Правильний багатогранник. Урок креслення "Геометричні тіла. Комплексні креслення багатогранників" Геометричне тіло, що складається з 6 граней
Розділи: Технологія
Цілі уроку:
- закріпити знання про геометричні тіла, вміння та навички з побудови креслень багатогранників;
- розвивати просторові уявлення та просторове мислення;
- формувати графічну культуру.
Тип уроку:комбінований.
Оснащення уроку:інтерактивна дошка MIMIO, мультимедійний проектор, комп'ютери, проект mimo для інтерактивної дошки, мультимедійна презентація, програма "Компас-3D LT".
ХІД УРОКУ
I. Організаційний момент
1. Привітання;
2. Перевірка явки учнів;
3. Перевірка готовності до уроку;
4. Заповнення класного журналу (та електронного)
ІІ. Повторення раніше вивченого матеріалу
На інтерактивній дошці відкрито проект mimo
Аркуш 1.На уроках математики ви вивчали геометричні тіла. Декілька тіл ви бачите на екрані. Давайте згадаємо їхні назви. Учні дають назви геометричним тілам, якщо є труднощі – допомагаю. (Мал. 1).
1 – чотирикутна призма
2 – усічений конус
3 – трикутна призма
4 – циліндр
5 – шестикутна призма
6 – конус
7 – куб
8 – усічена шестикутна піраміда
Аркуш 4. Завдання 2. Дано геометричні тіла та назви геометричних тіл. Викликаємо учня до дошки і разом із ним перетягуємо багатогранники і тіла обертання під назви, та був перетягуємо назви геометричних тіл (рис. 2).
Робимо висновок, що всі тіла поділяються на багатогранники та тіла обертання.
Включаємо презентацію «Геометричні тіла» ( додаток ). Презентація містить 17 слайдів. Можна використовувати презентацію на кількох уроках, що містить додатковий матеріал (слайди 14-17). Зі слайду 8 є гіперпосилання на Презентацію 2 (розгортки куба). Презентація містить 2 слайд, на якому зображено 11 розгорток куба (вони є посиланнями на відеоролики). На уроці використано інтерактивну дошку MIMIO, а також учні працюють на комп'ютерах (виконання практичної роботи).
Слайд 2Усі геометричні тіла поділяються на багатогранники та тіла обертання. Багатогранники: призма та піраміда. Тіла обертання: циліндр, конус, куля, тор. Схему учні перекреслюють у робочий зошит.
ІІІ. Пояснення нового матеріалу
Слайд 3.Розглянемо піраміду. Записуємо визначення піраміди. Вершина піраміди – загальна вершина всіх граней, що позначається буквою S. Висота піраміди – перпендикуляр, опущений з вершини піраміди (Рис. 3).
Слайд 4.Правильна піраміда. Якщо основа піраміди – правильний багатокутник, а висота опускається в центр основи, то – піраміда правильна.
У правильній піраміді всі бічні ребра рівні, всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники.
Висота трикутника бічної грані правильної піраміди. апофема правильної піраміди.
Слайд 5.Анімація побудови правильної шестикутної піраміди із позначенням її основних елементів (Рис. 4).
Слайд 6. Записуємо у зошит визначення призми. Призма – багатогранник, у якого дві основи (рівні, паралельно розташовані багатокутники), а бічні грані паралелограми. Призма може бути чотирикутною, п'ятикутною, шестикутною тощо. Призма називається за фігурою, що лежить у основі. Анімація побудови правильної шестикутної призми із позначенням її основних елементів (Рис. 5).
Слайд 7.Правильна призма – це пряма призма, основу якої лежить правильний багатокутник. Паралелепіпед – правильна чотирикутна призма (Рис. 6).
Слайд 8.Куб - паралелепіпед, всі грані якого квадрати (Рис. 7).
(Додатковий матеріал: на слайді є гіперпосилання на презентацію з розгортками куба, всього 11 різних розгорток).
Слайд 9.Записуємо визначення циліндра. Тіло обертання - циліндр, утворене обертанням прямокутника навколо осі, що проходить через одну з його сторін. Анімація одержання циліндра (Рис. 8).
Слайд 10.Конус - тіло обертання, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо осі, що проходить через один з його катет (Рис.9).
Слайд 11.Усічений конус - тіло обертання, утворене обертанням прямокутної трапеції навколо осі, що проходить через її висоту (Рис. 10).
Слайд 12.Куля – тіло обертання, утворене обертанням кола навколо осі, що проходить через його діаметр (Мал. 11).
Слайд 13.Тор - тіло обертання, утворене обертанням кола навколо осі, паралельної діаметру кола (Рис. 12).
Учні записують визначення геометричних тіл у зошит.
IV. Практична робота «Побудова креслення правильної призми»
Перемикаємось на проект mimio
Аркуш 7. Дана трикутна правильна призма. В основі лежить правильний трикутник. Висота призми = 70 мм, а сторона основи = 40 мм. Розглядаємо призму (напрямок головного виду показано стрілкою), визначаємо плоскі фігури, які ми побачимо у вигляді спереду, зверху та зліва. Витягуємо зображення видів та розставляємо на полі креслення (Рис. 13).
Учні самостійно виконують креслення правильної шестикутної призми у програмі «Компас – 3D». Розміри призми: висота – 60 мм, діаметр описаного кола навколо основи – 50 мм.
Побудова креслення з виду зверху (Рис. 14).
Потім будується вид спереду (Мал. 15).
Потім будується вид зліва і наносяться розміри (рис. 16).
Роботи перевіряються та зберігаються на комп'ютерах учнями.
V. Додатковий матеріал на тему
Слайд 14. Правильна зрізана піраміда (Рис. 17).
Слайд 15.Піраміда, усічена похилою площиною (Рис. 18).
Слайд 16.Розгортання правильної трикутної піраміди (Рис. 19).
Слайд 17.Розгорнення паралелепіпеда (Рис. 20).
Будь-яке геометричне тіло складається з оболонки, тобто зовнішньої поверхні, і будь-якого матеріалу, що його наповнює (рис. 42). Кожне геометричне тіло має свою форму, яка відрізняється за складом, структурою та розмірами.
Склад форми геометричного тіла - перелік відсіків поверхонь, що становлять його (табл. 4). Так, форма прямокутного паралелепіпеда складається з шести відсіків, поверхонь (гранів): дві з них є основами паралелепіпеда, а решта чотирьох відсіків утворюють замкнуту опуклу ламану поверхню, звану бічною поверхнею.
Рис 42. Геометричне тіло: 1 – оболонка; 2 - відсіки поверхонь, що утворюють оболонку тіла
Структура форми геометричного тіла - характеристика форми, що показує взаємозв'язок та розташування відсіків поверхонь щодо один одного (див. рис. 44).
Ці характеристики взаємопов'язані і найбільшою мірою визначають форму геометричного тіла та будь-якого іншого об'єкта.
За формою прості геометричні тіла поділяються на багатогранники та тіла обертання.
Площина є окремим випадком поверхні.
Багатогранники - геометричні тіла, оболонка яких утворена відсіками площин (рис. 43 а).
Грані - відсіки площин, що становлять поверхню (оболонку) багатогранника; ребра - відрізки прямих, якими перетинаються грані; вершини – кінці ребер.
Тіла обертання - геометричні тіла (рис. 43, б), оболонка яких є поверхнею обертання (наприклад, куля) або складається з відсіку поверхні обертання та одного (двох) відсіку площин (наприклад, конус, циліндр тощо).
Рис. 43. Багатогранники (а) та тіла обертання (б): 1 – оболонка геометричного тіла;
2 - відсіки площин; 3 - відсіки поверхонь обертання
4. Склад простих геометричних тіл
Структура форми впливає зовнішній вигляд геометричного тіла. Розглянемо це на прикладі прямого та похилого циліндрів (рис. 44), відсіки основ яких по-різному розташовані відносно один одного.
Рис. 44. Структурні відмінності у формі циліндрів
Рис. 45. Зміни форми циліндрів
Рис. 46. Чотирикутні піраміди різної форми
Порівнюючи зображення циліндрів малюнку 45, можна дійти невтішного висновку, що зміна становища однієї з підстав призводить до зміни форми геометричного тіла.
Зміна висоти, ширини, довжини, діаметра основи, кута нахилу осьової, положення основ щодо один одного суттєво впливає на форму геометричних тіл. Наприклад, розгляньте чотирикутні піраміди різної форми (рис. 46).
Рис. 47. Геометричні тіла
Багатогранники як займають чільне місце у геометрії, а й зустрічаються у повсякденному житті кожної людини. Не кажучи вже про штучно створені предмети побуту у вигляді різних багатокутників, починаючи з сірникової коробки і закінчуючи архітектурними елементами, в природі також зустрічаються кристали у формі куба (сіль), призми (кришталь), піраміди (шеєліт), октаедра (алмаз) і т.д. д.
Поняття багатогранника, види багатогранників у геометрії
Геометрія як наука містить розділ стереометрію, що вивчає характеристики та властивості об'ємних тіла, сторони яких у тривимірному просторі утворені обмеженими площинами (гранями), звуться "багатогранники". Види багатогранників налічують не один десяток представників, що відрізняються кількістю та формою граней.
Проте у всіх багатогранників є спільні властивості:
- Всі вони мають 3 невід'ємні компоненти: грань (поверхня багатокутника), вершина (кути, що утворилися в місцях з'єднання граней), ребро (сторона фігури або відрізок, утворений у місці стику двох граней).
- Кожне ребро багатокутника з'єднує дві, і лише дві грані, які один до одного є суміжними.
- Випуклість означає, що тіло повністю розташоване лише з одного боку площині, де лежить одна з граней. Правило застосовується до всіх меж багатогранника. Такі геометричні фігури у стереометрії називають терміном опуклі багатогранники. Виняток становлять зірчасті багатогранники, які є похідними правильних багатогранних геометричних тіл.
Багатогранники можна умовно поділити на:
- Види опуклих багатогранників, які з наступних класів: звичайні чи класичні (призму, піраміда, паралелепіпед), правильні (також звані Платоновими тілами), напівправильні (друга назва - Архімедові тіла).
- Невипуклі багатогранники (зіркові).
Призма та її властивості
Стереометрія як розділ геометрії вивчає властивості тривимірних фігур, види багатогранників (призму у тому числі). Призмою називають геометричне тіло, яке має обов'язково дві абсолютно однакові грані (їх також називають основами), що лежать у паралельних площинах, і n-е число бічних граней у вигляді паралелограмів. У свою чергу, призма має також кілька різновидів, серед яких такі види багатогранників, як:
- Паралелепіпед - утворюється, якщо в основі лежить паралелограм - багатокутник з 2 парами рівних протилежних кутів та двома парами конгруентних протилежних сторін.
- має перпендикулярні до основи ребра.
- характеризується наявністю непрямих кутів (відмінних від 90) між гранями та основою.
- Правильна призма характеризується основами у вигляді рівними бічними гранями.
Основні властивості призми:
- Конгруентні основи.
- Усі ребра призми рівні та паралельні по відношенню один до одного.
- Усі бічні грані мають форму паралелограма.
Піраміда
Пірамідою називають геометричне тіло, яке складається з однієї основи та з n-го числа трикутних граней, що з'єднуються в одній точці - вершині. Слід зазначити, що якщо бічні грані піраміди представлені обов'язково трикутниками, то в основі може бути як трикутний багатокутник, так і чотирикутник і п'ятикутник, і так до нескінченності. При цьому назва піраміди буде відповідати багатокутнику в основі. Наприклад, якщо в основі піраміди лежить трикутник - це , чотирикутник - чотирикутна, і т.д.
Піраміди – це конусоподібні багатогранники. Види багатогранників цієї групи, крім перелічених вище, включають також наступних представників:
- має в основі правильний багатокутник, і висота її проектується в центр кола, вписаного в основу або описаного навколо нього.
- Прямокутна піраміда утворюється тоді, коли одна з бічних ребер перетинається з основою під прямим кутом. У такому випадку це ребро можна назвати висотою піраміди.
Властивості піраміди:
- Якщо всі бічні ребра піраміди конгруентні (однакової висоти), всі вони перетинаються з основою під одним кутом, а навколо основи можна прокреслити коло з центром, що збігаються з проекцією вершини піраміди.
- Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник, то всі бічні ребра є конгруентними, а грані є рівнобедреними трикутниками.
Правильний багатогранник: види та властивості багатогранників
У стереометрії особливе місце займають геометричні тіла з абсолютно рівними між собою гранями, у вершинах яких з'єднується однакова кількість ребер. Ці тіла отримали назву Платонові тіла, чи правильні багатогранники. Види багатогранників з такими властивостями налічують лише п'ять фігур:
- Тетраедр.
- Гексаедр.
- Октаедр.
- Додекаедр.
- Ікосаедр.
Своєю назвою правильні багатогранники завдячують давньогрецькому філософу Платону, який описав ці геометричні тіла у своїх працях і зв'язав їх із природними стихіями: землі, води, вогню, повітря. П'ятій фігурі присуджували схожість із будовою Всесвіту. На його думку, атоми природних стихій формою нагадують види правильних багатогранників. Завдяки своїй захоплюючій властивості - симетричності, ці геометричні тіла становили великий інтерес не тільки для древніх математиків і філософів, але і для архітекторів, художників і скульпторів усіх часів. Наявність лише 5 видів багатогранників з абсолютною симетрією вважалося фундаментальною знахідкою, їм навіть присуджували зв'язок з божественним початком.
Гексаедр та його властивості
У формі шестигранника наступники Платона припускали схожість із будовою атомів землі. Звичайно ж, в даний час ця гіпотеза повністю спростована, що, однак, не заважає постатям і в сучасності залучати уми відомих діячів своєю естетичністю.
У геометрії гексаедр, він же куб, вважається окремим випадком паралелепіпеда, який, у свою чергу, є різновидом призми. Відповідно і властивості куба пов'язані з тією лише різницею, що всі грані та кути куба рівні між собою. З цього випливають такі характеристики:
- Всі ребра куба конгруентні і лежать у паралельних площинах один до одного.
- Всі грані - конгруентні квадрати (всього в кубі їх 6), кожен з яких може бути прийнятий за основу.
- Усі міжгранні кути дорівнюють 90.
- З кожної вершини виходить рівну кількість ребер, саме 3.
- Куб має 9 які всі перетинаються в точці перетину діагоналей гексаедра, що називається центром симетрії.
Тетраедр
Тетраедр – це чотиригранник з рівними гранями у формі трикутників, кожна з вершин яких є точкою з'єднання трьох граней.
Властивості правильного тетраедра:
- Усі грані тетраеду - це з чого випливає, що всі грані чотиригранника конгруентні.
- Так як основа представлена правильною геометричною фігурою, тобто має рівні сторони, то і грані тетраедра сходяться під однаковим кутом, тобто усі кути рівні.
- Сума плоских кутів при кожній з вершин дорівнює 180, тому що всі кути рівні, будь-який кут правильного чотиригранника становить 60.
- Кожна з вершин проектується на точку перетину висот протилежної (ортоцентр) грані.
Октаедр та його властивості
Описуючи види правильних багатогранників, не можна не відзначити такий об'єкт, як октаедр, який візуально можна подати у вигляді двох склеєних основ чотирикутних правильних пірамід.
Властивості октаедра:
- Сама назва геометричного тіла нагадує кількість його граней. Восьмигранник складається з 8 конгруентних рівносторонніх трикутників, у кожній з вершин якого сходиться рівна кількість граней, а саме 4.
- Так як усі грані октаедра рівні, рівні та його міжгранні кути, кожен з яких дорівнює 60, а сума плоских кутів будь-якої з вершин становить, таким чином, 240.
Додекаедр
Якщо уявити, що всі грані геометричного тіла є правильним п'ятикутником, то вийде додекаедр - фігура з 12 багатокутників.
Властивості додекаедру:
- У кожній вершині перетинаються три грані.
- Усі грані рівні та мають однакову довжину ребер, а також рівну площу.
- У додекаедра 15 осей та площин симетрії, причому кожна з них проходить через вершину грані та середину протилежного їй ребра.
Ікосаедр
Не менш цікава, ніж додекаедр, фігура ікосаедр є об'ємним геометричним тілом з 20 рівними гранями. Серед властивостей правильного двадцятигранника можна відзначити такі:
- Всі грані ікосаедра - рівнобедрені трикутники.
- У кожній вершині багатогранника сходиться п'ять граней, сума суміжних кутів вершини становить 300.
- Ікосаедр має так само, як і додекаедр, 15 осей та площин симетрії, що проходять через середини протилежних граней.
Напівправильні багатокутники
Крім Платонових тіл, до групи опуклих багатогранників входять також Архімедові тіла, які є усіченими правильними багатогранниками. Види багатогранників цієї групи мають такі властивості:
- Геометричні тіла мають попарно рівні грані кількох типів, наприклад, усічений тетраедр має так само, як і правильний тетраедр, 8 граней, але у випадку Архімедова тіла 4 грані будуть трикутної формиі 4 – шестикутною.
- Усі кути однієї вершини конгруентні.
Зірчасті багатогранники
Представники необ'ємних видів геометричних тіл – зірчасті багатогранники, грані яких перетинаються один з одним. Вони можуть бути утворені шляхом злиття двох правильних тривимірних тіл або в результаті їх продовження граней.
Таким чином, відомі такі зірчасті багатогранники, як: зірчасті форми октаедра, додекаедра, ікосаедра, кубооктаедра, ікосододекаедра.
ТЕОРІЯ МНОГОГРАНИКІВ
Гранні геометричні тіла
Граним геометричним тілом або багатогранником називають частину простору, обмежену сукупністю кінцевого числа плоских багатокутників, з'єднаних таким чином, що кожна сторона будь-якого багатокутника є стороною іншого одного багатокутника (називається суміжним), причому навколо кожної вершини існує один цикл багатокутників. Спрощуючи вищевикладене визначення, отримуємо визначення багатогранника, знайоме зі шкільного підручника.
Багатогранник- геометричне тіло, обмежене з усіх боків плоскими багатокутниками, які називаються гранями. Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а кінці ребер – вершинами багатогранника.
З історії
Грецька математика, у якій вперше з'явилася теорія багатогранників, розвивалася під впливом знаменитого мислителя Платона.
Платон(427–347 до н.е.) – великий давньогрецький філософ, засновник Академії та родоначальник традиції платонізму. Одним із суттєвих рис його вчення є розгляд ідеальних об'єктів – абстракцій. Математика, взявши на озброєння ідеї Платона, з часів Евкліда вивчає абстрактні, ідеальні об'єкти. Однак і сам Платон, і багато давніх математиків вкладали в термін ідеальний не лише сенс абстрактний, а й сенс найкращий. Відповідно до традиції, що йде від стародавніх математиків, серед усіх багатогранників найкращі ті, які мають своїми гранями правильні багатокутники.
Багатогранники можна класифікувати за кількома ознаками: наприклад, за кількістю граней розрізняють чотиригранники, п'ятигранники тощо.
Розрізняють правильні та напівправильні багатогранники. Правильними називають такі багатогранники, які мають усі грані - правильні рівні багатокутники і всі кути при вершинах рівні. Якщо гранями багатогранника є різніправильні багатокутники, виходить багатогранник, який називається напівправильним (рівнокутно напівправильним). Напівправильним багатогранником називається опуклий багатогранник, гранями якого є правильні багатокутники (можливо і з різним числом сторін), і всі багатогранні кути рівні.
Крім правильних і напівправильних багатогранників, красиві форми мають так звані правильні зірчасті багатогранники. Вони виходять із правильних багатогранників продовженням граней чи ребер аналогічно до того, як правильні зірчасті багатокутники виходять продовженням сторін правильних багатокутників.
З багатьох багатогранників виділимо найбільш відомі: призму і піраміду (рис. 1).
Призмою називають багатогранник, у якого дві однакові взаємно паралельні грані – основи, а решта – бічні грані – паралелограми.
Піраміда є багатогранником, у якого одна грань - довільний багатокутник - приймається за основу, а інші грані (бічні) - трикутники із загальною вершиною, званою вершиною піраміди.
На рис. 2 представлені кілька призм та пірамід. Піраміда, основа якої має форму трикутника, називається трикутною пірамідою. Так, можна говорити про квадратні, п'ятикутні і т.д. піраміда рис. 2, аі 2, б. Підставою трикутної піраміди може бути будь-яка грань.
На рис. 2, в, 2, гі 2, днаведено приклади деякого класу багатогранників, вершини яких можна розділити на дві множини з однакового числа точок; точки кожної з цих множин є вершинами р-кутника, причому площини обох p-кутників паралельні. Якщо ці два р-кутники (основи) конгруентні і розташовані так, що вершини одного р-кутника з'єднані з вершинами іншого р-кутника паралельними прямолінійними відрізками, такий багатогранник називається р-кутової призмою. Прикладами двох р-кутових призм можуть бути трикутна призма (р = 3) на рис. 2, вта п'ятикутна призма (р = 5) на рис. 2, г. Якщо ж підстави розташовані так, що вершини одного р-кутника з'єднані з вершинами іншого р-кутника зигзагоподібною ламаною, що складається з 2р прямолінійних відрізків, як на рис. 2, д, то такий багатогранник називається р-кутової антипризмою.
Крім двох підстав, у р-кутової призми є р граней - паралелограмів. Якщо паралелограми мають форму прямокутників, то призма називається прямою. У такої призми ребра бічних граней перпендикулярні до основи. Призму, у якої основи не паралельні, називають усіченою.
2. Правильні багатогранники.Випуклий багатогранник називається правильним, якщо він задовольняє наступним двом умовам:
Усі його грані – конгруентні правильні багатокутники;
До кожної вершини примикає одне й те число граней.
Якщо всі грані правильного багатогранника правильні багатокутники, то у правильних багатогранниках усі плоскі, багатогранні та двогранні кути рівні.
Якщо всі грані - правильні р-кутники і з них q примикають до кожної вершини, то такий правильний багатогранник позначається (p, q). Перше число в дужках вказує скільки сторін у кожної грані, друге - число граней, що примикають до кожної вершини. Це позначення було запропоновано Л. Шлефлі (1814-1895), швейцарським математиком, якому належить чимало витончених результатів у геометрії та математичному аналізі. Існують неопуклі багатогранники, у яких грані перетинаються і які називаються "правильними зірчастими багатогранниками". У геометрії умовно під правильними багатогранниками розуміють винятково опуклі правильні багатогранники.
Правильні багатогранники іноді називають Платоновими тілами, оскільки вони займають чільне місце у філософській картині світу, розробленої великим мислителем Стародавню ГреціюПлатоном.
Існує 5 видів правильних багатогранників: тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.
ТЕТРАЕДР – правильний багатогранник, поверхня якого складається із чотирьох правильних трикутників.
ГЕКСАЕДР (КУБ) – правильний багатогранник, поверхня якого складається із шести правильних чотирикутників (квадратів)
ОКТАЕДР – правильний багатогранник, поверхня якого складається з восьми правильних трикутників.
Додекаедр - правильний багатогранник, поверхня якого складається з дванадцяти правильних п'ятикутників.
ІКОСАЕДР – правильний багатогранник, поверхня якого складається із двадцяти правильних трикутників.
Назви цих багатогранників прийшли з Стародавньої Греції, і в них вказується кількість граней:
"едра" - грань;
"тетра" - 4;
"Гексу" - 6;
"окта" - 8;
"ікоса" - 20;
"Додека" - 12.
На рис. 3 зображені правильні багатогранники
З історії
Платон вважав, що світ будується з чотирьох «віршів» - вогню, землі, повітря та води, а атоми цих «віршів» мають форму чотирьох правильних багатогранників. Тетраедр уособлював вогонь, оскільки його вершина спрямована вгору, як у полум'я, що розгорілося; ікосаедр – як самий обтічний – воду; куб – найстійкіша з фігур – землю, а октаедр – повітря. В наш час цю систему можна порівняти з чотирма станами речовини – твердим, рідким, газоподібним та полум'яним. П'ятий багатогранник – додекаедр символізував увесь світ і вважався найголовнішим. Це була одна з перших спроб увести в науку ідею систематизації.
Давні греки розглядали додекаедр як форму Всесвіту. Ними досліджувалися також багато геометричні властивості платонових тіл; з плодами їх досліджень можна ознайомитися за 13-ю книгою Початок Евкліда.
Вивчення платонових тіл і пов'язаних із ними фігур триває й досі. І хоча основними мотивами сучасних досліджень є краса і симетрія, вони мають також і деяке наукове значення, особливо в кристалографії. Кристали кухонної солі, тіоантимоніду натрію і хромових галунів зустрічаються в природі у вигляді куба, тетраедра та октаедра відповідно. Ікосаедр і додекаедр серед кристалічних форм не зустрічаються, але їх можна спостерігати серед мікроскопічних форм морських організмів, відомі під назвою радіолярій.
Властивості правильних багатогранників. Вершини будь-якого правильного багатокутника лежать на сфері (що навряд чи здивує, якщо згадати, що вершини будь-якого правильного багатокутника лежать на колі). Крім цієї сфери, яка називається "описаною сферою", є ще дві важливі сфери. Один з них, " середня сфера " , проходить через середини всіх ребер, іншу, " вписана сфера " , стосується всіх граней у тому центрах. Усі три сфери мають загальний центр, який називається центром багатогранника.
Число правильних багатогранників. Звичайно запитати, чи існують крім платонових тіл інші правильні багатогранники.
Платонові тіла – тривимірний аналог плоских правильних багатокутників. Однак між двовимірним і тривимірним випадками є важлива відмінність: існує безліч різних правильних багатокутників, але лише п'ять різних правильних багатогранників. Доказ цього факту відомий вже понад дві тисячі років; цим доказом та вивченням п'яти правильних тіл завершуються Початки Евкліда
Як показують такі прості міркування, відповідь має бути негативною. Нехай (p, q) – довільний правильний багатогранник. Так як його гранями служать правильні р-кутники, їх внутрішні кути, як неважко показати, рівні (180-360/р) або 180 (1-2/р) градусам. Так як багатогранник (p, q) опуклий, сума всіх внутрішніх кутів по граням, що примикають до будь-якої з його вершин, повинна бути меншою за 360 градусів. Але до кожної вершини примикають q граней, тому має виконуватися нерівність.
де символ< означает "меньше чем". После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду
Неважко бачити, що p і q повинні бути більшими за 2. Підставляючи в (1) р = 3, ми виявляємо, що єдиними допустимими значеннями q у цьому випадку є 3, 4 і 5, тобто. отримуємо багатогранники (3, 3), (3, 4) та (3, 5). При р = 4 єдиним допустимим значенням є 3, тобто. багатогранник (4, 3), при р = 5 нерівності (1) також задовольняє лише q = 3, тобто. багатогранник (5, 3). При p > 5 допустимих значень q немає. Отже, інших правильних багатогранників, крім тіл Платона, немає.
3. Напівправильні багатогранники.Вище ми розглянули правильні багатогранники, тобто. такі опуклі багатогранники, гранями яких є рівні правильні багатокутники, й у кожній вершині яких сходиться однакове число граней. Якщо цьому визначенні допустити, щоб гранями багатогранника могли бути різні правильні багатокутники, то отримаємо багатогранники, які називаються напівправильними (рівнокутно напівправильними).
Напівправильним багатогранником називається опуклий багатогранник, гранями якого є правильні багатокутники (можливо і з різним числом сторін), і всі багатогранні кути рівні.
До напівправильних багатогранників відносяться правильні n-вугільні призми, всі ребра яких рівні. Наприклад, правильна п'ятикутна призма малюнку 4, амає своїми гранями два правильні п'ятикутники - основи призми і п'ять квадратів, що утворюють бічну поверхню призми. До напівправильних багатогранників відносяться і так звані антипризми. На малюнку 4, ббачимо п'ятикутну антипризму, отриману з п'ятикутної призми поворотом однієї з підстав щодо іншого на кут 36. Кожна вершина верхньої та нижньої підстав з'єднана з двома найближчими вершинами іншої підстави.
а Б В
Крім цих двох нескінченних серій напівправильних багатогранників є ще 13 напівправильних багатогранників, які вперше відкрив і описав Архімед - це тіла Архімеда.
Найпростіші з них виходять з правильних багатогранників операцією "усічення", що полягає у відсіканні площинами кутів багатогранника. Якщо зрізати кути тетраедра площинами, кожна з яких відсікає третину його ребер, що виходять з однієї вершини, то отримаємо зрізаний тетраедр, що має вісім граней (рис. 4, в). З них чотири – правильні шестикутники та чотири – правильні трикутники. У кожній вершині цього багатогранника сходяться три грані.
Якщо вказаним чином зрізати вершини октаедра та ікосаедра, то отримаємо відповідно усічений октаедр (рис. 5, а) та усічений ікосаедр (рис. 5, б). Зверніть увагу на те, що поверхню футбольного м'яча виготовляють у формі поверхні зрізаного ікосаедра. З куба та додекаедра також можна отримати усічений куб (рис. 5, в) та усічений додекаедр (рис. 5, г).
а Б В Г
Ми розглянули 4 із 13 описаних Архімедом напівправильних багатогранників. Решта - багатогранники більш складного типу.
З історії
Дуже оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, де він спробував пов'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетам виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників (Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, якими, згідно з цією гіпотезою, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описано октаедр. Цей октаедр вписаний у сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр.
Серйозний крок у науці багатогранниках було зроблено у XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783), який без перебільшення «повірив алгеброю гармонію». Теорема Ейлера про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доказ якої Ейлер опублікував у 1758 р. у «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок у різноманітному світі багатогранників.
Вершини + Грані – Ребра = 2.
Елементи симетрії правильних багатогранників
Деякі з правильних і напівправильних тіл зустрічаються у природі як кристалів, інші - як вірусів, найпростіших мікроорганізмів
Зірчасті багатогранники
Зірчасті багатогранники виходять із правильних багатогранників продовженням граней або ребер аналогічно до того, як правильні зірчасті багатокутники виходять продовженням сторін правильних багатокутників.
Перші два правильні зірчасті багатогранники були відкриті І. Кеплером (1571-1630), а два інших майже 200 років побудував французький математик і механік Л. Пуансо (1777-1859). Саме тому правильні зірчасті багатогранники називаються тілами Кеплера Пуансо.
У роботі "Про багатокутники і багатогранники" (1810) Пуансо описав чотири правильні зірчасті багатогранники, але питання про існування інших таких багатогранників залишалося відкритим. Відповідь на нього була дана через рік, в 1811 році, французьким математиком О. Коші (1789-1857). У роботі "Дослідження про багатогранники" він довів, що інших правильних зірчастих багатогранників не існує.
Розглянемо питання, з яких правильних багатогранників можна отримати правильні зірчасті багатогранники. З тетраедра, куба та октаедра правильні зірчасті багатогранники не виходять. Візьмемо додекаедр. Продовження його ребер призводить до заміни кожної грані правильним зірчастим п'ятикутником (рис. 30, а), і в результаті виникає багатогранник, який називається малим зірчастим додекаедром (рис. 30, б).
При продовженні граней додекаедра з'являються дві можливості. По-перше, якщо розглядати правильні п'ятикутники, то вийде так званий великий додекаедр (рис. 31). Якщо ж, по-друге, як грані розглядати зірчасті п'ятикутники, то виходить великий зірчастий додекаедр (рис. 32).
Ікосаедр має одну зірчасту форму. При продовженні граней правильного ікосаедра виходить великий ікосаедр (рис. 33).
Таким чином, існують 4 типи правильних зірчастих багатогранників.
Зірчасті багатогранники дуже декоративні, що дозволяє широко застосовувати їх у ювелірній промисловості під час виготовлення різноманітних прикрас.
Багато форм зірчастих багатогранників нагадує сама природа. Сніжинки – це зірчасті багатогранники (рис 34). З давніх-давен люди намагалися описати всі можливі типи сніжинок, становили спеціальні атласи. Зараз відомо кілька тисяч різних типів сніжинок.
Подібна інформація.