Часто значення інтерпольованої функції у, у2 , ..., у "визначаються з експерименту з деякими помилками, тому користуватися точним наближенням в вузлах інтерполяції нерозумно. У цьому випадку більш природно наближати функцію не по точкам, а в середньому,т. е. в одній з норм L p.

Простір 1 р - безліч функцій д (х),визначених на відрізку [А, Ь]і інтегруються по модулю з р-м ступенем, Якщо визначена норма

Збіжність в такій нормі називається збіжністю в середньому.Простір 1,2 називається Гільбертовим, а збіжність в ньому - середньоквадратичної.

Нехай задані функція Дх) і безліч функцій ф (х) з деякого лінійного нормованого простору. В контексті проблеми інтерполяції, апроксимації та наближення можна сформулювати наступні два завдання.

перше завдання- це апроксимація із заданою точністю, т. Е. По заданому езнайти таку ф (х), щоб виконувалася нерівність | [Дх) - ф (х) || г ..

Друге завдання- це пошук найкращого наближення,т. е. пошук такої функції ф * (х), яка задовольняє співвідношенню:

Визначимо без докази достатня умова існування най- кращого наближення. Для цього в лінійному просторі функцій виберемо безліч, параметризрвані виразом

де набір функцій ф [(х), ..., ф "(х) будемо вважати лінійно незалежним.

Можна показати, що в будь-якому нормированном просторі при лінійної апроксимації (2.16) найкраще наближення існує, хоча нс у всякому лінійному просторі він єдиний.

Розглянемо гільбертовому просторі ЬгСр) дійсних функцій, інтегрованих з квадратом з вагою р (х)> 0 на [, де скалярний твір ( g, h) Визначено по

формулою:

Підставляючи в умова найкращого наближення лінійну комбінацію (2.16), знаходимо

Прирівнюючи до нуля похідні по коефіцієнтам (Д, k= 1, ..., П, отримаємо систему лінійних рівнянь

Визначник системи рівнянь (2.17) називається визначником гра- ма. Визначник грама відмінний від нуля, оскільки вважається, що система функцій ф [(х), ..., ф "(х) лінійно незалежна.

Таким чином, найкраще наближення існує і єдино. Для його отримання необхідно вирішити систему рівнянь (2.17). Якщо система функцій ф1 (х), ..., ф "(х) ортогоналізірована, т. Е. (Ф /, ф,) = 5у, де 5, = 1, 8У = О, Щ,ij = 1, ..., п,то система рівнянь може бути вирішена у вигляді:

Знайдені згідно (2.18) коефіцієнти Q, ..., й пназиваються коефіцієнтами узагальненого ряду Фур'є.

Якщо набір функцій ф t (X), ..., ф "(х), ... утворює повну систему, то в силу рівності Парсеваля при П - "зі норма похибки необмежено убуває. Це означає, що наілучшсс наближення середньоквадратичне сходиться до Дх) з будь-якої заданої точністю.

Відзначимо, що пошук коефіцієнтів найкращого наближення за допомогою рішення системи рівнянь (2.17) практично нсреалізуем, оскільки з ростом порядку матриці Грама її визначник швидко наближається до нуля, і матриця стає погано обумовленою. Рішення системи лінійних рівнянь з такою матрицею призведе до значної втрати точності. Перевіримо це.

Нехай в якості системи функцій ф "i = 1, ..., П, вибираються ступеня, т. Е. Ф * = X 1", 1 = 1, ..., п,тоді, вважаючи як відрізка апроксимації відрізок, знаходимо матрицю Грама

Матрицю Грама виду (2.19) називають ще матрицею Гільберта. Це класичний приклад так званої погано обумовленої матриці.

За допомогою MATLAB розрахуємо визначник матриці Гільберта в формі (2.19) для деяких перших значень п.У лістингу 2.5 приведений код відповідної програми.

лістинг 23

% Обчислення визначника матриць Гільберта% очищаємо робочу область clear all;

% Виберемо максимальне значення порядку% матриці Гільбертаптах = 6;

% Будуємо цикл для формування матриць% Гільберта і обчислення їх визначників

for n = 1: птах d (n) = det (hi I b (п)); end

% Виводимо значення визначників% матриць Гільберта

f о г та t short end

Після відпрацювання коду лістингу 2.5, в командному вікні MATLAB повинні з'явитися значення детермінантів матриць Гільберта для перших шести матриць. У таблиці нижче наведені відповідні чисельні значення порядків матриць (п) і їх визначників (d). З таблиці чітко видно, як швидко визначник матриці Гільберта прагне до нуля при зростанні порядку і, вже починаючи з порядків 5, 6, стає неприйнятно малим.

Таблиця значень визначника матриць Гільберта

Чисельна ортогоналізації системи функцій ф, i = 1, ..., П також призводить до помітної втрати точності, тому щоб враховувати велике число членів в розкладанні (2.16), необхідно або проводити ортогоналізації аналітично, т. Е. Точно, або користуватися вже готової системою ортогональних функцій.

Якщо при інтерполяції зазвичай використовують в якості системи базисних функцій ступеня, то при апроксимації в середньому в якості базисних функцій вибирають многочлени, ортогональні із заданою вагою. Найбільш вживаними з них є многочлени Якобі, окремим випадком яких є многочлени Лежандра і Чебишева. Використовують також поліноми Лагсрра і Ерміта. Більш докладно про ці поліноми можна дізнатися, наприклад, в додатку ортогональні поліномикниги.

У попередньому розділі детально розглянуто один з найпоширеніших способів наближення функцій - інтерполювання. Але цей спосіб не єдиний. При вирішенні різноманітних прикладних задач і побудові обчислювальних схем нерідко використовують і інші способи. У цьому розділі ми розглянемо способи отримання среднеквадратических наближень. Назва наближень пов'язано з метричними просторами, в яких розглядається задача наближення функції. У розділі 1 ми ввели поняття «метричний лінійне нормоване простір» і «метричний евклидово простір» і побачили, що похибка наближення визначається метрикою простору, в якому розглядається задача наближення. У різних просторах поняття похибки має різний зміст. Розглядаючи похибка інтерполяції, ми не акцентували на цьому увагу. А в цьому розділі нам доведеться цим питанням зайнятися більш докладно.

5.1. Наближення тригонометричними многочленами і многочленами Лежандра Простір l2

Розглянемо безліч функцій, інтегрованих з квадратом по Лебегу на відрізку
, Тобто таких, що повинен існувати інтеграл
.

Оскільки виконується очевидне нерівність, з інтегрованості з квадратом функцій
і
повинна слідувати і інтегрованість з квадратом будь їх лінійної комбінації
, (Де
і
 будь-які дійсні числа), а також інтегрованість твори
.

Введемо на безлічі функцій, інтегрованих з квадратом по Лебегу на відрізку
, Операцію скалярного твори

. (5.1.1)

З властивостей інтеграла випливає, що введена операція скалярного твори володіє майже всіма властивостями скалярного твори в евклідовому просторі (див. Параграф 1.10, с. 57):

Тільки перша властивість виконується не до кінця, тобто не буде виконана умова.

Справді, якщо
, То звідси не випливає, що
на відрізку
. Для того щоб введена операція мала цією властивістю, надалі домовимося не розрізняти (вважати еквівалентними) функції
і
, для яких

.

З урахуванням останнього зауваження, ми переконалися, що безліч інтегрованих з квадратом по Лебегу функцій (точніше безліч класів еквівалентних функцій) утворює евклидово простір, в якому визначена операція скалярного твори за формулою (5.1.1). Це простір називають простором Лебега і позначають
або коротше .

Оскільки будь-яке евклидово простір автоматично є і нормованим і метричних, простір
також є нормованим, і метричних простором. Норма (величина елемента) і метрика (відстань між елементами) в ньому зазвичай вводяться стандартним способом:

(5.1.2)

(5.1.3)

Властивості (аксіоми) норми і метрики наведені в параграфі 1.10. елементами простору
не є функції, а класи еквівалентних функцій. Функції, що належать одному класу, можуть мати різні значення на будь-якому кінцевому або навіть рахунковому підмножині
. Тому наближення в просторі
визначаються неоднозначно. Ця неприємна особливість простору
окупається зручностями використання скалярного твори.

Для того щоб згладити дискретні функції Альтмана, і тим самим внести в теорію ідею безперервності, застосовувалося середньоквадратичне інтегральне наближення многочленом різних ступенів.

Відомо, що послідовність інтерполяційних многочленів по рівновіддаленим вузлів не обов'язково збігається до функції, якщо навіть функція нескінченно диференційована. Для що наближається функцій за допомогою відповідного розташування вузлів вдається знизити ступінь полінома. . Структура функцій Альтмана така, що зручніше використовувати наближення функції не за допомогою інтерполяції, а з побудовою найкращого середньоквадратичного наближення в нормованому лінійному просторі. Розглянемо основні поняття і відомості при побудові найкращого наближення. Завдання наближення і оптимізації ставляться в лінійних нормованих просторах.

Метричні і лінійні нормовані простору

До найбільш широким поняттям математики відносяться "безліч" і "відображення". Поняття "безліч", "набір", "сукупність", "сімейство", "система", "клас" в нестрогой теорії множин вважаються синонімами.

Термін "оператор" тотожний терміну "відображення". Терміни "операція", "функція", "функціонал", "міра" - окремі випадки поняття "відображення".

Терміни "структура", "простір" при аксіоматичному побудові математичних теорій також придбав в даний час основну значимість. До математичним структурам належать теоретико-множинні структури (впорядковані і частково впорядковані множини); абстрактно-алгебраїчні структури (напівгрупи, групи, кільця, тіла, поля, алгебри, решітки); диференціальні структури (зовнішні диференціальні форми, розшаровані простору),,,,,,.

Під структурою розуміється кінцевий набір, що складається з безлічі носія (основне безліч), числового поля (допоміжне безліч) і відображення, заданих на елементах носія і числах поля. Якщо в якості носія взято безліч комплексних чисел, то воно відіграє роль і основного, і допоміжного безлічі. Термін "структура" тотожний поняттю "простір".

Щоб задати простір, необхідно перш за все поставити безліч-носія зі своїми елементами (точками), що позначаються латинськими і грецькими літерами

В якості носія можуть виступати безлічі елементів дійсних (або комплексних): чисел; векторів,; Матриць,; Послідовностей,; функцій;

Як елементи носія можуть виступати також безлічі: дійсної осі, площини, тривимірного (і багатовимірного) простору, перестановки, руху; абстрактні безлічі.

Визначення. Метричний простір є структура, яка утворює трійку, де відображення є неотрицательная дійсна функція двох аргументів для будь-яких x і y з M і задовольняє трьом аксіомам.

• 1-- неотрицательность; , При.
• 2 - симетричність;
• 3 - аксіома рефлексивності.

де - це відстані між елементами.

У метричному просторі задається метрика і формується поняття про близькість двох елементів з безлічі носія.

Визначення. Дійсне лінійне (векторне) простір є структура, де відображення - адитивна операція додавання елементів, що належать, а відображення - операція множення числа на елемент з.

Операція означає, що для будь-яких двох елементів однозначно визначений третій елемент, називаний їхньою сумою, який позначають через, причому виконуються наступні аксіоми.

Комутативне властивість.

Асоціативне властивість.

В існує особливий елемент, що позначається через такий, що для будь-якого виконується.

для будь-якого існує, такий, що.

Елемент називається протилежним до і позначається через.

Операція означає, що для будь-якого елемента і будь-якого числа визначено елемент, що позначається через і виконується аксіоми:

Елемент (точки) лінійних простору називається також векторами. Аксіомами 1 - 4 задається група (адитивна), звана модулем і представляє собою структуру.

Якщо операція в структурі не підкоряється ніякими аксіом, то таку структуру називають группоід. Ця структура гранично бідна; в ній немає жодної аксіомі асоціативності, то структура називається моноїд (півгрупа).

У структурі за допомогою відображення і аксіомами 1-8 задається властивість лінійності.

Отже, лінійний простір є груповим модулем, в структуру якого додана ще одна операція - множення елементів носія на число з 4 аксіомами. Якщо замість операції задати поряд з ще одну групову операцію множення елементів з 4 аксіомами і постулювати аксіому дистрибутивности, то виникає структуру, яка називається полем.

Визначення. Лінійне нормоване простір є структура, в якій відображення задовольняє наступні аксіомами:

• 1. причому тоді і тільки тоді, коли.
• 2. , .
• 3. , .

І так в всього 11 аксіом.

Наприклад, якщо в структуру поля дійсних чисел, де - дійсні числа, додати модуль, що володіє всіма трьома властивостями норми, то поле дійсних чисел стає нормованим простором

Поширені два способу введення норми: або шляхом явного завдання інтервального вигляду однорідно-опуклого функціоналу, або шляхом завдання скалярного твір,.

Нехай, тоді вид функціонала можна задати незліченною кількістю способів, змінюючи величину:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Другий поширений спосіб прийом завдання полягає в тому, що в структуру простору вводиться ще одного відображення (функція двох аргументів, зазвичай позначається через і зване скалярним твором).

Визначення. Евклід простір є структура в якій скалярний твір містить норму і задовольняє аксіомам:

• 4., причому тоді і тільки тоді, коли

В евклідовому просторі норма породжується формулою

З властивостей 1 - 4 скалярного твори слід, що виконуються всі аксіоми норми. Якщо скалярний добуток у вигляді, то норма буде обчислюватися по формулі

Норму простору неможливо задати за допомогою скалярного твори,.

У просторах зі скалярним твором з'являються такі якості, які відсутні в лінійних нормованих просторах (ортогональность елементів, рівність паралелограма, теорема Піфагора, тожество Аполлонія, нерівність Птолемея. Введення скалярного твори дає способи більш ефективного вирішення завдань апроксимації.

Визначення. Нескінченна послідовність елементів в лінійному нормованому просторі називається збіжної за нормою (просто сходящейся або має межу в), якщо існує такий елемент, що для будь-якого знайдеться номер, що залежить від такої, що при виконується

Визначення. Послідовність елементів в називається фундаментальною, якщо для будь-якого існує номер, що залежить від, що будь-якого і виконуються (Треногін Колмогоров, Канторович, з 48)

Визначення. Банахових просторах називається така структура, в якій будь-яка фундаментальна послідовність сходиться за нормою.

Визначення. Гільбертовим простором називається така структура в якій будь-яка фундаментальна послідовність сходиться за нормою, породженою скалярним твором.

Середньоквадратичне наближення функції.

Розглянемо задачу найкращого середньоквадратичного наближення функції поліномом
по системі
.

Визначення 1.

Узагальненим поліномом порядку m по системі ( k) називається лінійна комбінація

де C k - довільні речові коефіцієнти.

Завдання.знайти поліном
, Найменш ухиляються від функції f в метриці L 2, тобто задовольняє умові:

Теорема 1.

якщо система
лінійно незалежна, то задача найкращого середньоквадратичного наближення за цією системою однозначно вирішити.

Запишемо квадрат відстані між функцією і полиномом:

(1)

Очевидно, що величина
- невід'ємне певна квадратична функція змінних
, А така функція досягає мінімального значення. Таким чином, рішення задачі середньоквадратичного наближення існує.

Доведемо єдиність рішення.

Запишемо необхідні умови мінімуму:

, i = 0, ..., m.

Обчислюючи приватні похідні по c i вирази (1), отримаємо лінійну cистему рівнянь:

(2)

Система (2) називається нормальною системою.

Випишемо визначник цієї системи

(3)

Визначник системи (3) - так званий визначник Грамасистеми
. Відомо, що якщо система
- лінійно незалежна, то визначник
0 (легко доводиться від супротивного). Згідно з умовою теореми
0 і система (2) має єдине рішення.

1.6. Класичні ортогональні поліноми і їх застосування в задачах наближення функцій.

Нехай H- гільбертовому просторі зі скалярним твором і, відповідно, нормою
. Важливим прикладом такого простору є так зване простір
- простір функцій f (x), для яких кінцевий інтеграл:

(1)

Тут h (x) - так звана вагова функція, Що задовольняє умовам:

Якщо ж = (0, + ), То повинна виконуватися умова:

тобто повинні існувати будь-які моменти ваговій функції.

Визначення 1.

для
визначений скалярний твір:

(2)

і відповідно норма:

згідно з умовою (1).

Використовуючи нерівність Коші - Буняковського - Шварца, отримуємо

Тому скалярний твір існує для

Визначення 2.

Відстань між елементами f і g визначається рівністю:

.

Виникає питання про те, як розуміти нульовий елемент. якщо норма
, Варто звідси, що f = g? Вводиться термінологія: f = g майже всюди, тобто вони можуть відрізнятися в кінцевому числі точок.

Визначення 3.

f і g ортогональніна відрізку з вагою h (x), якщо = 0 (коротко пишуть
).

Якщо в гільбертовому просторі взяти будь-яку лінійно незалежну систему
, I = 0,1,2, ..., то її можна ортогоналізіровать.

Розглянемо як приклад систему:
при
кінцевий набір статечних функцій лінійно незалежний, тому на базі цієї системи можна побудувати ортогональні поліноми. Відома наступна рекуррентная процедура ортогоналізації (процедура Грама - Шмідта):

(3)

Коефіцієнти b k + 1, j визначаються з умов ортогональності:

Послідовно множачи (3) на
отримуємо

(4)

Приклад 1.

Нехай h (x) 1, = [- 1,1].

Побудувати перші три ортогональних полінома за процедурою (3) - (4).

Далі маємо:

отже,

Для системи ортогональних многочленів на відрізку [-1,1] з вагою h (x) = 1 справедлива формула Родріга:

(5)

З (5) послідовно отримуємо:

Отримувані таким чином поліноми називаються полиномами Лежандра.

Зауваження.

Знайдені за процедурою (3) - (4) ортогональні многочлени можуть лише множниками відрізнятися від тих, які будуються по явною формулою Родріго (5).

Квадрат норми у цих поліномів дорівнює:

Тобто ці многочлени не нормовано, так як

Для всіх класичних многочленів існує рекуррентная формула. Для поліномів Лежандра вона має такий вигляд:

нехай
Розглянемо середньоквадратичне наближення:

де
- середньоквадратична помилка апроксимації,

- відрізок ряду Фур'є для функції f (x) по системі ортогональних многочленів (P k (x)).

В силу ортогональності многочленів Лежандра, система нормальних рівнянь (2) з §1.5 стає діагональної, і її рішення призводить до наступних виразів для коефіцієнтів c k:

(7)

тобто забезпечується мінімум норми в L 2.

Розпишемо детально помилку апроксимації

З іншого боку

в силу ортогональності.

Підставляючи в (8), отримаємо

. (9)

Приклад 2.

Нехай f (x) = | x |.

Апроксимувати f (x) на [-1,1] в среднеквадратичном многочленом другого ступеня. Обчислити середньоквадратичнепомилку.

Використовуємо ортогональную систему Лежандра:

Коефіцієнти c k знаходимо по формулі (7), з огляду на вид полиномов Лежандра:

1.7. Деякі загальні властивості ортогональних поліномів.

Многочлен P n (x) ортогонален будь-якого алгебраїчного многочлену m-го ступеня M m (x) при m

M m (x) можна єдиним чином представити у вигляді лінійної комбінації многочленів Лежандра:

Рівність (10) тотожне, тому коефіцієнти a k єдиним чином обчислюються шляхом прирівнювання коефіцієнтів при старших ступенях. Помноживши обидві частини (10) на P n (x), маємо

в силу ортогональності системи

Поліном P n (x) має на відрізку [-1,1] рівно n дійсних і різних коренів.

Зауважимо, що в силу теореми Гаусса многочлен P n (x) не може мати більш ніж n коренів (взагалі кажучи, комплексних). Нехай P n (x) має менше, ніж n простих дійсних коренів. позначимо їх
За цим точкам побудуємо фундаментальний многочлен

Розглянемо многочлен:
- многочлен ступеня (k + n), який має нулі
парної кратності. Значить, новий многочлен
зберігає знак при переході через ці нулі, тобто зберігає знак на [-1,1]. Звідси слідує що

Але це суперечить властивості 1, так як P n (x) обов'язково повинен бути ортогонален M k (x).

Між двома сусідніми нулями многочлена P n (x) лежить рівно один нуль многочлена P n-1 (x).

Доводиться по індукції за допомогою рекурентного співвідношення (6).

При n- парному многочлен P n (x) - парна функція від x, при n- непарному, P n (x) - непарна функція від x.

Поряд з многочленами Лежандра класичними ортогональними многочленами називають такі системи многочленів (далі (a, b) - проміжок ортогональности, r (x) - вагова функція).

1) багаточлени Якобі {Р п (l, M) ( х)) - при а = -1, b= 1 r ( х) = (1-х) l (1 + x) M, l> -1, m> -1. Спеціальні окремі випадки многочленів Якобі відповідають таким значенням l і m: l= m- ультрасферичних многочлени (Їх іноді називають многочленами Гегенбауер); l= M = - 1/2, т. Е. -многочлени Чебишева 1-го роду T n (x); l= M = 1/2, т. Е. - многочлени Чебишева 2-го роду U n (x);

2) багаточлени Лагерра L n (x) - при а = 0, b= + ∞ і r ( х) = е -х(Їх наз. Також многочленами Чебишева - Лагерра) та узагальнені многочлени Лагерра - при. 3) Многочлени Ерміта Н n (х) - при а = -∞, b= + ∞ і (їх називають також многочленами Чебишева - Ерміта).