Яку множину називають підмножиною. Поняття множини. Підмножини. Способи завдання множин

на простому прикладінагадаємо, що називається підмножиною, які бувають підмножини (власні та невласні), формулу знаходження числа всіх підмножин, а також калькулятор, який видає безліч усіх підмножин.

приклад 1. Дано безліч А = (а, с, р, о). Випишіть усі підмножини
даної множини.
Рішення:

Власні підмножини:(а), (с), (р), (о), (а, с), (а, р), (а, о), (с, р), (с, о) ∈, (р, о), (а, с, р), (а, с, о), (с, р, о).

Невласні:(а, с, р, про), Ø.

Всього: 16 підмножин.

Пояснення. Множина A є підмножиною множини B якщо кожен елемент множини A міститься також у B.

Порожня множина ∅ є підмножиною будь-якої множини, називається невласною;
. будь-яка множина є підмножиною самого себе, також називається невласною;
. У будь-якої n-елементної множини рівно 2 n підмножин.

Останнє твердження є формулою для знаходження числа всіх підмножинбез перерахування кожного.

Висновок формули:Припустимо, у нас є безліч з n-елементів. Під час упорядкування підмножин перший елемент може належати підмножині або належати, тобто. перший елемент можемо вибрати двома способами, аналогічно для всіх інших елементів (всього n-елементів), кожен можемо вибрати двома способами, і за правилом множення отримуємо: 2∙2∙2∙ ...∙2=2 n

Для математиків сформулюємо теорему і наведемо суворий доказ.

Теорема. Число підмножин кінцевої множини, що складається з n елементів, дорівнює 2 n.

Доведення.Безліч, що складається з одного елемента a, має два (тобто 2 1) підмножини: ∅ та (a). Безліч, що складається з двох елементів a та b, має чотири (тобто 2 2) підмножини: ∅, (a), (b), (a; b).
Множина, що складається з трьох елементів a, b, c, має вісім (тобто 2 3) підмножин:
∅, (a), (b), (b; a), (c), (c; a), (c; b), (c; b; a).
Можна припустити, що додавання нового елемента подвоює кількість підмножин.
Завершимо доказ застосуванням методу математичної індукції. Сутність цього методу в тому, що якщо твердження (властивість) справедливе для деякого початкового натурального числа n 0 і якщо припущення, що воно справедливе для довільного натурального n = k ≥ n 0 можна довести його справедливість для числа k + 1, то це властивість справедливо всім натуральних чисел.

1. Для n = 1 (база індукції) (і навіть n = 2, 3) теорема доведена.

2. Припустимо, що теорема підтверджена для n = k, тобто. число підмножин множини, що складається з елементів, дорівнює 2 k .

3. Доведемо, що число підмножин множини B, що складається з n = k + 1 елемента, дорівнює 2 k+1 .
Вибираємо деякий елемент b множини B. Розглянемо безліч A = B \ (b). Воно містить елементи k. Всі підмножини множини A - це підмножини множини B, що не містять елемента b і, за припущенням, їх 2 k штук. Підмножини множини B, що містять елемент b, стільки ж, тобто. 2 к
штук.

Отже, всіх підмножин множини B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорему доведено.

У прикладі 1 безліч А = (а, с, р, о)складається з чотирьох елементів, n=4, отже, число всіх підмножин дорівнює 24 =16.

Якщо вам необхідно виписати всі підмножини, або скласти програму для написання безлічі всіх підмножин, то є алгоритм для вирішення: представляти можливі комбінації у вигляді двійкових чисел. Пояснимо на прикладі.

приклад 2.Є безліч (ab c), у відповідність ставляться такі числа:
000 = (0) (порожня множина)
001 = (c)
010 = (b)
011 = (b c)
100 = (a)
101 = (a c)
110 = (a b)
111 = (a b c)

Калькулятор безлічі всіх підмножин.

У калькуляторі вже набрано елементи множини А = (а, с, р, о), достатньо натиснути кнопку Submit. Якщо вам необхідне вирішення свого завдання, то набираємо елементи множини на латиниці, через кому, як показано в прикладі.

«Під безліччюми розуміємо об'єднання в одне ціле певних, цілком помітних об'єктів нашої інтуїції чи нашої думки» - так описав поняття «безліч» Георг Кантор, засновник теорії множин.
Основні передумови канторівської теорії множин зводяться до наступного:
1°Безліч може складатися з будь-яких помітних об'єктів.
2°Безліч однозначно визначається набором складових його об'єктів.
3°Будь-яка властивість визначає безліч об'єктів, які цією властивістю мають.

Якщо х - об'єкт, Р - властивість, Р(х) - позначення того, що х має властивість Р, то через (х|Р(х)) позначають весь клас об'єктів, що володіють властивістю Р. Об'єкти, що становлять клас або безліч, називають елементамикласу чи множини.

Термін « безліч» Використовується як синонім понять сукупність, збори, колекція деяких елементів. Так, можна говорити про:
а) безліч бджіл у вулику,
б) безлічі точок відрізка,
в) безлічі вершин квадрата або про множини його сторін і діагоналей,
г) безлічі студентів в аудиторії і т.д.
У наведених прикладах у випадках а), в)-г) відповідні множини складаються з певного кінцевого числа предметів, такі множини називаються кінцевими. Безліч точок відрізка (приклад б)) перерахувати неможливо, тому такі множини називаються нескінченними. Безліч, що не містить жодного елемента, називається порожнімбезліччю.

Найбільш проста форма завдання множини - перерахування його елементів, наприклад А = (4, 7, 13) (множина А складається з трьох елементів - цілих чисел 4, 7, 13). Інша часто застосовувана форма завдання - вказівка ​​властивостей елементів множини, наприклад, A = (x| x^2 ≤ 4) - безліч чисел х, що задовольняють зазначеній умові.

Множини зазвичай позначаються великими літерами А, В, С,…., які елементи — малими: а, в, з,… Запис а ∈ А (читається: а належить А) чи A ∋ a (читається: А містить а) означає а є елемент множини А. Порожня множина позначається значком Ø.

Якщо кожен елемент множини є також елементом множини А, множина В називається підмножиноюмножини А (позначення - B ⊆ A або A ⊇ B).

Кожна множина є своєю підмножиною (це «найширша» підмножина множини). Порожня множина є підмножиною будь-якої множини (це саме «вузьке» підмножина). Будь-яке інше підмножина множини містить хоча б один елемент множини А, але не всі його елементи. Такі підмножини називаються істинними, чи власними підмножинами. Для істинних підмножин множини А застосовується позначення B ⊂ A або A ⊃ B. Якщо одночасно B ⊆ A і A ⊆ B, тобто кожен елемент множини належить А, і в той же час кожен елемент А належить В, то А і В , очевидно, складаються з тих самих елементів і, отже, збігаються. У цьому випадку застосовується знак рівності множин: A = B. (Символи ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ називаються символами включення).

Геометрично множини зазвичай зображуються як деякі множини точок площини. У будь-якій задачі, що має сенс, зазвичай розглядаються підмножини деякої «найбільшої» множини U, яку називають універсальною множиною. Так, на рис. 1 зображено універсальну множину U і дві її підмножини — множини А і В, B ⊂ A. Самі картинки типу рис. 1 називаються діаграмами Ейлера-Венна.

Урок та презентація на тему: "Множества та підмножини, приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Мультимедійний навчальний посібник для 9 класу "Алгебра за 10 хвилин"
Електронний навчальний посібник для учнів 7-9 класів "Зрозуміла алгебра"

Множини та підмножини

Хлопці, ми переходимо до вивчення дуже важливої ​​теми "Множини". Безліч нам будуть зустрічатися постійно, в курсах математики за старші класи і в 9 класі майже всі теми тісно пов'язані з цим поняттям. Тому постарайтеся добре засвоїти цю тему.

То що таке безліч?
Безліч займається спеціальний розділ математики теорія множин. Безліч – одне з головних та фундаментальних понять. Визначення у нього немає, але давайте спробуємо зрозуміти, що таке безліч? Багато - це сукупність різних елементів, їх можна порахувати, згрупувати. Прикладами множин можуть бути літери алфавіту – безліч, що складається з 33 елементів. Безліч яблук на дереві – кількість яблук на дереві, звичайно його можна порахувати і занумерувати. Прикладів множин можна вигадати дуже багато. Спробуйте самі придумати якийсь приклад.
У математиці безліч позначається у фігурних дужках (,). Наприклад, безліч перших п'яти літер англійського алфавіту означать так: (A,B,C,D,E). Якщо записати цю множину в іншому порядку, вона не зміниться.
Математика настільки цікавий предмет, що ми маємо поняття порожньої множини і нескінченної множини. Порожня множина – множина, в якій немає жодного елемента, його позначають без дужок та використовують значок Ø. Нескінченна множина, напевно зрозуміла з назви – множина, в якій нескінченна кількість елементів, наприклад, множина всіх чисел.
Багато можна описати різними словами, наприклад, (10, 12, 16, 18, ..., 96, 98) – це безліч парних двозначних чисел. Багатокрапка використовується, коли елементів дуже багато і всі їх записати складно, але при цьому запис множини повинен бути зрозумілим, і щоб по ньому можна було визначити, що це за безліч.
$ \(x|-2

Існують спеціальні позначення множин. Наприклад, для множини натуральних чисел. Хлопці, а ви пам'ятаєте, як це безліч позначається?
Для позначення приналежності елемента множині використовується спеціальний знак $ϵ$. Запис $2 ϵ \(2,4,6,8... \)$. Читається так: "Два належить множині парних чисел".

приклад.
Деяка множина складається з коренів рівняння $x^3+3x^2+2x=0$. Знайдіть елементи цієї множини і перерахуйте все можливі варіантирозташування елементів.

Рішення.
Давайте розв'яжемо рівняння, винесемо х за дужки:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Тоді рішення нашого рівняння: $x=0;-2;-1$ – це і є елементи шуканої множини.
Давайте запишемо можливі варіанти розташування елементів:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

приклад.
Опишіть дані множини.

$а) \(1,2,3,4,...,9,10 \) \\ б) \(1,8,27,64 ... \)$
Рішення.
а) Безліч натуральних чисел від 1 до 10.
б) Безліч всіх значень кубів натуральних чисел.

приклад.
Вирішивши нерівність, записати її рішення у вигляді числового проміжку:

А) $ \ (x ^ 2 | x ^ 2 + 1> 0 \) $
б) $\(x| 1/x в) $\(x |x^2+7x+12
Рішення.
а) $x^2+1>0$ більше за нуль при всіх х. Тоді числовий проміжок запишеться у вигляді $(-∞;+∞)$.
б) 1/x в) $x^2+7x+12

Підмножина

Якщо з нашої множини вибрати кілька елементів і згрупувати їх окремо – це буде підмножина нашої множини. Комбінацій, у тому числі можна отримати підмножина багато, кількість комбінацій лише залежить кількості елементів у вихідному множині.
Нехай у нас є дві множини А і Б. Якщо кожен елемент множини Б є елементом множини А, то множина Б називається підмножиною А. Позначається: Б ⊂ А. Приклад.
Скільки існує підмножини множини А = (1, 2, 3).
Рішення.
Підмножина складається з елементів нашої множини. Тоді у нас існує 4 варіанти за кількістю елементів у підмножині:
Підмножина може складатися з 1 елемента, 2, 3 елементів і може бути порожнім. Давайте послідовно запишемо наші елементи.
Підмножина з одного елемента: (1), (2), (3).
Підмножина із 2 елементів: (1, 2); (1, 3); (2, 3).
Підмножина з трьох елементів: (1, 2, 3).

Не забудемо, що порожня множина так само є підмножиною нашої множини. Тоді отримуємо, що у нас є 3+3+1+1=8 підмножин.

Завдання для самостійного вирішення

1. Знайдіть безліч розв'язків рівняння: $2x^3+8x^2+6x=0$. Перерахуйте всі можливі варіанти розташування елементів.
2. Опишіть безліч:
$a) \(1, 3, 5, 7...99 \) \\b) \(1, 4, 7, 10, 13, 16 \) \\ c) \(5, 10, 15, 20 ... 995 \)$
3. Скільки існує підмножини множини А = (3, 4, 5, 6).

У математиці поняття множини є одним з основних, фундаментальним, однак єдиного визначення множини не існує. Одним з найбільш усталених визначень множини є таке: під безліччю розуміють будь-яке зібрання певних і відмінних один від одного об'єктів, мислимих як єдине ціле. Творець теорії множин німецький математик Георг Кантор (1845-1918) говорив так: "Багато є багато, мислиме нами як ціле".

Чи їли Ви сьогодні обід? Нині стане відома страшна таємниця. Обід є безліччю. А саме, безліч страв, з яких він складається. У ньому (зазвичай) немає однакових страв, й у безлічі всі елементи мають бути різними. А, якщо на обід у Вас був той самий салат, що і на сніданок, то цей салат є перетином множин "Обід" та "Сніданок".

Погляньте на книгу, що лежить на столі або на полиці. Вона є безліччю сторінок. Усі сторінки в ній відрізняються одна від одної, щонайменше номерами.

А вулиця, де Ви живете? Вона є зібранням багатьох різних об'єктів, але обов'язково є багато будинків, що розташовані на цій вулиці. Тому безліч будинків є підмножиною безлічі "Вулиця".

Отже, ми розглянули як приклади множин, а й приклад операції над множинами - перетин, і навіть ставлення включення підмножини в безліч. Всі ці поняття докладно розглядатимемо на цьому уроці.

Але поки що ще один приклад практичного розгляду множин.

Безліч як тип даних виявилися дуже зручними для програмування складних життєвих ситуацій, тому що за їх допомогою можна точно моделювати об'єкти реального світу та компактно відображати складні логічні взаємини. Багато застосовуються в мові програмування Паскаль і один з прикладів рішення ми нижче розберемо.

Приклад 0 (Паскаль).Існує набір продуктів, що продаються у кількох магазинах міста. Визначити: які продукти є у всіх магазинах міста; повний набір продуктів у місті.

Рішення. Визначаємо базовий тип даних Food (продукти), може приймати значення, відповідні назвами продуктів (наприклад, hleb). Оголошуємо тип множини, він визначає всі підмножини, складені з комбінацій значень базового типу, тобто Food (продукти). І формуємо підмножини: магазини "Сонечко", "Вітерець", "Вогник", а також похідні підмножини: MinFood (продукти, які є у всіх магазинах), MaxFood (повний набір продуктів у місті). Далі прописуємо операції для отримання похідних підмножин. Підмножина MinFood виходить в результаті перетину підмножин Solnyshko, Veterok і Ogonyok і включає ті і тільки ті елементи цих підмножин, які включені в кожну з цих підмножин (у Паскалі операція перетину множин позначається зірочкою: A * B * C, математичне позначення перетину ). Підмножина MaxFood виходить в результаті об'єднання тих же підмножин і включає елементи, які включені у всі підмножини (у Паскалі операція об'єднання множин позначається знаком "плюс": A + B + C, математичне позначення об'єднання множин дане далі).

Код PASCAL

Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, másло, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Які бувають множини

Об'єкти, складові безлічі - об'єкти нашої інтуїції чи інтелекту - можуть бути різної природи. У прикладі в першому параграфі ми розібрали множини, що включають набір продуктів. Багато можуть складатися, наприклад, і з усіх букв російського алфавіту. В математиці вивчаються безлічі чисел, наприклад, що складаються з усіх:

Натуральних чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

Простих чисел

Парних цілих чисел

і т.п. (Основні числові множини розглянуті в цьому матеріалі).

Об'єкти, що становлять безліч, називаються його елементами. Можна сказати, що безліч - це "мішок з елементами". Дуже важливо: у безлічі немає однакових елементів.

Багато бувають кінцевими і нескінченними. Кінцева множина - це множина, для якої існує натуральне число, що є числом його елементів. Наприклад, безліч перших п'яти невід'ємних цілих непарних чисел є кінцевою множиною.Безліч, яке не є кінцевим, називається нескінченним. Наприклад, безліч усіх натуральних чисел є безліччю.

Якщо M- безліч, а a- Його елемент, то пишуть: a∈M, що означає " aналежить безлічі M".

З першого (нульового) прикладу на Паскалі з продуктами, які є у тих чи інших магазинах:

hleb∈VETEROK ,

що означає: елемент "hleb" належить величезній кількості продуктів, які є в магазині "VETEROK".

Існують два основні способи завдання множин: перелік та опис.

Багато можна задати, перерахувавши всі його елементи, наприклад:

VETEROK = {hleb, syr, maslo} ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Перерахуванням можна задати лише кінцеве безліч. Хоча це можна зробити і описом. Але нескінченні множини можна задати лише описом.

Для опису множин використовується наступний спосіб. Нехай p(x) - деяке висловлювання, яке описує властивості змінної x, областю значень яких є безліч M. Тоді через M = {x | p(x)} позначається безліч, що складається з усіх тих і лише тих елементів, для яких висловлювання p(x) Істинно. Цей вираз читається так: "Багато M, що складається з усіх таких x, що p(x) ".

Наприклад, запис

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

Приклад 6.Згідно з опитуванням 100 покупців ринку, які купили цитрусові, апельсини купили 29 покупців, лимони - 30 покупців, мандарини - 9, тільки мандарини - 1, апельсини та лимони - 10, лимони та мандарини - 4, всі три види фруктів - 3 покупці. Скільки покупців не купили жодного виду цитрусових? Скільки покупців купили лише лимони?

Операція декартового твору множин

Для визначення ще однієї важливої ​​операції над множинами - декартова твори множинвведемо поняття впорядкованого набору довжини n.

Довжиною набору називається число nйого компонент. Набір, складений з елементів, взятих саме в цьому порядку, позначається . При цьому iя () компонент набору є .

Зараз буде суворе визначення, яке, можливо, не відразу зрозуміло, але після цього визначення буде картинка, за якою стане зрозуміло, як отримати декартове твір множин.

Декартовим (прямим) твором множинназивається безліч, що позначається і що складається з усіх тих і лише тих наборів довжини n, i-я компонента яких належить .

Безліч- Сукупність будь-яких об'єктів. Багато позначають великими літерами латинського алфавіту - від Aдо Z.

Основні числові множини: безліч натуральних чисел і безліч цілих чисел, що завжди позначаються одними і тими ж літерами:

N- безліч натуральних чисел

Z- безліч цілих чисел

Елемент множини- це будь-який об'єкт, що входить до складу множини. Приналежність об'єкта до множини позначається за допомогою знака ∈ . Запис

читається так: 5 належить множині Zабо 5 - елемент множини Z .

Безліч діляться на кінцеві та нескінченні. Кінцева безліч- множина, що містить певну (кінцеву) кількість елементів. Нескінченна безліч- безліч, що містить безліч елементів. До нескінченних множин можна віднести безліч натуральних і цілих чисел.

Для визначення множини використовуються фігурні дужки, в яких через кому перераховуються елементи. Наприклад, запис

L = {2, 4, 6, 8}

означає, що безліч Lскладається з чотирьох парних чисел.

Термін безліч вживається незалежно від цього, скільки елементів воно містить. Множини не містять жодного елемента називаються порожніми.

Підмножина

Підмножина- це безліч, всі елементи якого є частиною іншої множини.

Візуально продемонструвати відношення множини і підмножини, що входить до нього, можна за допомогою кіл Ейлера. Кола Ейлера – це геометричні схеми, що допомагають візуалізувати відносини різних об'єктів, у нашому випадку, множин.

Розглянемо дві множини:

L= (2, 4, 6, 8) та M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Кожен елемент множини Lналежить і безлічі Mотже, безліч L M. Таке співвідношення множин позначають знаком ⊂ :

L⊂M

Запис L⊂Mчитається так: безліч Lє підмножиною безлічі M .

Безліч, що складаються з тих самих елементів, незалежно від їх порядку, називаються рівнимита позначаються знаком = .

Розглянемо дві множини:

L= (2, 4, 6) та M = {4, 6, 2}

Так як обидва множини складаються з одних і тих же елементів, то L = M.

Перетин та об'єднання множин

Перетин двох множин- це сукупність елементів, що належать кожному з цих множин, тобто їхня загальна частина. Перетин позначається знаком ∩.

Наприклад, якщо

L= (1, 3, 7, 11) та M= (3, 11, 17, 19), то L∩M = {3, 11}.

Запис L∩Mчитається так: перетин множин Lі M .

З цього прикладу випливає, що перетином множин називається множина, яка містить тільки ті елементи, які зустрічаються у всіх множинах, що перетинаються.

Об'єднанням двох множинназивається безліч, що містить всі елементи вихідних множин в єдиному екземплярі, тобто якщо один і той же елемент зустрічається в обох множинах, то в нову множину цей елемент буде включений лише один раз. Об'єднання означає знак ∪ .

Наприклад, якщо

L= (1, 3, 7, 11) та M = {3, 11, 17, 19},

то L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запис L∪Mчитається так: об'єднання множин Lі M .

При об'єднанні рівних множин об'єднання дорівнюватиме кожному з даних множин:

якщо L = M, то L∪M = Lі L∪M = M.