Формули ферарі та кардано. Формула кардано для розв'язання кубічного рівняння. Висновок формули Кардано

Кубічним рівняннямназивається рівняння виду

ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 (1)
де a, b, c, d – постійні коефіцієнти, а х – змінна.

Ми розглянемо випадок, коли коефіцієнти є речовими числами.

Коріння кубічного рівняння. Знаходження коріння (рішення) кубічного рівняння.

Число х називається коренем кубічного рівняння(1), якщо при його підстановці рівняння (1) перетворюється на правильну рівність.

Кубічне рівняння має не більше трьох коренів (Над комплексним полем завжди три корені, з урахуванням кратності). І завжди має хоча б 1 (речовий)корінь. Усі можливі випадки складу коренів легко визначити за допомогою знака дискримінанта кубічного рівняння , тобто:

Δ= -4 b 3 d + b 2 c 2 - 4ac 3 + 18abcd - 27a 2 d 2 (Так, це дискримінант кубічного рівняння)

Отже, можливі лише 3 наступні випадки:

Δ > 0 - тоді рівняння має 3 різні корені. (Для просунутих - три різні речовинні корені)
Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 речовий і пару комплексно пов'язаних коренів)
Δ = 0 - хоча б 2 корені рівняння збігаються. Тобто. ми маємо справу або з рівнянням з 2умя збігаються корінням, і ще 1ним відмінним від нього, або з рівнянням з 3емя збігаються корінням. (У будь-якому випадку всі коріння речові. І рівняння має 3 збігаються кореня, тоді і тільки тоді, коли його та його другий похідний дорівнює нулю)

Формула Кардано розв'язання кубічних рівнянь (знаходження коріння).

Це формула знаходження коренів канонічної форми кубічного рівняння. (Над полем комплексних чисел).

Канонічною формоюкубічного рівняння називається рівняння виду

y 3 + py + q = 0 (2)

До такого виду можна привести будь-яке кубічне рівняння виду (1) за допомогою наступної заміни:

Отже, приступимо до обчислення коріння. Знайдемо такі величини:

Дискримінант рівняння (2) у цьому випадку дорівнює

Дискримінант вихідного рівняння (1) матиме той самий знак, що й вищезгаданий дискримінант. Коріння рівняння (2) виражається так:

Відповідно, якщо Q>0, то рівняння (2) та (1) матимуть лише 1 (речовий)корінь, y1. Підставимо його у (3) і знайдемо х для рівняння (1). (якщо вас цікавить також уявне коріння, то просто обчисліть ще й y 2 , y 3 і підставте їх у (3).

Якщо Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).

Якщо ж Q = 0, то всі корені рівнянь (1) і (2) речові, причому як мінімум 2 корені кожного з рівнянь збігаються. При цьому маємо

α = β, та
y 1 =2α,
y 2 = y 3 = - α.

Аналогічно підставляємо (3) і отримуємо відповідь.

Тригонометрична формула Вієта розв'язання кубічних рівнянь (знаходження коріння).

Ця формула знаходить рішення наведеного кубічного рівняння, тобто рівняння виду

x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (4)

Очевидно, будь-яке рівняння виду (1) можна привести до виду (4), просто поділивши його на коефіцієнт а.

Отже, алгоритм застосування цієї формули:

1. Обчислюємо

2. Обчислюємо

3. a) Якщо S>0, то обчислюємо

φ=(arccos(R/Q 3/2))/3

І наше рівняння має 3 корені (речових):

б) Якщо S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Обчислюємо

φ=(Arch(|R|/|Q|3/2)/3

Тоді єдиний корінь (речовий): x 1 = -2sgn (R) * | Q | 1/2 *ch(φ) - a/3

Для тих, кого цікавить також і уявне коріння:

x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
x 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i

ДЕ:

ch(x)=(e x +e -x)/2

Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)

sh(x)=(e x -e -x)/2

sgn(x) - знак х

в) Якщо S = 0, то рівняння має менше трьох різних рішень:

Будь-яке кубічне рівняння з дійсними коефіцієнтами має принаймні один дійсний корінь, два інших або дійсні, або є комплексно пов'язаною парою.

Почнемо огляд з найпростіших випадків - двочленногоі зворотногорівнянь. Потім перейдемо до пошуку раціонального коріння (якщо такі є). Закінчимо прикладом відшукання коренів кубічного рівняння по формулі Карданодля загального випадку.

Навігація на сторінці.

Розв'язання двочленного кубічного рівняння.

Двухлінне кубічне рівняння має вигляд.

Це рівняння наводиться до виду розподілом на коефіцієнт А відмінний від нуля. Далі застосовується формула скороченого множення сума кубів:

З першої дужки знаходимо, а квадратний тричлен має лише комплексне коріння.

приклад.

Знайти дійсне коріння кубічного рівняння.

Рішення.

Застосовуємо формулу скороченого множення різницю кубів:

З першої дужки знаходимо , квадратний тричлен у другій дужці немає дійсних коренів, оскільки його дискримінант негативний.

Відповідь:

Розв'язання поворотного кубічного рівняння.

Поворотне кубічне рівняння має вигляд , де і В – коефіцієнти.

Проведемо угруповання:

Очевидно, що х = -1 є коренем такого рівняння, а коріння отриманого квадратного тричлена легко перебувають через дискримінант.

приклад.

Розв'язати кубічне рівняння .

Рішення.

Це рівняння зворотне. Проведемо угруповання:

Очевидно, x = -1 є коренем рівняння.

Знаходимо коріння квадратного тричлена:

Відповідь:

Розв'язання кубічних рівнянь з раціональним корінням.

Почнемо з найпростішого випадку, коли х = 0 є коренем кубічного рівняння.

У цьому випадку вільний член D дорівнює нулю, тобто рівняння має вигляд .

Якщо винести х за дужки, то в дужках залишиться квадратний тричлен, коріння якого легко знайти або через дискримінант, або за теоремою Вієта .

приклад.

Знайти дійсне коріння рівняння .

Рішення.

x=0 є коренем рівняння. Знайдемо коріння квадратного тричлена.

Так як його дискримінант менше нуля, то дійсних коренів тричлен не має.

Відповідь:

х = 0.

Якщо коефіцієнти кубічного рівняння є цілими числами, то рівняння може мати раціональне коріння.

При домножимо обидві частини рівняння на і проведемо заміну змінних y = Ax :

Прийшли до наведеного кубічного рівняння. Воно може мати ціле коріння, яке є дільником вільного члена. Отже, виписуємо всі дільники і починаємо їх підставляти в отримане рівняння до здобуття тотожної рівності. Той дільник , у якому тотожність отримано, є коренем рівняння. Отже, коренем вихідного рівняння є .

приклад.

Знайти коріння кубічного рівняння.

Рішення.

Перетворимо рівняння до наведеного: домножимо на обидві частини та проведемо заміну змінної y = 2x.

Вільний член дорівнює 36 . Запишемо його дільники: .

Підставляємо їх по черзі на рівність до здобуття тотожності:

Таким чином, y = –1 є коренем. Йому відповідає.

Розділимо на , використовуючи :

Отримуємо,

Залишилося знайти коріння квадратного тричлена.

Очевидно, що , Тобто його кратним коренем є х = 3 .

Відповідь:

Зауваження.

За таким алгоритмом можна розв'язувати поворотні рівняння. Оскільки -1 є коренем будь-якого зворотного кубічного рівняння, можна розділити ліву частину вихідного рівняння на х+1 і знайти коріння отриманого квадратного тричлена.

Що стосується, коли кубічне рівняння немає раціонального коріння, застосовуються інші методи рішення, наприклад, специфічні методи .

Розв'язання кубічних рівнянь за формулою Кардано.

У загальному випадку коріння кубічного рівняння знаходиться за формулою Кардано.

Для кубічного рівняння є значення . Далі знаходимо і .

Підставляємо отримані p і q у формулу Кардано:

Диспут

ФормулаКардано

Мостового

м. Одеса

Диспут

Про суперечку, яка мала статися між уславленим математиком і щонайменше уславленим лікарем, висловлювалися лише найзагальніші здогади, оскільки до ладу ніхто нічого не знав. Говорили, що один із них обдурив іншого (хто саме і кого саме, невідомо). Майже всі ті, хто зібралися на площі, мали про математику найнеясніші уявлення, але кожен з нетерпінням чекав початку диспуту. Це завжди було цікаво, можна було посміятися з невдахи, незалежно від того, правий він чи ні.

Коли годинник на ратуші пробив п'ять, ворота широко відчинилися, і натовп кинувся всередину собору. По обидва боки від осьової лінії, що з'єднує вхід з вівтарем, у двох бічних колон було споруджено дві високі кафедри, призначені для сперечальників. Присутні голосно шуміли, не звертаючи жодної уваги на те, що знаходились у церкві. Нарешті, перед залізними ґратами, що відокремлювала іконостас від решти центрального нефа, з'явився міський глашатай у чорно-фіолетовому плащі та проголосив: «Достославні громадяни міста Мілана! Зараз перед вами виступить знаменитий математик Нікколо Тарталья із Бренії. Його противником мав бути математик та лікар Джеронімо Кардано. Нікола Тарталья звинувачує Кардано в тому, що останньою у своїй книзі «Ars magna» опублікував спосіб вирішення рівняння 3-го ступеня, що належить йому, Тартальє. Однак сам Кардано на диспут прийти не зміг і тому надіслав свого учня Луїджі Феррарі. Отже, диспут оголошується відкритим, його учасники запрошуються на кафедри». На ліву від входу кафедру піднялася незграбна людина з горбатим носом і кучерявою бородою, а на протилежну кафедру зійшов молодик двадцяти з невеликим років, з гарним самовпевненим обличчям. У всій його манері триматися давалася взнаки повна впевненість у тому, що кожен його жест і кожне його слово будуть прийняті із захопленням.

Почав Тарталья.

Шановні панове! Вам відомо, що 13 років тому мені вдалося знайти спосіб вирішення рівняння 3-го ступеня, і тоді я, користуючись цим способом, здобув перемогу в диспуті з Фіорі. Мій спосіб привернув увагу вашого співгромадянина Кардано, і він приклав все своє хитромудре мистецтво, щоб вивідати в мене секрет. Він не зупинився ні перед обманом, ні перед прямим підробкою. Ви знаєте також, що 3 роки тому в Нюрнберзі вийшла книга Кардано про правила алгебри, де мій спосіб, так безсовісно викрадений, був зроблений надбанням кожного. Я викликав Кардано та його учня на змагання. Я запропонував вирішити завдання, стільки ж було запропоновано і мені моїми противниками. Було визначено термін на вирішення завдань - 15 днів. Мені вдалося за 7 днів вирішити більшу частину тих завдань, які були складені Кардано та Феррарі. Я надрукував їх і послав із кур'єром до Мілана. Однак мені довелося чекати п'ять місяців, поки я отримав відповіді до своїх завдань. Вони були вирішені неправильно. Це й дало мені підставу викликати обох на публічний диспут.

Тарталья замовк. Молода людина, подивившись на нещасного Тарталлю, вимовила:

Шановні панове! Мій гідний противник дозволив собі в перших словах свого виступу висловити стільки наклепів на мою адресу і на адресу мого вчителя, його аргументація була настільки голослівною, що мені навряд чи завдасть якоїсь праці спростувати перше і показати вам неспроможність другого. Насамперед, про який обман може йтися, якщо Нікколо Тарталья цілком добровільно поділився своїм способом із нами обома? І ось як пише Джеронімо Кардано про роль мого супротивника у відкритті алгебраїчного правила. Він каже, що не йому, Кардано, «а моєму другові Тартальє належить честь відкриття такого прекрасного і дивовижного, що перевершує людську дотепність і всі таланти людського духу. Це відкриття є по істині небесний дар, такий прекрасний доказ сили розуму, що його спіткав, що вже ніщо не може вважатися для нього недосяжним.

Мій супротивник звинуватив мене та мого вчителя в тому, що ми нібито дали не вірне вирішення його завдань. Але як може бути невірним корінь рівняння, якщо підставляючи його в рівняння і виконуючи всі дії, що вказані в цьому рівнянні, ми приходимо до тотожності? І вже якщо сеньйор Тарталья хоче бути послідовним, то він повинен був відповісти на зауваження, чому ми, вкрали, але його словами, його винахід і використавши його для вирішення запропонованих завдань, отримали неправильне рішення. Ми – мій вчитель і я – не вважаємо, проте винахід синьйора Тартальї неважливим. Цей винахід чудово. Більше того, я, спираючись значною мірою на нього, знайшов спосіб вирішення рівняння 4-го ступеня, і в Ars magna мій вчитель говорить про це. Що ж хоче від нас сеньйор Тарталья? Чого він досягає диспутом?

Панове, панове, - закричав Тарталья, - я прошу вас вислухати мене! Я не заперечую того, що мій молодий супротивник дуже сильний у логіці та красномовстві. Але цим не можна замінити справжній математичний доказ. Завдання, які я дав Кардано та Феррарі, вирішені не правильно, але і я доведу це. Справді, візьмемо, наприклад, рівняння з числа тих, що вирішувалися. Воно, як відомо…

…Так закінчилася ця суперечка, яка і зараз продовжує викликати нові й нові суперечки. Кому насправді належить спосіб розв'язання рівняння 3-го ступеня? Ми говоримо зараз - Нікколо Тартальє. Він відкрив, а Кардано виманив у нього це відкриття. І якщо ми називаємо формулу, що становить коріння рівняння 3-го ступеня через його коефіцієнти, формулою Кардано, це - історична несправедливість. Однак, чи несправедливість? Як підрахувати міру участі у відкритті кожного з математиків? Можливо, з часом хтось і зможе відповісти на це питання абсолютно точно, а можливо це залишиться таємницею.

Формула Кардано

Якщо скористатися сучасною математичною мовою та сучасною символікою, то висновок формули Кардано може бути знайдений за допомогою таких елементарних міркувань:

Нехай нам дано загальне рівняння 3-го ступеня:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Якщо покласти

, то ми наведемо рівняння (1) на вигляд

Введемо нове невідоме Uза допомогою рівності

Вносячи цей вираз у (2) , отримаємо

отже

Якщо чисельник і знаменник другого доданка помножити на вираз і врахувати, що виходить в результаті вираз для uвиявляється симетричним щодо знаків «+» та «-», то остаточно отримаємо

(Виробництво кубічних радикалів в останній рівності має дорівнювати p).

Це і є відома формула Кардано. Якщо перейти від yзнову до x,то отримаємо формулу, що визначає корінь загального рівняння 3-го ступеня.

Молодий чоловік, що так безжально обійшовся з Тарталья, розбирався в математиці так само легко, як і в правах невибагливої таємниці. Феррарі знаходить спосіб розв'язання рівняння 4-го ступеня. Кардано помістив цей спосіб у свою книгу. Що ж є цей спосіб?

Нехай (1)

- загальне рівняння 4-го ступеня.

Якщо покласти

то рівняння (1) можна привести до вигляду

де p,q,r- деякі коефіцієнти, що залежать від a, b, c, d, e. Легко бачити, що це рівняння можна записати у такому вигляді:

Насправді, достатньо розкрити дужки, тоді всі члени, які містять t, взаємно знищується, і ми повернемося до рівняння (2) .

Виберемо параметр tтак, щоб права частина рівняння (3) була повним квадратом щодо y. Як відомо, необхідною та достатньою умовою цього є звернення в нуль дискримінанта з коефіцієнтів тричлена (щодо y), що стоїть праворуч:

Здобули повне кубічне рівняння, яке ми вже можемо вирішити. Знайдемо якийсь його корінь і внесемо його в рівняння (3) , тепер набуде вигляду

Це квадратне рівняння. Вирішуючи його, можна знайти корінь рівняння (2) , а отже і (1) .

За 4 місяці до смерті Кардано закінчив свою автобіографію, якою він напружено писав весь останній рік і яка мала підбити підсумок його складного життя. Він відчував наближення смерті. За деякими відомостями, його власний гороскоп пов'язував його кончину з 75-річчям. Він помер 21 вересня 1576р. за 2 дні до річниці. Є версія, що він наклав на себе руки в очікуванні неминучої смерті або навіть щоб підтвердити гороскоп. У будь-якому разі Кардано – астролог ставився до гороскопу серйозно.

Зауваження про формулу Кардано

Проаналізуємо формулу на вирішення рівняння в речовинної області. Отже,

При обчисленні xнам доводиться витягувати спочатку квадратний корінь, а потім кубічний. Ми зможемо витягти квадратний корінь, залишаючись у речовині, якщо . Два значення квадратного кореня, що відрізняються знаком, фігурують у різних складових для x. Значення кубічного кореня в речовій області єдино і виходить єдиний речовий корінь xпри . Досліджуючи графік кубічного тричлена, неважко переконатися, що він насправді має єдиний речовий корінь при . При є три речові корені. При є дворазовий речовий корінь і одноразовий, а при -триразовий корінь x=0.

Продовжимо дослідження формули при . Виявляється. Якщо при цьому рівняння з цілими коефіцієнтами має цілий корінь, при обчисленні його за формулою можуть виникнути проміжні ірраціональності. Наприклад, рівняння має єдиний корінь (речовий) - x=1. Формула Кардано дає для цього єдиного речового кореня вираз

Але фактично будь-який доказ передбачає використання того, що цей вираз є коренем рівняння. Якщо ж не вгадати того, при перетворенні виникатимуть незнищенні кубічні радикали.

Про проблему Кардано – Тартальї незабаром забули. Формулу для розв'язання кубічного рівняння пов'язали з «Великим мистецтвом» і поступово почали називати формулою Кардано.

У багатьох виникало бажання відновити справжню картину подій у ситуації, коли їхні учасники, безперечно, не говорили всієї правди. Багатьом було важливо встановити ступінь провини Кардано. До кінця XIX століття частина дискусій стала носити характер серйозних історико-математичних досліджень. Математики зрозуміли, яку велику роль наприкінці XVI ст. зіграли роботи Кардано. Стало ясно те, що ще раніше зазначав Лейбніц: «Кардано був великою людиною за всіх його недоліків; без них він був би досконалим».

Формула Кардано

Мостового

м. Одеса

Почав Тарталья.

Шановні панове! Вам відомо, що 13 років тому мені вдалося знайти спосіб вирішення рівняння 3-го ступеня, і тоді я, користуючись цим способом, здобув перемогу в диспуті з Фіорі. Мій спосіб привернув увагу вашого співгромадянина Кардано, і він приклав все своє хитромудре мистецтво, щоб вивідати в мене секрет. Він не зупинився ні перед обманом, ні перед прямим підробкою. Ви знаєте також, що 3 роки тому в Нюрнберзі вийшла книга Кардано про правила алгебри, де мій спосіб, так безсовісно викрадений, був зроблений надбанням кожного. Я викликав Кардано та його учня на змагання. Я запропонував вирішити завдання, стільки ж було запропоновано і мені моїми противниками. Було визначено термін на вирішення завдань – 15 днів. Мені вдалося за 7 днів вирішити більшу частину тих завдань, які були складені Кардано та Феррарі. Я надрукував їх і послав із кур'єром до Мілана. Однак мені довелося чекати п'ять місяців, поки я отримав відповіді до своїх завдань. Вони були вирішені неправильно. Це й дало мені підставу викликати обох на публічний диспут.

Тарталья замовк. Молода людина, подивившись на нещасного Тарталлю, вимовила:

Мій супротивник звинуватив мене та мого вчителя в тому, що ми нібито дали не вірне вирішення його завдань. Але як може бути невірним корінь рівняння, якщо підставляючи його в рівняння і виконуючи всі дії, що вказані в цьому рівнянні, ми приходимо до тотожності? І вже якщо сеньйор Тарталья хоче бути послідовним, то він повинен був відповісти на зауваження, чому ми, вкрали, але його словами, його винахід і використавши його для вирішення запропонованих завдань, отримали неправильне рішення. Ми – мій вчитель і я – не вважаємо, проте винахід синьйора Тартальї не має значення. Цей винахід чудово. Більше того, я, спираючись значною мірою на нього, знайшов спосіб вирішення рівняння 4-го ступеня, і в Ars magna мій вчитель говорить про це. Що ж хоче від нас сеньйор Тарталья? Чого він досягає диспутом?

…Так закінчилася ця суперечка, яка і зараз продовжує викликати нові й нові суперечки. Кому насправді належить спосіб розв'язання рівняння 3-го ступеня? Ми говоримо зараз – Нікколо Тартальє. Він відкрив, а Кардано виманив у нього це відкриття. І якщо ми називаємо формулу, що становить коріння рівняння 3-го ступеня через його коефіцієнти, формулою Кардано, це - історична несправедливість. Однак, чи несправедливість? Як підрахувати міру участі у відкритті кожного з математиків? Можливо, з часом хтось і зможе відповісти на це питання абсолютно точно, а можливо це залишиться таємницею.

Формула Кардано

Нехай нам дано загальне рівняння 3-го ступеня:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Якщо покласти

, то ми наведемо рівняння (1) на вигляд

(2) , .

Введемо нове невідоме Uза допомогою рівності

Вносячи цей вираз у (2) , отримаємо

(3) ,

отже

Якщо чисельник і знаменник другого доданка помножити на вираз

і врахувати, що виходить в результаті вираз для uвиявляється симетричним щодо знаків "+" і "-", то остаточно отримаємо .

(Виробництво кубічних радикалів в останній рівності має дорівнювати p).

(1)

– загальне рівняння 4-го ступеня. (2)

де p,q,r- Деякі коефіцієнти, що залежать від a, b, c, d, e. Легко бачити, що це рівняння можна записати у такому вигляді:

(3)

Диспут

Формула Кардано

Диспути в середні віки завжди являли собою цікаве видовище, які приваблювали пустопорожніх городян від малого до великого. Теми диспутів мали різноманітний характер, але обов'язково науковий. При цьому під наукою розуміли те, що входило до переліку так званих семи вільних мистецтв було, звичайно, богослов'я. Богословські диспути були найчастішими. Сперечалися про все. Наприклад, про те, чи долучати мишу до духа святого, якщо з'їсть причастя, чи могла Кумська сівіла передбачити народження Ісуса Христа, чому брати і сестри рятівника не зараховані до лику святих і т.д.
Про суперечку, яка мала статися між уславленим математиком і щонайменше уславленим лікарем, висловлювалися лише найзагальніші здогади, оскільки до ладу ніхто нічого не знав. Говорили, що один із них обдурив іншого (хто саме і кого саме, невідомо). Майже всі ті, хто зібралися на площі, мали про математику найнеясніші уявлення, але кожен з нетерпінням чекав початку диспуту. Це завжди було цікаво, можна було посміятися з невдахи, незалежно від того, правий він чи ні.
Коли годинник на ратуші пробив п'ять, ворота широко відчинилися, і натовп кинувся всередину собору. По обидва боки від осьової лінії, що з'єднує вхід з вівтарем, у двох бічних колон було споруджено дві високі кафедри, призначені для сперечальників. Присутні голосно шуміли, не звертаючи жодної уваги на те, що знаходились у церкві. Нарешті, перед залізними ґратами, що відокремлювала іконостас від решти центрального нефа, з'явився міський глашатай у чорно-фіолетовому плащі та проголосив: «Достославні громадяни міста Мілана! Зараз перед вами виступить знаменитий математик Нікколо Тарталья із Бренії. Його противником мав бути математик та лікар Джеронімо Кардано. Нікола Тарталья звинувачує Кардано в тому, що останньою у своїй книзі «Ars magna» опублікував спосіб вирішення рівняння 3-го ступеня, що належить йому, Тартальє. Однак сам Кардано на диспут прийти не зміг і тому надіслав свого учня Луїджі Феррарі. Отже, диспут оголошується відкритим, його учасники запрошуються на кафедри». На ліву від входу кафедру піднялася незграбна людина з горбатим носом і кучерявою бородою, а на протилежну кафедру зійшов молодик двадцяти з невеликим років, з гарним самовпевненим обличчям. У всій його манері триматися давалася взнаки повна впевненість у тому, що кожен його жест і кожне його слово будуть прийняті із захопленням.
Почав Тарталья.

Шановні панове! Вам відомо, що 13 років тому мені вдалося знайти спосіб вирішення рівняння 3-го ступеня, і тоді я, користуючись цим способом, здобув перемогу в диспуті з Фіорі. Мій спосіб привернув увагу вашого співгромадянина Кардано, і він приклав все своє хитромудре мистецтво, щоб вивідати в мене секрет. Він не зупинився ні перед обманом, ні перед прямим підробкою. Ви знаєте також, що 3 роки тому в Нюрнберзі вийшла книга Кардано про правила алгебри, де мій спосіб, так безсовісно викрадений, був зроблений надбанням кожного. Я викликав Кардано та його учня на змагання. Я запропонував вирішити завдання, стільки ж було запропоновано і мені моїми противниками. Було визначено термін на вирішення завдань – 15 днів. Мені вдалося за 7 днів вирішити більшу частину тих завдань, які були складені Кардано та Феррарі. Я надрукував їх і послав із кур'єром до Мілана. Однак мені довелося чекати п'ять місяців, поки я отримав відповіді до своїх завдань. Вони були вирішені неправильно. Це й дало мені підставу викликати обох на публічний диспут.

Тарталья замовк. Молода людина, подивившись на нещасного Тарталлю, вимовила:

Шановні панове! Мій гідний противник дозволив собі в перших словах свого виступу висловити стільки наклепів на мою адресу і на адресу мого вчителя, його аргументація була настільки голослівною, що мені навряд чи завдасть якоїсь праці спростувати перше і показати вам неспроможність другого. Насамперед, про який обман може йтися, якщо Нікколо Тарталья цілком добровільно поділився своїм способом із нами обома? І ось як пише Джеронімо Кардано про роль мого супротивника у відкритті алгебраїчного правила. Він каже, що не йому, Кардано, «а моєму другові Тартальє належить честь відкриття такого прекрасного і дивовижного, що перевершує людську дотепність і всі таланти людського духу. Це відкриття є по істині небесний дар, такий прекрасний доказ сили розуму, що його спіткав, що вже ніщо не може вважатися для нього недосяжним».
Мій супротивник звинуватив мене та мого вчителя в тому, що ми нібито дали не вірне вирішення його завдань. Але як може бути невірним корінь рівняння, якщо підставляючи його в рівняння і виконуючи всі дії, що вказані в цьому рівнянні, ми приходимо до тотожності? І вже якщо сеньйор Тарталья хоче бути послідовним, то він повинен був відповісти на зауваження, чому ми, вкрали, але його словами, його винахід і використавши його для вирішення запропонованих завдань, отримали неправильне рішення. Ми – мій вчитель і я – не вважаємо, проте винахід синьйора Тартальї неважливим. Цей винахід чудово. Більше того, я, спираючись значною мірою на нього, знайшов спосіб вирішення рівняння 4-го ступеня, і в Ars magna мій вчитель говорить про це. Що ж хоче від нас сеньйор Тарталья? Чого він досягає диспутом?
Панове, панове, - закричав Тарталья, - я прошу вас вислухати мене! Я не заперечую того, що мій молодий супротивник дуже сильний у логіці та красномовстві. Але цим не можна замінити справжній математичний доказ. Завдання, які я дав Кардано та Феррарі, вирішені не правильно, але і я доведу це. Справді, візьмемо, наприклад, рівняння з числа тих, що вирішувалися. Воно, як відомо...

У церкві зчинився неймовірний шум, що поглинув повністю закінчення фрази, розпочатої невдалим математиком. Йому не дали продовжувати. Натовп вимагав від нього, щоб він замовк, і щоб черга була надана Феррарі. Тарталья, бачачи, що продовження суперечки абсолютно марно, поспішно опустився з кафедри і вийшов через північний притвор на площу. Натовп бурхливо вітав «переможця» диспуту Луїджі Феррарі.
Так закінчилася ця суперечка, яка і зараз продовжує викликати нові й нові суперечки. Кому насправді належить спосіб розв'язання рівняння 3-го ступеня? Ми говоримо зараз - Нікколо Тартальє. Він відкрив, а Кардано виманив у нього це відкриття. І якщо ми називаємо формулу, що становить коріння рівняння 3-го ступеня через його коефіцієнти, формулою Кардано, це - історична несправедливість. Однак, чи несправедливість? Як підрахувати міру участі у відкритті кожного з математиків? Можливо, згодом хтось і зможе відповісти на це питання абсолютно точно, а можливо, це залишиться таємницею.

Формула Кардано

Якщо скористатися сучасною математичною мовою та сучасною символікою, то висновок формули Кардано може бути знайдений за допомогою таких елементарних міркувань:
Нехай нам дано загальне рівняння 3-го ступеня:

Якщо покласти , то ми наведемо рівняння (1) до виду

, (2)

де , .
Введемо нове невідоме за допомогою рівності.
Вносячи цей вираз у (2), отримаємо

. (3)

Звідси
,

отже,
.

Якщо чисельник і знаменник другого доданка помножити на вираз і врахувати, що виходить в результаті вираз для виявляється симетричним щодо знаків «» і «», то остаточно отримаємо

(Виробництво кубічних радикалів в останній рівності має дорівнювати).
Це і є відома формула Кардано. Якщо перейти від знову до , то отримаємо формулу, що визначає корінь загального рівняння 3-го ступеня.
Молодий чоловік, що так безжально обійшовся з Тарталья, розбирався в математиці так само легко, як і в правах невибагливої таємниці. Феррарі знаходить спосіб розв'язання рівняння 4-го ступеня. Кардано помістив цей спосіб у свою книгу. Що ж є цей спосіб?
Нехай
- (1)

Загальне рівняння 4-го ступеня.
Якщо покласти , то рівняння (1) можна привести до вигляду

, (2)

де , , - деякі коефіцієнти, що залежать від , , , , . Легко бачити, що це рівняння можна записати у такому вигляді:

. (3)

Справді, достатньо розкрити дужки, тоді всі члени, що містять , взаємно знищується, і ми повернемось до рівняння (2).
Виберемо параметр так, щоб права частина рівняння (3) була повним квадратом щодо . Як відомо, необхідною і достатньою умовою цього є звернення в нуль дискримінанта з коефіцієнтів тричлена (щодо ), що стоїть праворуч:
. (4)

Здобули повне кубічне рівняння, яке ми вже можемо вирішити. Знайдемо якийсь його корінь і внесемо його в рівняння (3), тепер набуде вигляду

Звідси
.

Це квадратне рівняння. Вирішуючи його, можна знайти корінь рівняння (2), отже, і (1).
За 4 місяці до смерті Кардано закінчив свою автобіографію, якою він напружено писав весь останній рік і яка мала підбити підсумок його складного життя. Він відчував наближення смерті. За деякими відомостями, його власний гороскоп пов'язував його кончину з 75-річчям. Він помер 21 вересня 1576 р. за 2 дні до річниці. Є версія, що він наклав на себе руки в очікуванні неминучої смерті або навіть щоб підтвердити гороскоп. У будь-якому разі Кардано – астролог ставився до гороскопу серйозно.

Зауваження про формулу Кардано

Проаналізуємо формулу для вирішення рівняння у речовій області. Отже,
.

Сподобалася стаття? Поділіться їй

Роздрукувати статтю