, що нам треба знайти значення x, при якому f (x) = y (y задано). Розв'язуватимемо рівняння Ln (x) = y . Отримаємо деяке значення x. Підставляючи у попереднє рівняння, отримаємо:

Mn+1

f (x) - Ln (x) = f (x) - y = f (x) - f (x) =
Застосовуючи формулу Лангранжа, отримаємо
(x − x) f0 (η) =
де η знаходиться між x і x. Якщо - інтервал, який містить x і x і min

з останнього виразу випливає:

|x¯ − x¯| 6m1 (n+1)! |$n (x¯)| .

При цьому, звичайно, передбачається, що рівняння Ln (x) = y? ми вирішили точно.

Застосування інтерполяції для складання таблиць

Теорія інтерполяції має застосування при складанні таблиць функцій. Отримавши таке завдання, математик повинен вирішити перед початком обчислень низку питань. Повинна бути обрана формула, за якою проводитимуться обчислення. Ця формула може змінюватися від ділянки до ділянки. Зазвичай формули для обчислення значень функції бувають громіздкими і тому використовують для отримання деяких опорних значень і потім, шляхом субтабулювання, згущують таблицю. Формула, яка дає опорні значення функції, має забезпечувати потрібну точність таблиць з урахуванням наступного субтабулювання. Якщо потрібно скласти таблиці з постійним кроком, спочатку треба визначити її крок.

Назад Перша Попередня Наступна Остання Перейти Предметний покажчик

Найчастіше таблиці функцій складаються так, щоб була можлива лінійна інтерполяція (тобто інтерполяція з використанням перших двох членів формули Тейлора). У цьому випадку залишковий член матиме вигляд

R1(x) = f00 (ξ)h2t(t − 1).

Тут ξ належить інтервалу між двома сусідніми табличними значеннями аргументу, в якому знаходиться x, а t укладено між 0 і 1. Твір t(t − 1) приймає найбільший за модулем

значення при t = 12. Це значення дорівнює14. Отже,

Потрібно пам'ятати, що поруч із цією помилкою - помилкою методу, при практичному обчисленні проміжних значень виникатимуть ще непереборна похибка та похибка заокруглень. Як ми бачили раніше, непереборна похибка при лінійній інтерполяції буде рівною похибки табульованих значень функції. Похибка округлення залежатиме від обчислювальних засобів та від програми обчислень.

Назад Перша Попередня Наступна Остання Перейти Предметний покажчик

Предметний покажчик

розділені різниці другого порядку, 8 першого порядку, 8

сплайн, 15

вузли інтерполяції, 4

Назад Перша Попередня Наступна Остання Перейти Предметний покажчик

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Як виконати інтерполяцію

Формула для інтерполяції табличних даних

Використовується у 2-ій дії, коли кількість НХР (Q, т) за умови має проміжне значення між 100 т та 300 т.

(Виняток:якщо Q за умовою дорівнює 100 або 300 – інтерполяція не потрібна).

y o- Ваша вихідна кількість НХР із умови, в тоннах

(відповідає букві Q)

y 1 – менше

(З табл.11-16, як правило одно 100).

y 2 – більше найближче до Вашого значення кількості НХР у тоннах

(З табл.11-16, як правило дорівнює 300).

x 1 y 1 (x 1 розташоване навпроти y 1 ), км.

x 2 - Табличне значення глибини поширення хмари зараженого повітря (Г т), відповідно y 2 (x 2 розташоване навпроти y 2 ), км.

x 0 - Шукане значення Г твідповідне y o(за формулою).

приклад.

НХР – хлор; Q = 120 т;

Вид СВСП (ступінь вертикальної стійкості повітря) – інверсія.

Знайти Г т- Табличне значення глибини поширення хмари зараженого повітря.

Переглядаємо таблиці 11-16 і знаходимо дані, що відповідають вашій умові (хлор, інверсія).

Підходить таблиця 11.

Вибираємо значення y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Важливо – швидкість вітру беремо 1 м/с., температуру беремо – 20 оС.

Підставляємо вибрані значення у формулу та знаходимо x 0 .

Важливо - Розрахунок правильний, якщо x 0 матиме значення десь між x 1 , x 2 .

1.4. Інтерполяційна формула Лагранжа

Запропонований Лагранжем алгоритм побудови інтерполюючих

функцій за таблицями (1) передбачає побудову інтерполяційного многочлена Ln(x) як

Очевидно, що виконання (10) умов (11) визначає виконання умов (2) постановки завдання інтерполяції.

Багаточлени li(x) записуються наступним чином

Зазначимо, що жоден множник у знаменнику формули (14) не дорівнює нулю. Обчисливши значення констант сi, можна використовувати їх для обчислення значень функції, що інтерполується в заданих точках.

Формула інтерполяційного багаточлена Лагранжа (11) з урахуванням формул (13) та (14) може бути записана у вигляді

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1. Організація ручних обчислень за формулою Лагранжа

Безпосереднє застосування формули Лагранжа призводить до великої кількості однотипних обчислень. Для таблиць невеликої розмірності ці обчислення можуть бути виконані як вручну, так і серед програм

У першому етапі розглянемо алгоритм обчислень, виконуваних вручну. Надалі ці ж обчислення слід повторити у середовищі

Microsoft Excel чи OpenOffice.org Calc.

На рис. 6 наведено приклад вихідної таблиці інтерполюваної функції, що визначається чотирма вузлами.

Рис.6. Таблиця, що містить вихідні дані для чотирьох вузлів інтерполюваної функції

У третій стовпець таблиці запишемо значення коефіцієнтів qi, що обчислюються за формулами (14). Нижче наведено запис цих формул для n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Наступним кроком реалізації ручних обчислення є обчислення значень li(x) (j=0,1,2,3), виконувані за формулами (13).

Запишемо ці формули для розглянутого нами варіанта таблиці з чотирма вузлами:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

Обчислимо значення многочленів li(xj) (j=0,1,2,3) і запишемо їх у комірки таблиці. Значення функціїYрасч(x) згідно з формулою (11) будуть отримані в результаті підсумовування значеньli(xj) по рядках.

Формат таблиці, що включає стовпці обчислених значень li(xj) і стовпець значеньYрасч(x), показано на рис.8.

Рис. 8. Таблиця з результатами ручних обчислень, виконаних за формулами (16), (17) та (11) для всіх значень аргументу xi

Виконавши формування таблиці, наведеної на рис. 8 за формулами (17) і (11) можна обчислити значення інтерполюваної функції для будь-якого значення аргументу Х. Наприклад, для Х=1 обчислюємо значення li(1) (i=0,1,2,3):

l0 (1) = 0,7763; l1 (1) = 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.

Підсумовуючи значення li (1), отримаємо значення Y інтерп (1) = 3,1463.

1.4.2. Реалізація алгоритму інтерполяції за формулами Лагранжа серед програми Microsoft Excel

Реалізація алгоритму інтерполяції починається, як і за ручних обчисленнях із запису формул для обчислення коефіцієнтів qi На рис. 9 наведена стовпці таблиці із заданими значеннями аргументу, інтерполюваної функції та коефіцієнтів qi. Праворуч від цієї таблиці наведені формули, що записуються в комірки стовпця для обчислення значень коефіцієнтів qi.

вС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))"Æ q0

вС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))"Æ q1

вС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))"Æ q2

вС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))"Æ q3

Рис. 9 Таблиця коефіцієнтів qi та обчислювальні формули

Після введення формули q0 у комірку С2 вона простягається по комірках від С3 до С5. Після чого формули у цих осередках коригуються відповідно до (16) до виду, наведеному на рис. 9.

Yрасч(xi),

Реалізуючи формули (17), запишемо формули для обчислення значень li(x) (i=0,1,2,3) у комірки стовпців D, E, F і G. У комірку D2 для обчислення значення l0(x0) запишемо формулу:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

отримаємо значення l0 (xi) (i = 0,1,2,3).

Формат посилання $A2 дозволяє простягнути формулу по стовпцях E, F, G для формування обчислювальних формул для обчислення li (x0) (i = 1,2,3). При протягуванні формули по рядку індекс стовпця аргументів не змінюється. Для обчисленняli(x0) (i=1,2,3) після протягування формулиl0(x0) необхідно виконати їхнє коригування за формулами (17).

У стовпці Н помістимо формули Excel для підсумовування li(x) за формулою

(11) алгоритму.

На рис. 10 показана таблиця, реалізована серед програми Microsoft Excel. Ознакою правильності записаних у комірки таблиці формул і виконаних обчислювальних операцій є отримана діагональна матриця li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2,3), що повторює результати, наведені на рис. 8, і стовпець значень збігаються зі значеннями інтерполюваної функції у вузлах вихідної таблиці.

Рис. 10. Таблиця значень li(xj) (j=0,1,2,3) іYрасч(xj)

Для обчислення значень у деяких проміжних точках достатньо

вічка стовпця А, починаючи з осередку А6, ввести значення аргументу Х, для яких потрібно визначити значення інтерполюваної функції. Виділити

в останньому (5-му) рядку таблиці осередку отl0(xn) до Yрасч(xn) і протягнути формули, записані у виділених осередках до рядка, що містить останнє

задане значення аргументу x.

На рис. 11 наведена таблиця, в якій виконані обчислення значення функції у трьох точках: х=1, х=2 та х=3. У таблицю введено додатковий стовпець із номерами рядків таблиці вихідних даних.

Рис. 11. Обчислення значень інтерполюваних функцій за формулами Лагранжа

Для більшої наочності відображення результатів інтерполяції збудуємо таблицю, що включає стовпець впорядкованих за зростанням значень аргументу Х, стовпець вихідних значень функції Y(X) та стовпець

Підкажіть як використовувати формулу інтерполяції та яку у вирішенні задач з термодинаміки (теплотехніки)

Іван шестакович

Найпростіше, але й часто малоточна інтерполяція - це лінійна. Коли у тебе є вже дві відомі точки (Х1 У1) і (X2 Y2), а треба знайти значення У дня деякого Х який знаходиться між Х1 і Х2. Тоді формула проста.
У = (У2-У1) * (Х-Х1) / (Х2-Х1) + У1
До речі ця формула працює і при значеннях Х поза межами проміжку Х1..Х2, але це вже називається екстрополяцією і за значної відстані від цього проміжку дає дуже велику похибку.
Є багато інших матюків. методів інтерполяції – раджу почитати підручник чи поритися та інеті.
Не виключено так само метод графічної інтерполяції - вручну наріювати графік через відомі точки і для потрібного Х знаходити з графіка У.;)

Роман

У тебе є два значення. І приблизно залежність (лінійна, квадратична, ..)
Графік цієї функції проходить через дві точки. Тобі потрібне значення десь між. Ну, і висловлюєш!
Наприклад. У таблиці при температурі 22 градуси тиск насиченої пари 120000 Па, а при 26 124000 Па. Тоді при температурі 23 градуси 121 000 Па.

Інтерполяція (координат)

Є сітка координат на карті (зображенні).
На ній є деякі відомі опорні точки (n>3), що мають два значення x,y- координати у пікселах, та координати у метрах.
Необхідно знайти проміжні значення координат у метрах, знаючи координати пікселів.
Лінійна інтерполяція не підходить – надто велика похибка за межами лінії.
Ось так: (Xc – коорд. в метрах по ох, Xp – коорд. у пікселах по ох, Xc3 – шукане значення по ох)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Як знайти таку ж формулу для знаходження Xc та Yc, враховуючи не дві (як тут), а N відомих опорних точок?

Joka fern lowd

Судячи з виписаних формул, осі систем координат у пікселах та в метрах збігаються?
Тобто незалежно інтерполюється Xp->Xc і незалежно Yp->Yc. Якщо ні, треба використовувати двовимірну інтерполяцію Xp,Yp->Xc і Xp,Yp->Yc, що дещо ускладнює завдання.
Далі мається на увазі, що координати Xp і Xc пов'язані певною залежністю.
Якщо характер залежності відомий (або передбачається, наприклад, припускаємо, що Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), можна отримати параметри цієї залежності (для наведеної залежності a, b, c) за допомогою регресійного аналізу (Метод найменших квадратів). У цьому методі, якщо поставити певну залежність Xc(Xp) можна отримати формулу для параметрів залежності від опорних даних. Цей метод дозволяє, зокрема, знайти та лінійну залежність, що найкраще задовольняє даному набору даних.
Недолік: У цьому методі координати Xc, отримані за даними опорних точок Xp можуть відрізнятися від заданих. Як наприклад, апроксимаційна пряма проведена за експериментальними точками, не проходить точно через самі ці точки.
Якщо ж потрібна точна відповідність і характеру залежності невідомий, потрібно використовувати інтерполяційні методи. Найпростішим математично є інтерполяційний поліном Лагранжа, який точно проходить через опорні точки. Однак через високий рівень цього полінома при великій кількості опорних точок і поганої якостіінтерполяції, краще не використовувати. Перевагою є порівняно проста формула.
Найкраще використовувати інтерполяцію сплайнами. Суть цього у тому, що у кожному ділянці між двома сусідніми точками, досліджувана залежність інтерполується поліномом, а точках зшивки двох інтервалів записуються умови гладкості. Перевагою цього є якість інтерполяція. Недоліками - практично неможливо вивести загальну формулу, доводиться знаходити коефіцієнти полінома на кожній ділянці алгоритмічно. Іншим недоліком є ​​складність узагальнення двомірну інтерполяцію.

Якщо вимагати, щоб збігалася з табличними значеннями у вибраних вузлах сітки, отримаємо систему

з якої можна визначити параметри Цей спосіб підбору параметрів називається інтерполяцією (точніше, лагранжевою інтерполяцією). За кількістю використовуваних вузлів сітки називатимемо інтерполяцію одноточковою, двоточковою і т.д.

Якщо нелінійно залежить від параметрів, інтерполяцію назвемо нелінійною; у цьому випадку знаходження параметрів із системи (1) може бути важким завданням. Зараз ми розглянемо лінійну інтерполяцію, коли лінійно залежить від параметрів, тобто представимо у вигляді так званого узагальненого багаточлена

Очевидно, функції можна вважати лінійно-незалежними, інакше число членів у сумі та параметрів можна було б зменшити. На систему функцій слід накласти ще одне обмеження. Підставляючи (2) (1), отримаємо для визначення параметрів наступну систему лінійних рівнянь:

Щоб завдання інтерполяції завжди мало єдине рішення, треба, щоб при будь-якому розташуванні вузлів (аби серед них не було збігаються) визначник системи (3) був би відмінний від нуля:

Система функцій, що задовольняють вимогу (4), називається чебишевською. Таким чином, при лінійній інтерполяції треба будувати узагальнений багаточлен за якоюсь чебишевською системою функцій.

Для лінійної інтерполяції найбільш зручні звичайні многочлени, оскільки вони легко обчислюються і клавішній машині і ЕОМ. Інші системи функцій сьогодні майже не використовуються, хоча теоретично докладно розглядають інтерполяцію тригонометричними многочленами і експонентами. Тому ми не наводимо виразу узагальненого многочлена (2) через табульовані значення функції вивести цей вираз нескладно.

Найпростішим і найчастіше використовуваним видом локальної інтерполяції є лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки ( x i , y i) при ( i = 0. 1, ..., n) з'єднуються прямолінійними відрізками, та функція f(x) наближається ламаною з вершинами у даних точках.

Рівняння кожного відрізка ламаної у випадку різні. Оскільки є n інтервалів ( x i - 1, x i), то для кожного з них як рівняння інтерполяційного багаточлена використовується рівняння прямої, що проходить через дві точки. Зокрема, для i-го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точки( x i -1, y i -1 ) та ( x i , y i), у вигляді

y=a i x+b i , x i-1 xx i

a i =

Отже, при використанні лінійної інтерполяції спочатку потрібно визначити інтервал, в який потрапляє значення аргументу х, а потім підставити його у формулу (*) і знайти наближене значення функції у цій точці

Малюнок 3-3 - Графік залежності лінійної інтерполяції.

1. Вирішення професійного завдання

Ведемо експериментальні дані

ORIGIN:=0 Початок масиву даних - рахуємо з нуля

i:=1..6 Кількість елементів у масиві

Експериментальні дані організовані у два вектори

Виконаємо інтерполяцію вбудованими функціями MathCad

Лінійна інтерполяція

Lf(xi):=linterp(x,y,x)

Інтерполяція кубічним спайном

CS: = cspline (x, y)

Будуємо кубічний сплайн за експериментальними даними

Lf(xi):=linterp(x,y,xi)

Інтерполяція В-сплайном

Задаємо порядок інтерполяції. У векторі u має бути на (n-1) менше елементів, ніж у векторі x, причому перший елемент повинен бути меншим або дорівнює першому елементу xа останній - більше або дорівнює останньому елементу x.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Будуємо В-сплайн за експериментальними даними

BSf(xi):=(BS, x,y,xi)

Будуємо графік усіх функцій апроксимації на одній координатній площині.

Малюнок 4.1-Графік усіх функцій апроксимації на одній координатній площині.

Висновок

У обчислювальної математики важливу роль грає інтерполяція функцій, тобто. побудова за заданою функцією інший (зазвичай, простіший), значення якої збігаються із значеннями заданої функції у певному числі точок. Причому інтерполяція має як практичне, і теоретичне значення. На практиці часто виникає завдання відновлення безперервної функції за її табличними значеннями, наприклад, отриманим в ході деякого експерименту. Для обчислення багатьох функцій, виявляється, ефективно наблизити їх до поліномів або дробово-раціональних функцій. Теорія інтерполювання використовується при побудові та дослідженні квадратурних формул для чисельного інтегрування, для одержання методів розв'язання диференціальних та інтегральних рівнянь. Основним недоліком поліноміальної інтерполяції є те, що вона нестійка на одній із найзручніших і найчастіше використовуваних сіток - сітці з рівновіддаленими вузлами. Якщо це завдання, цю проблему можна вирішити за рахунок вибору сітки з Чебишевськими вузлами. Якщо ж ми не можемо вільно вибирати вузли інтерполяції або нам просто потрібен алгоритм, не надто вимогливий до вибору вузлів, то раціональна інтерполяція може бути підходящою альтернативою поліноміальної інтерполяції.

До переваг сплайн-інтерполяції слід віднести високу швидкість обробки обчислювального алгоритму, оскільки сплайн - це шматково-поліноміальна функція і при інтерполяції одночасно обробляються дані по невеликій кількості точок вимірювань, що належать до фрагмента, що розглядається в даний момент. Інтерполірована поверхня описує просторову мінливість різного масштабу і водночас є гладкою. Остання обставина уможливлює прямий аналіз геометрії та топології поверхні з використанням аналітичних процедур.

(0,1) (2,5) (4,17)
Find equation

Tool to find the ecuation of a function. Lagrange Interpolating Polynomial є методом для визначення еквівалії, що відповідають curve have dots coordinates of it.

Answers to Questions

dCode allow to use the Lagrangian method for interpolating a Polynomial and finds back the original using known points (x,y) values.

Example: By knowledgeof the points \((x,y) \) : \((0,0),(2,4),(4,16) \) Polynomial Lagrangian Interpolation метод дозволить find back \(y = x^2 \). Після того, як звільняється, interpolating функція \(f(x) = x^2 \) дозволяє виміряти значення для \(x = 3 \), тут \(f(x) = 9 \).

Lagrange interpolation method дозволяє до хорошого approximation of polynomial functions.

Існують інші interpolation formulas (іншими словами Lagrange/Rechner) так само, як Neville interpolation isavailable online на dCode.

Ви можете edit this Q&A (add new info, improve translation, etc.) " itemscope="" itemtype="http://schema.org/Question">

What є limits для Interpolating with Lagrange?

Відтоді складність калькуляцій збільшується з числом пунктів, програма є обмеженою до 25 coordinates (з різними x-відповідями в Q).

Ask a new question

Source code

dCode retains ownership of source code of script Lagrange Interpolating Polynomial online. Except explicit open source licenci (indicated Creative Commons / free), any algorithm, applet, snippet, software (converter, solver, encryption/decryption, encoding/decoding, ciphering/deciphering, translator), або any function (convert, solve, decry , encrypt, decipher, cipher, decode, code, translate) написані в будь-якій інформаційній англійській мові (PHP, Java, C#, Python, Javascript, Matlab, etc.), які dCode owns rights не буде виконано для безкоштовного. Download Lagrange Interpolating Polynomial script for offline use on PC, iPhone or Android, ask for price quote on