Координати центру важкості деяких однорідних тіл. Способи визначення координат центру тяжіння Де знаходиться центр тяжіння кола

Центри тяжкості деяких найпростіших геометричних фігур

Для визначення центрів тяжіння тіл форми, що часто зустрічається (трикутника, дуги кола, сектора, сегмента) зручно використовувати довідкові дані (див. табл.).

Координати центру тяжкості деяких однорідних тіл

№	Найменування фігури	Малюнок
	Дуга кола: центр ваги дуги однорідного кола знаходиться на осі симетрії (координата у c R- Радіус кола.
	Однорідний круговий сектор у c= 0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Сегмент: центр ваги розташований на осі симетрії (координата у c= 0). де - половина центрального кута; R- Радіус кола.
	Півколо:
	Трикутник: центр ваги однорідного трикутника знаходиться у точці перетину його медіан. де x1, y1, x2, y2, x3, y3– координати вершин трикутника
	Конус: центр ваги однорідного кругового конуса лежить на його висоті і відстає на відстань 1/4 висоти від основи конуса.
	Півсфера: центр тяжіння лежить на осі симетрії
	Трапеція: - площа фігури.
	- площа фігури;

Під центром ваги автомобіля передбачається умовна точка, в якій зосереджується вся його вага. Розташування центру ваги істотно впливає на керованість і стійкість транспортного засобу, це завжди має враховувати водій. Розташування центру ваги по висоті залежить від ваги та характеру вантажу. Припустимо, якщо легковий автомобіль перевозить вантаж, розташований тільки в кузові, то його центр ваги буде набагато нижчим, ніж при перевезенні вантажу на багажнику, який знаходиться над дахом. Однак, незалежно від характеру вантажу та його розміщення, центр ваги навантаженої машини буде завжди вищим, ніж у невантаженої. Зважаючи на це, існуюча думка у багатьох водіїв про хорошу стійкість навантаженого автомобіля (а тим більше зменшення ймовірності перекидання) – не вірна.

Висота центру тяжіння машини впливає на перерозподіл нормальних реакцій по колесах при розгоні та гальмуванні, а також при нахилах машини, що відбиватиметься на зчіпній масі і, відповідно, на максимальній тяговій силі.

Розташування центру ваги автомобіля має велике значення. Воно характеризує стійкість машини проти перекидання. Це наочно відображається в автобусах з пасажирами, що стоять, а також більшою мірою актуально для автомобілів (автопоїздів), які перевозять високогабаритні вантажі, автомобілів-фургонів і спеціальних транспортних машин (автовишки, автокрани і т.д.).

Центр тяжкості трикутника.Скористаємося способом розбиття та розділимо трикутник АВСна елементарні смужки, провівши лінії, паралельні стороні АСтрикутник. Кожну таку смужку можна сприйняти за прямокутник; центри тяжкості цих прямокутників перебувають у тому серединах, тобто. на медіані BDтрикутник. Отже, центр тяжкості трикутника повинен лежати на цій самій медіані BD.

Розбиваючи тепер трикутник на елементарні смужки лініями, паралельними стороні АВ, укладаємо, що центр тяжкості трикутника має бути розташований на медіані ЄС.

Отже, центр тяжкості трикутника знаходиться у точці перетину його медіан . Ця точка, як відомо, ділить кожну з медіан на відрізки щодо , тобто .

Центр тяжкості трапеції.Аналогічно попередньому, розіб'ємо трапецію ABCDна елементарні смужки, паралельні основам НДі АD. Центри тяжкості смужок розташуються на прямій KL, що з'єднує середини основ трапеції. Отже, і центр тяжкості трапеції лежить на цій прямій. Для того, щоб знайти його відстань від нижньої основи, розіб'ємо трапецію на трикутники АВСі АСD. Для цих трикутників відповідно маємо , , , .

Використовуючи формулу (8.20), отримуємо

.

Центр тяжкості дуги кола.Розглянемо дугу АDВкола радіуса з центральним кутом. Помістимо початок координат у центрі кола і направимо вісь перпендикулярно хорді. АВ.

Оскільки внаслідок симетрії фігури щодо осі центр ваги лежатиме цієї осі , тобто. , то залишається лише знайти абсцису центру тяжкості ; для цього скористаємося формулою (8.18).

Згідно рис. маємо , , і, отже,

, (8.22) де - половина центрального кута в радіанах.

Зокрема, для дуги півкола будемо мати

Центр тяжкості кругового сектора.Для визначення положення центру тяжкості кругового сектора розіб'ємо його на елементарні сектори, як показано на рис. Кожен елементарний сектор можна прийняти за рівнобедрений трикутник з висотою, що дорівнює . Але висота в рівнобедреному трикутнику є також його медіаною; отже, центр ваги кожного елементарного трикутника лежить на відстані від початку координат Про. Відповідно геометричним місцем центрів тяжіння всіх елементарних трикутників є дуга кола радіусом.

Це означає, що центр тяжкості площі кругового сектора можна шукати як центр тяжкості матеріальної лінії, за якою безперервно та рівномірно розподілено вагу цього сектора. Застосувавши формулу (8.22), отримаємо координату центру ваги площі сектора

, (8.23) де - половина центрального кута в радіанах. Зокрема, для сектора у вигляді півкола отримаємо

Завдання 8.3.Пластина отримана з квадрата, сторона якого дорівнює після того, як з нього була вирізана частина, що становить чверть кола радіуса з центром у вершині Аквадрат. Визначити центр ваги пластини.

або, підставляючи відповідні величини,

.

Наведемо без висновку формули, що визначають положення центрів важкості деяких найпростіших однорідних тіл.

Центр тяжкості - точка, якою проходить лінія дії рівнодіючої елементарних сил тяжкості. Він має властивість центру паралельних сил (Е. М. Нікітін, § 42). Тому формули визначення положення центру тяжкості різних тілмають вигляд:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Якщо тіло, центр ваги якого потрібно визначити, можна ототожнити з фігурою, складеною з ліній (наприклад, замкнутий або незамкнутий контур, виготовлений з дроту, як на рис. 173), то вага G i кожного відрізка l i можна подати у вигляді твору
G i = l i d,
де d - постійна для всієї фігури вага одиниці довжини матеріалу.

Після підстановки у формули (1) замість G i їх значень l i d постійний множник d у кожному доданку чисельника і знаменника можна винести за дужки (за знак суми) і скоротити. Таким чином, формули визначення координат центру тяжкості фігури, складеної з відрізків ліній, Приймуть вигляд:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

Якщо тіло має вигляд фігури, складеної з різних площин або кривих поверхонь (рис. 174), то вага кожної площини (поверхні) можна представити так:
G i = F i p,
де F i – площі кожної поверхні, а p – вага одиниці площі фігури.

Після підстановки цього значення G i формули (1) отримуємо формули координат центру ваги фігури, складеної з площ:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

Якщо однорідне тіло можна розділити на прості частини певної геометричної форми (рис. 175), то вага кожної частини
G i = V i γ,
де V i – обсяг кожної частини, а γ – вага одиниці об'єму тіла.

Після підстановки значень G i формули (1) отримуємо формули визначення координат центру тяжкості тіла, складеного з однорідних обсягів:
x c = (∑V i x i) / ∑ V i;
(4) y c = (∑V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑V i z i) / ∑ V i .

При вирішенні деяких завдань визначення положення центру тяжкості тіл іноді необхідно знати, де розташований центр тяжкості дуги кола, кругового сектора чи трикутника.

Якщо відомий радіус дуги r і центральний кут 2α, що стягується дугою і виражений у радіанах, положення центру тяжкості C (рис. 176, а) щодо центру дуги O визначиться формулою:
(5) x c = (r sin α)/α.

Якщо ж задана хорда AB=b дуги, то формулі (5) можна зробити заміну
sin α = b/(2r)
і тоді
(5а) x c = b/(2α).

В окремому випадку для півкола обидві формули набудуть вигляду (рис. 176, б):
(5б) x c = OC = 2r/π = d/π.

Положення центру тяжкості кругового сектора, якщо заданий його радіус r (рис. 176, в) визначається за допомогою формули:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Якщо ж задана хорда сектора, то:
(6а) x c = b/(3α).

В окремому випадку для півкола обидві останні формули набудуть вигляду (рис. 176, г)
(6б) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Центр тяжкості площі будь-якого трикутника розташований від будь-якої сторони на відстані, що дорівнює одній третині відповідної висоти.

У прямокутного трикутника центр ваги знаходиться на перетині перпендикулярів, відновлених до катет з точок, розташованих на відстані однієї третини довжини катетів, рахуючи від вершини прямого кута (рис. 177).

При вирішенні завдань визначення положення центру тяжкості будь-якого однорідного тіла, складеного або з тонких стрижнів (ліній), або з пластин (площ), або з обсягів, доцільно дотримуватися наступного порядку:

1) виконати малюнок тіла, положення центру тяжкості якого слід визначити. Так як всі розміри тіла зазвичай відомі, при цьому слід дотримуватися масштабу;

2) розбити тіло на складові частини (відрізки ліній чи площі, чи обсяги), становище центрів тяжкості яких визначається з розмірів тіла;

3) визначити чи довжини, чи площі, чи обсяги складових частин;

4) вибрати розташування осей координат;

5) визначити координати центрів важкості складових частин;

6) знайдені значення довжин чи площ, чи обсягів окремих частин, і навіть координат їх центрів тяжкості підставити у відповідні формули і обчислити координати центру тяжкості всього тіла;

7) за знайденими координатами вказати малюнку положення центру тяжкості тіла.

§ 23. Визначення положення центру ваги тіла, що складається з тонких однорідних стрижнів

§ 24. Визначення положення центру ваги фігур, складених із платівок

В останній задачі, а також у завданнях, наведених у попередньому параграфі, розчленування фігур на складові не викликає особливих труднощів. Але іноді фігура має такий вигляд, що дозволяє розділити її на складові декількома способами, наприклад тонку пластинку прямокутної форми з трикутним вирізом (рис. 183). При визначенні положення центру тяжкості такої пластинки її площу можна розділити на чотири прямокутники (1, 2, 3 і 4) та один прямокутний трикутник 5 - декількома способами. Два варіанти показано на рис. 183, а і б.

Найбільш раціональним є той спосіб розподілу фігури на складові, при якому утворюється найменше їх число. Якщо фігурі є вирізи, їх можна також включати до складу складових частин фігури, але площу вирізаної частини вважати негативною. Тому такий розподіл отримав назву способу негативних площ.

Платівка на рис. 183, ділиться за допомогою цього способу всього на дві частини: прямокутник 1 з площею всієї пластинки, як вона ціла, і трикутник 2 з площею, яку вважаємо негативною.

§ 26. Визначення положення центру ваги тіла, складеного з частин, що мають просту геометричну форму

Щоб вирішувати завдання визначення положення центру тяжкості тіла, складеного з частин, що мають просту геометричну форму, необхідно мати навички визначення координат центру тяжкості фігур, складених з ліній або площ.

Результат розрахунків залежить не тільки від площі перерізу, тому при вирішенні завдань щодо сопромату не обійтися без визначення геометричних характеристик фігур: статичних, осьових, полярного та відцентрового моментів інерції. Обов'язково необхідно вміти визначати положення центру тяжкості перерізу (від положення центру тяжкості залежать перераховані геометричні характеристики). До додатку до геометричним характеристикам простих фігур: прямокутника, квадрата, рівнобедреного та прямокутного трикутників, кола, півкола. Вказано центр тяжкості та положення головних центральних осей, та визначено щодо них геометричні характеристики за умови, що матеріал балки однорідний.

Геометричні характеристики прямокутника та квадрата

Осьові моменти інерції прямокутника (квадрату)

Геометричні характеристики прямокутного трикутника

Осьові моменти інерції прямокутного трикутника

Геометричні характеристики рівнобедреного трикутника

Осьові моменти інерції рівнобедреного трикутника

Математична техніка обчислення центру мас відноситься до галузі курсів математики; там подібні завдання є хорошими прикладами з інтегрального числення. Але навіть вміючи інтегрувати, корисно знати деякі трюки для обчислення положення центру мас. Один із таких трюків заснований на використанні так званої теореми Паппа, яка працює наступним чином. Якщо ми візьмемо якусь замкнуту фігуру і утворимо тверде тіло, обертаючи цю фігуру в просторі так, щоб кожна точка рухалася перпендикулярно до площини фігури, то об'єм тіла, що при цьому утворюється, дорівнює добутку площі фігури на відстань, пройдену її центром тяжіння! Зрозуміло, ця теорема вірна і в тому випадку, коли плоска фігура рухається по прямій лінії, перпендикулярній до її площі, проте якщо ми рухаємо її по колу або до якоїсь іншої

кривою, то при цьому виходить набагато цікавіше тіло. При русі по кривому шляху внутрішня частинафігури просувається менше, ніж зовнішня, і ці ефекти компенсують одна одну. Тож якщо ми хочемо визначити; центр мас плоскої фігури з однорідною щільністю, потрібно пам'ятати, що об'єм, утворений обертанням її щодо осі, дорівнює відстані, яка проходить центр мас, помноженому на площу фігури.
Наприклад, якщо нам потрібно знайти центр мас прямокутного трикутника з основою D та висотою H (фіг. 19.2), це робиться наступним чином. Уявіть собі вісь, що проходить вздовж H і поверніть трикутник на 360° навколо цієї осі. Це дає нам конус. Відстань, що проходить х-координата центру мас, дорівнює 2πx, а площа області, яка рухалася, тобто площа трикутника дорівнює l/2 HD. Добуток відстані, пройденого центром мас, на площу трикутника дорівнює об'єму конуса, тобто 1/3 πD 2 H. Таким чином, (2πх) (1/2HD) = 1/3D 2 H, або x= D/З. Абсолютно аналогічно обертанням навколо другого катета або просто з міркувань симетрії знаходимо, що у = H/3. Взагалі центр мас будь-якого однорідного трикутника знаходиться в точці перетину трьох його медіан (ліній, що з'єднують вершину трикутника з серединою протилежної сторони), яка від основи на відстані, що дорівнює 1/3 довжини кожної медіани.
Як це побачити? Розсічіть трикутник лініями, паралельними основі, на безліч смужок. Зауважте тепер, що медіана ділить кожну по лоску навпіл, отже, центр ваги повинен лежати на медіані.
Візьмемо тепер складнішу фігуру. Припустимо, що потрібно знайти положення центру мас однорідного півкола, тобто кола, що розрізає навпіл. Де буде центр мас у цьому випадку? Для повного кола центр мас розташований у геометричному центрі, але для півкола знайти його становище важче. Нехай r – радіус кола, а х – відстань центру мас від прямолінійної межі півкола. Обертаючи його навколо цього краю як навколо осі, ми отримуємо кулю. При цьому центр мас проходить відстань 2πх, а площа півкола дорівнює 1/2πr 2 (половині площі кола). Оскільки обсяг кулі дорівнює, звичайно, 4πг 3 /3, то звідси знаходимо

або

Існує ще інша теорема Паппа, яка фактично є окремим випадком сформульованої вище теореми, а тому теж справедлива. Припустимо, що замість твердого півкола ми взяли півколо, наприклад шматок дроту у вигляді півкола з однорідною щільністю, і хочемо знайти її центр мас. Виявляється, що площа, яка «замітається» плоскою кривою при її русі, аналогічному вищеописаному, дорівнює відстані, пройденому центром мас, помноженому на довжину цієї кривої. (Криву можна розглядати як дуже вузьку смужку та застосовувати до неї попередню теорему.)