Як обчислюються коефіцієнти функцій безселя. Рівняння Функції Бесселя Диференціальне рівняння Г-функція Ейлера та її властивості Рекурентні формули для функцій Бесселя напівцілого індексу Нулі безселевих функцій Ортогональність та норма Функції Неймана (
Для того щоб перейти до вирішення задачі про коливання круглої мембрани, ми повинні попередньо познайомитися з функціями Бесселя. Функції Бесселя є рішеннями лінійного диференціального рівняння другого порядку із змінними коефіцієнтами
Це рівняння називається рівнянням Бесселя. І саме рівняння, і його рішення зустрічаються не тільки в задачі про коливання круглої мембрани, але і в дуже великій кількості інших завдань.
Параметр k, що входить у рівняння (10.1), може, взагалі кажучи, набувати будь-яких позитивних значень. Рішення рівняння при заданому k називають безселевими функціями порядку k (іноді їх називають циліндричними функціями). Ми розглянемо детально лише найпростіші випадки, коли й оскільки у подальшому викладі нам зустрінуться лише безселеві функції нульового та першого порядків.
Для загального вивчення безселевих функцій ми відсилаємо читача до спеціальних посібників (див., наприклад, ; α = 0 − Γ (α) π (2 x) α ; α > 0 , \left\((\begin(matrix)(\frac (2)(\pi ))\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&(\mbox(;))\quad \alpha = 0\\\-(\frac (\Gamma (\alpha))(\pi ))\left((\frac (2)(x))\right)^(\alpha )&(\mbox(;) )\quad \alpha >0\end(matrix))\right.,)
де γ (\displaystyle \gamma)- Постійна Ейлера-Маскероні (0,5772 ...), а Γ (\displaystyle \Gamma )- Гамма-функція Ейлера. Для великих аргументів ( x ≫ | α 2 − 1/4 | (\displaystyle x\gg |\alpha ^(2)-1/4|)) формули виглядають так:
J α (x) → 2 π x cos (x − α π 2 − π 4) , (\displaystyle J_(\alpha)(x)\rightarrow (\sqrt (\frac (2)(\pi x)) )\cos \left(x-(\frac (\alpha \pi )(2))-(\frac (\pi )(4))\right),) Y α (x) → 2 π x sin (x − α π 2 − π 4) . (\displaystyle Y_(\alpha )(x)\rightarrow (\sqrt (\frac (2)(\pi x)))\sin \left(x-(\frac (\alpha \pi )(2))- (\frac (\pi )(4))\right).)Гіпергеометричний ряд
Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію:
J α (z) = (z / 2) α Γ (α + 1) 0 F 1 (α + 1; − z 2 / 4) . (\displaystyle J_(\alpha )(z)=(\frac ((z/2)^(\alpha ))(\Gamma (\alpha +1)))()_(0)F_(1)(\ alpha +1;-z^(2)/4).)Таким чином, за цілих α (\displaystyle \alpha)функція Бесселя однозначна аналітична, а за нецілих - багатозначна аналітична.
Виробнича функція
Існує уявлення для функцій Бесселя першого роду та цілого порядку через коефіцієнти ряду Лорану функції певного виду, а саме:
e z 2 (w − 1 w) = ∑ n = − ∞ + ∞ J n (z) w n . (\displaystyle e^((\frac (z)(2))\left(w-(\frac(1)(w))\right))=\sum _(n=-\infty )^(+\ infty )J_(n)(z)w^(n).)Безселевими, або циліндричними, функціями називають рішення лінійного диференціального рівняння Бесселя
де z- Комплексна змінна, ν – параметр, порядок, значок чи індекс, також може бути довільним комплексним числом.
У додатках часто доводиться розглядати випадок, коли ν = n- ціле число. Під циліндричними функціями розуміють такі функції: функції Бесселя J ν
(z), функції Неймана N ν
(z), часто звані функціями Вебера з позначенням Y ν
(z), та функції Ганкеля H ν
(1) (z),
H ν
(2) (z). Названі функції при фіксованому 
є аналітичними функціями z. Часто функції Бесселя доводиться розглядати при фіксованому zяк функції значка ν
. При цьому вони є цілими функціями комплексної змінної ν
.
Цілою функцією називається аналітична функція, що представляється скрізь схожим рядом Тейлора 
.
Між функціями J ν (z), N ν (z) або Y ν (z), H ν (1) (z), H ν (2) (z) існують залежності, аналогічні формулам Ейлера:
;
.
З фізичної точки зору, гармонійні функції описують незатухаючі коливання постійної частоти, в той час як функції Бесселя характеризують слабозатухаючий процес, що осцилює, частота якого стає постійною лише в асимптотиці.
Знаходячи рішення рівняння (6.13) у вигляді узагальненого статечного ряду 
, де a mі a– коефіцієнти, що підлягають визначенню, і значення параметра відповідно, отримаємо два приватні рішення:
;
,
(6.14)
які при 
є лінійно незалежними та їх лінійна комбінація утворює загальне рішення рівняння (6.13). Якщо ν = n, то між функціями J п (z) та J -п (z) існує лінійна залежністьвиду 
. Щоб отримати загальне рішення рівняння (6.13) для ν = nі вводиться функція Неймана. Функції J ν
(z) та N ν
(z) утворюють фундаментальну лінійно незалежну систему рішень рівняння Бесселя за будь-яких значень v, зокрема і за цілих.
Функції Бесселя суто уявного аргументу (модифіковані функції Бесселя).Якщо вважати, що 
, де x– речова змінна, то підставляючи це значення (6.14), отримаємо:
;
.
Входять до цих виразів ряди і визначають модифіковані функції Бесселя
;
.
(6.15)
Те, що ряди (6.14) є знакозмінними, а (6.15) – знакопостійними, визначає різку відмінність у їх поведінці (див. рис. 6.9 та 6.10, на яких представлені графіки функцій J n (x) та I n (x) відповідно).
Далі вважатимемо аргумент функції Бесселя речовим числом х. Правило диференціювання функцій Бесселя визначається наступним рекурентним співвідношенням: 
. Зокрема, при 
з урахуванням того що 
, Отримаємо: 
.
Три сусідні за значком функції Бесселя пов'язані співвідношенням
.
(6.16)
Аналогічні формули справедливі й у модифікованих функцій Бесселя:
;
.
З визначення (6.15), враховуючи поведінку гамма-функції при негативних значеннях аргументу, неважко показати, що I n (x)
= I n (x) і, отже, 
.
При напівцілому значку 
, де n– ціле число, функції Бесселя виражаються через елементарні функції, оскільки виконуються співвідношення 
і 
що дозволяє за допомогою рекурентного співвідношення (6.16) визначити 
, і так далі.
Загальні вирази для функцій Бесселя напівцілого значка мають вигляд 
і 
, де символ 
означає п-кратне диференціювання виразу, що стоїть за ним, з множенням результату на 
після кожного диференціювання.
Подальше диференціювання проводиться з урахуванням цього множника. Наприклад,
Наведені висловлювання ще раз підкреслюють осцилюючий і слабозатухаючий характер поведінки функцій Бесселя.
При вивченні асимптотичної поведінки функції Бесселя розглядають різні сценарії поведінки аргументу zта значок v. Найцікавішим і найпростішим є випадок, коли vфіксовано, а 
. У цьому випадку перше наближення для 
має вигляд
,
і відповідно, 
.
Особливістю функцій Бесселя є збільшення зі зростанням vпроміжок 
на якому функція Бесселя близька до нуля.
Важливу роль у вивченні функцій Бесселя відіграють функції, що виробляють. Так, наприклад, якщо розкласти функцію 
комплексної змінної zта речової tв ряд Лорана на околиці істотно особливої точки z = 0, то отримаємо 
.
Вважаючи 
та записуючи умови рівності комплексних чисел, отримаємо два важливі для практики розкладання:
звідки випливає, що
;
.
(6.17)
Користуючись тим, що 
і враховуючи парність косинуса та непарність синуса, ці вирази можна записати у вигляді
;
.
Якщо замінити у цих виразах 
на 
, то отримаємо
;
.
Ці розкладання носять ім'я Якобі, який вперше їх отримав.
Помножуючи ліву та праву частини першої рівності (6.17) на 
, а другу на 
та інтегруючи від 0 до 
, Отримаємо:
Складаючи ці рівності, знаходимо, що за будь-якого п:
.
Цей інтеграл, який можна як інтегральне уявлення функції Бесселя з цілим значком, називається інтегралом Бесселя. При п = 0 інтеграл Бесселя звертається до інтеграла Парсеваля:
.
Для довільного значка vза умови 
справедлива формула Пуассона
.
Переконатися в тому, що за v = 0 ми отримаємо інтеграл Парсеваля, пропонується читачеві самостійно.
Для модифікованих функцій Бесселя 
при 
справедливо інтегральне уявлення Пуассона
.
При v = 0 за допомогою заміни змінної 
можна отримати інтегральне уявлення
.
У багатьох завданнях виявляються корисними теореми складання для безселевих (циліндричних) функцій, найпростішою є наступна.
Нехай 
- Сторони трикутника, наведеного на рис. 6.11, а 
і 
– його кути, що лежать проти сторін 
і 
так, що відповідно до теорем косинусів і синусів 
і 
. Тоді для 
має місце розкладання виду
,
зване формулою Неймана, де 
- Символ Неймана.
Бо при заміні R R, r 1 r 1 , r 2 r 2 кути і не зміняться, то наведену вище формулу можна записати в такому вигляді:
.
При = jз урахуванням того що J k (x) = j k I k (x), k = 0, 1, 2, …, отримаємо:
.
Для довільного значка vтеореми складання для J v (R) та I v (R) набудуть вигляду:
,
.
Нулі циліндричних функцій та розкладання функцій у ряди Фур'є
Безселя.Як зазначалося, нулі базової чи материнської функції визначають масштабний коефіцієнт при побудові базисної системи з урахуванням функцій Бесселя. Розглянемо рівняння 
. Коріння цього рівняння називаються нулями функції Бесселя 
і позначаються як 
Нулі функцій Бесселя 
і 
перемежовуються. Можна показати, що система функцій 
, де 
–n-й корінь рівняння 
, ортогональна на проміжку 
з вагою x, тобто.
Оскільки нулі сусідніх за індексом функцій Бесселя перемежовуються, то 
.
Якщо функція f(x) шматково-безперервна і має обмежену зміну в будь-якому інтервалі ( c, d), що задовольняє умові 0< c < d < a, і
існує інтеграл 
, то ряд Фур'є-Бесселя 
, де 
, сходиться і має суму, тобто збігається з 
у кожній точці її безперервності.
Наведемо приклад використання функцій Бесселя у типовій задачі радіотехніки.
Спектр частотномодульованого (ЧМ) коливання при гармонійному законі модуляції.Знайдемо спектр сигналу, миттєва частота якого дорівнює де 
- Девіація частоти, 
- несуща частота, 
- Частота модуляції. Оскільки фаза коливання 
, то в нашому випадку 
. Ставлення 
називається індексом модуляції. Як ми побачимо з подальшого, саме він визначає структуру спектра ЧС-коливання при гармонійному законі модуляції. Довільну постійну – початкову фазу 
без втрати спільності можна покласти рівною нулю. Таким чином, досліджуваний сигнал має вигляд:
де 
- Амплітуда коливання.
Використовуючи відому формулу, запишемо наш сигнал у вигляді
Застосовуючи розкладання (6.17) та згадану тригонометричну формулу, отримаємо остаточний вираз для спектру ЧС-коливання при гармонійному законі модуляції:
.
Таким чином, спектр досліджуваного сигналу має дискретний характер, причому амплітуди гармонік визначаються номером nта індексом модуляції. Враховуючи осцилюючий характер поведінки функцій Бесселя, зазначимо, що при зміні індексу модуляції 
змінюються співвідношення між амплітудами гармонік.
Звертаючись до рис. 6.9, неважко помітити, що за 
відмінними від нуля будуть лише функції 
,
і 
; нагадаємо що 
і 
відрізняються лише знаком. Таким чином, при 
Якщо до цього додати, що при 
можна вважати 
і 
, то остаточно отримаємо:
Слід зазначити, що такий самий амплітудний спектр має амплітудномодульоване коливання з гармонійним законом модуляції. Переконатись у цьому ми пропонуємо читачеві.
Зі зростанням індексу модуляції число відмінних від нуля гармонік зростає, і спектр коливання розширюється. Так як високу якість ЧС-передач можна забезпечити при великих індексах модуляції, стає зрозумілим, чому якісне стереомовлення ведеться в УКХ-діапазоні, а не на довгих і середніх хвилях.
Інтегральний оператор Фредгольму виду 
де ядром 
є функції Бесселя або пов'язані з ними функції, що визначає перетворення Бесселя. Одним з найчастіше використовуваних окремих випадків цього перетворення є перетворення Ганкеля
,
.
Зворотний оператор (формула звернення) має вигляд
.
З іншими випадками застосування перетворення Бесселя можна познайомитись за допомогою .