A menudo funciones de interpolación significativas y, y2 , ..., No es prudente comenzar a experimentar con perdones deyaky; En general, es más natural abordar la función no detrás de los puntos, sino en medio, así que en una de las normas L p.

Espacio 1 r - sin función d (x), en función de la forma [a, b] que están integrados módulo s p-ésimo paso, cuando se asigna la norma

El concepto de tal norma se llama cambio en promedio. El espacio 1,2 se llama Hilbert y el nuevo espacio es cuadrado medio.

No dé una función dada Dx) y una función sin función f (x) de un estándar lineal simple al espacio. En el contexto del problema de interpolación, aproximación y aproximación, es posible formular los dos pasos siguientes.

Perche zavdannya- una cadena de aproximación a partir de una precisión dada, de modo que de acuerdo con una determinada mi saber taku f (x), inconsistencia de wikonuvalasya | [Dx) - f (x) || R.

Amigo zavdannya- tse poshuk la cercanía más bella, decir lo siguiente:

Visualmente, sin demostrar que tengo suficiente inteligencia, puedo ver el enfoque más hermoso. Para todo el espacio lineal, las funciones son vibradas, parametrizadas por el viraz

de conjunto de funciones f [(x), ..., f „(x) vvazhatimo linealmente independientes.

Se puede demostrar que, en cualquier espacio normal, con una aproximación lineal (2.16), está más cerca del corazón, si la piel tiene un espacio lineal en el medio.

El espacio de Hilbert (b (x)> 0) se puede integrar fácilmente con un cuadrado con p (x)> 0 en [, el complemento escalar ( g, h) está asignado para

fórmulas:

Representamos para las mentes de la mejor aproximación a la combinación de líneas (2.16), se sabe

Priryvnyuchi a cero pérdidas por rendimiento (D, k= 1, ..., П, podemos reconocer el sistema de iguales lineales

El titular de la tarjeta de visita del sistema (2.17) se denomina titular de la tarjeta de visita de Gram. La tarjeta de presentación Grama es de cero, oskilki vvazhaєte, pero el sistema de funciones f [(x), ..., f „(x) es linealmente independiente.

Con tal rango, el enfoque más hermoso es sin dino. Para el rechazo, es necesario revisar el sistema de rivnyans (2.17). Si el sistema de funciones φ1 (x), ..., φn (x) está ortogonalizado, de modo que (φ /, φ,) = 5y, de 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., NS, entonces el sistema se puede ver desde el viglyad:

Conozca bien (2.18) el desempeño Q, ..., dn se llaman kofitsinty uzagalnogo row Fur'є.

Si el conjunto de funciones φ t (X), ..., φ „(x), ... configurará el sistema, entonces a través de la igualdad de Parseval en P - "z, la tasa de abducción no cambia. Tse significa que es más conveniente que la aproximación del cuadrado medio converja a Dx) para una precisión dada.

Significativamente, el progreso del desempeño del enfoque más hermoso para la solución adicional de los sistemas y los equivalentes (2.17) es prácticamente factible, parte del orden de crecimiento de la matriz de Gram y el diseñador se ha vuelto más de cero. El sistema de Virіshennya y la línea en cualquier caso con una matriz de este tipo se producen con una pérdida significativa de precisión. Perevіrimo tse.

Deje que el sistema de funciones φ "i = 1, ..., P, vibre el paso, de modo que φ * = X 1", 1 = 1, ..., NS, todі, vazhayuyu yak de las aproximaciones aproximadas, conocidas por la matriz de Gram

La matriz de Gram de la forma (2.19) se llama matriz de Hilbert. Un extremo común de las llamadas matrices podridas.

Con la ayuda de MATLAB, el formato de la matriz de Hilbert en la forma (2.19) para los primeros valores NS. El Listado 2.5 tiene el código de los programas relacionados.

Listado 23

% Cálculo del nombre de las matrices de Hilbert% despejando el área de trabajo limpiar todo;

% vibro valor máximo pedido% matriz de Hilbert ptah = 6;

% será un ciclo para formular las matrices de% Hilbert y calcularlas

para n = 1: nmax d (n) = det (hi I b (n)); fin

% valor vivodimo de fórmulas% matrices de Hilbert

f o g ta t extremo corto

El símbolo del sistema de MATLAB era culpable de mostrar los determinantes de las matrices de Hilbert para las primeras seis matrices. En las tablas siguientes, hay valores numéricos específicos del orden de las matrices (n) y las fórmulas їх (d). Se ve claramente en la tabla que la marca de la matriz de Hilbert es casi cero cuando el pedido crece, cuando se repara en los pedidos 5, 6, se vuelve inaceptablemente defectuoso.

Tabla de valor del nombre de las matrices de Hilbert

La ortogonalización numérica de los sistemas de funciones φ, i = 1, ..., P también se puede hacer hasta el punto de menor precisión, por lo que el número de miembros en la lista es grande (2.16), es necesario llevar ortogonalización de la misma manera, de una manera igualmente funcional, analítica y precisa

Si, con interpolación, puede usar el sistema de funciones básicas de los pasos, al aproximarse al nivel medio, se seleccionan las funciones básicas, ortogonales al automóvil dado. Naybilsh viviendo de ellos є La incineración de Jacobi, completaremos con los del encarcelamiento de Legendre y Chebishev. Vikoristovuyt también polіnomi Lagsrr y Ermіta. Puede obtener más información sobre las polinomías, por ejemplo, en un suplemento. Polinomías ortogonales libros.

El primer capítulo del informe tiene uno de los métodos más extendidos para abordar funciones: la interpolación. Ale tsey sposib no es el único. En el caso de empresas aplicadas virtuales versátiles que inducen esquemas numéricos, no es fácil aprender estos métodos. Al mismo tiempo, los métodos para rechazar el enfoque del cuadrado medio son discernibles. El nombre del enfoque está vinculado con espacios métricos, en los que se puede ver la atención de la función. En el razdіlі 1 prohibimos el testigo "línea métrica de estándares de espacio" y "espacio euclidiano métrico" que empujaron, de modo que el engaño del enfoque se inicia con el espacio métrico, en el que se puede ver al propietario de la cercanía. . En las vastas extensiones del entendimiento, hay mucho significado. Mirando la interpolación, no enfatizaron el respeto. Y en una gran cantidad de comida tendremos la oportunidad de atender el informe.

5.1. Aproximación por Bagpoints trigonométricos y Bagpoints de Legendre Prostir l2

Función sin función fácil de entender, cómo integrarse con la plaza de Lebesgue en el camino
, de modo que tal, scho maє isnuvati integraral
.

Oskilki vikonutsya inequidad obvia, con la integración del cuadrado de funciones
і
culpable de seguir e integrar con el cuadrado de cualquier tipo de combinación lineal
, (de
і
 ser como números de voz), así como la integración de la creación
.

Introducido sin funciones, que se puede integrar con el cuadrado Lebesgue en la parte posterior
, operador escalar

. (5.1.1)

A partir de los poderes de la integral vipliv, se ha introducido la operación de creación escalar, que es menos importante que todo el poder de creación escalar en el espacio euclidiano (div. Párrafo 1.10, p. 57):

Solo la primera vez, el poder para salir victorioso no llega hasta el final, por lo que el viconan de umov no lo hará.

Spraved, yaksho
, entonces las estrellas no son despectivas
en vidrizka
... Para ello se ha introducido el funcionamiento de pequeña potencia, es necesario no distribuir (aún más) funciones.
і
, para yak

.

Con el resto del respeto, se superpusieron, pero las funciones integradas sin función con las funciones cuadradas de Lebesgue (más precisamente, las clases sin función de funciones equivalentes) configuraron el espacio euclidiano, en una forma diseñada para la operación. Todo el espacio se llama espacio de Lebesgue, y significa
por un corto .

Oskіlki será una especie de espacio euclidiano automáticamente en espacio normal y métrico
también є espacio normal y métrico. La norma (valor del elemento) y la métrica (en forma de elementos) se ingresan de la manera estándar:

(5.1.2)

(5.1.3)

Las normas de potencia (axiomi) de la métrica de orientación en el párrafo 1.10. Elementos del espacio
no funciones, sino clases de funciones equivalentes. Las funciones, que pertenecen a una clase, pueden ser significativas de cualquier tipo o para navegar a una clase diferente.
... La cercanía de Tom al aire libre
viznachayutsya ambiguo. Qia es inaceptable por la especialidad del espacio.
pagar con la ayuda de una solución escalar.

Para suavizar las funciones discretas de Altman y para introducir la teoría de la ininterrupción en la teoría, se fijó la aproximación integral de raíz cuadrada media por el polinomio de los pasos incrementales.

Al mismo tiempo, no es necesario converger a la función, para encontrar la función de indefinidamente diferenciados. Para las funciones que se pueden abordar, para la ayuda de un desarrollo general de las universidades, hay una disminución en los pasos de un polinomio. ... La estructura de las funciones de Altman es tal que puede abordar más fácilmente la función detrás de la interpolación adicional y la motivación para el mejor enfoque cuadrático medio del espacio lineal normal. La comprensión y la visibilidad básicas son perceptibles cuando se lo solicita el enfoque más hermoso. El enfoque de Zavdannya y optimizatsii se establecen en los espacios lineales estandarizados.

Espacio normal métrico y lineal

Antes de la comprensión más avanzada de las matemáticas, se pone "sin sonido" y "visualización". Los conceptos de "mnogin", "nabir", "sukupnist", "familia", "sistema", "clase" son sinónimos de teoría no estricta de muchos.

El término "operador" es el mismo término "visualización". Los términos "operación", "función", "funcional", "zahid" tienen que ver con el contexto de la comprensión de la "visualización".

Los términos "estructura", "espacio" con la inducción axiomática de las teorías matemáticas también se basan en el significado básico. Antes de las estructuras matemáticas, debería haber estructuras teóricas de conjuntos (conjuntos ordenados y parcialmente ordenados); estructuras algebraicas abstractas (por ejemplo, grupos, grupos, kiltsya, tila, campos, álgebra, grati); estructuras diferenciales (llamadas formas diferenciales, espacios abiertos) ,,,,,,.

Desde la estructura a la estructura, hay un conjunto de números, se almacena en un conjunto de números (el conjunto principal), un campo numérico (un conjunto adicional) y una imagen, establecida en los elementos del rodamiento y los números. en el campo. Además, en el sentido de que se toman, se toman los números complejos sin función, se toma el papel tanto de la multiplicidad principal como de la adicional. El término "estructura" es el mismo concepto de "espacio".

Para configurar el espacio, es necesario configurar un uso gratuito con sus propios elementos (puntos), que se denota con letras latinas y nogal.

Yak nosy puede tener la forma de elementos de acción impotentes (o complejos): números; vector_v ,; Matriz,; Después de eventos; funciones;

Como el elemento de la nariz puede verse como intransitable: eje de acción, área, espacio trivial (y de gran escala), reordenamiento, gorguera; pluralidad abstracta.

Viznachennya. Espacio métrico є una estructura que establecerá una función triple, no imaginada є no una función poderosa de dos argumentos para cualquier xey de M y para la satisfacción de tres axiomas.

• 1 - falta de conocimiento; , por.
• 2 - simetría;
• 3 - axioma de reflexividad.

de - tse vіdstanі mіzh elementos.

En el espacio métrico, se pregunta una métrica y se forma un entendimiento sobre la cercanía de dos elementos de una multitud de narices.

Viznachennya. El espacio lineal (vectorial) es una estructura, la visualización es la operación aditiva de plegar elementos, que se superpone, y el renderizado es la operación de multiplicar un número por elemento.

La operación significa que para dos elementos cualesquiera, el tercer elemento se asigna de forma inequívoca, se expresan los títulos de la suma y por conocer, y dicho axiomio.

El poder es conmutativo.

Poder social.

Hay un elemento especial, que se significa a través de ellos, que es para que cualquiera salga victorioso.

porque sea-lo que sea, scho.

El elemento se llama protolezhny y se significa a través.

La operación significa, para cualquier elemento, para cualquier número de valores, un elemento que se significa mediante y vikonutsya axiomi:

Los elementos (puntos) del espacio lineal también se denominan vectores. Los axiomas 1 - 4 definen un grupo (aditivo), llamado módulo y estructura.

Como el funcionamiento de las estructuras no está ordenado por ningún axioma, dicha estructura se denomina grupo. La estructura de qia es duzhe bіdna; en el nuevo axioma de asociación alemán, la estructura se denomina monoide (napivgroup).

A las estructuras detrás de la representación adicional y los axiomas 1-8 se les asigna el poder de linealidad.

Además, el espacio de línea es un módulo de grupo, hasta cuya estructura se da una operación: una pluralidad de elementos con un número de 4 axiomas. Como sustituto de la operación, asigne el orden de una operación de grupo a una pluralidad de elementos de 4 axiomas y postule un axioma de distributividad, una estructura llamada campo.

Viznachennya. Normas lineales de estructura espacial є, en las que está representado por los siguientes axiomas:

• 1. y todi y privado de todi, si.
• 2. , .
• 3. , .

Hay 11 axiomas en total.

Por ejemplo, si en la estructura del campo de números reales, diseñar números, agregar un módulo, pero hay las tres normas autorizadas, entonces el campo de números reales se convierte en un espacio estándar.

Se ampliaron dos formas introducidas por las normas: ya sea mediante la creación explícita de una vista de intervalo de un funcional opaco de un solo lado, o mediante el establecimiento de un complemento escalar.

No sea tan amable con lo funcional, puede establecer un número ilimitado de formas, cambiando el valor:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Otra extensión es la forma de recibir un poliago en el que se puede introducir más de una imagen en la estructura (la función de dos argumentos, que se denomina producto escalar).

Viznachennya. Espacio euclidiano є estructura en un sólido escalar para vengar la norma y estar de acuerdo con los axiomas:

• 4., además, si

En el espacio euclidiano, la norma es generada por la fórmula

Hay 1 - 4 potencias del vipliv escalar, por lo que se cumplen todas las normas axiomi. Si hay una adición escalar en el viglyad, entonces la norma se calcula para la fórmula

Es difícil establecer la norma para el espacio con la ayuda de la creación escalar.

En la inmensidad de la creación escalar, existen tales cualidades, como durante el día en los espacios abiertos normales lineales (ortogonalidad de elementos, igualdad de un paralelogramo, teorema de Pitágoras, como Apolíneo

Viznachennya. Hay una dotación no especificada de elementos en un espacio normal lineal que se llamará similar a la norma (solo para subir a bordo), ya que existe tal elemento, para que cualquiera sepa un número como para acostarse así.

Viznachennya. El último de los elementos se llama fundamental, en cuanto al número de la piel, de modo que se pueda almacenar para ver qué sucede (Tryogin Kolmogorov, Kantorovich, z 48)

Viznachennya. Tal estructura se denomina espacio de Banach, en el que es fundamental estar de acuerdo con la norma.

Viznachennya. El espacio de Hilbert se denomina estructura de este tipo en lo que sea fundamental para la consistencia de la convergencia de la norma, generada por la crema escalar.

Aproximación cuadrática media de la función.

La mejor aproximación cuadrática media posible de la función del polinomio
detrás del sistema
.

Valor 1.

Usamos el polinomio de orden m detrás del sistema (k k) para llamar a la combinación de líneas

de C k - Buenos discursos.

Zavdannya. Conocer polinom
, Nimensh para mejorar la función f de la métrica L 2, tobto. scho umovі feliz:

Teorema 1.

Sistema Yaksho
es linealmente independiente, entonces el establecimiento de la aproximación cuadrática media más hermosa para todo el sistema puede ser inequívocamente inequívoco.

Podemos escribir el cuadrado de la apariencia entre la función y el polinomio:

(1)

Obviamente, la cantidad
- La función cuadrática de los minions se asigna inadvertidamente
y tal función de alcanzar el valor mínimo. En tal rango, resolviendo los problemas de aproximación cuadrática media al núcleo.

Te trajo la unidad de la solución.

Escribiremos las cosas necesarias para decir al mínimo:

, i = 0, ..., m.

Numerosos privados para c i virases (1), podemos reconocer el sistema lineal de rivnyans:

(2)

El sistema (2) se llama sistema normal.

Vipishemo viznachnik del sistema central

(3)

System viznachnik (3) - así títulos Visitante de Gramu sistemas
... Vidomo, sistema shho yaksho
- es linealmente cuadrado, entonces el visnatnik
0 (fácil de manejar). Bueno para los teoremas de la mente
0 ese sistema (2) es fácil de resolver.

1.6. Rectificado y almacenado ortogonal clásico en problemas de aproximación de funciones.

Deje que el espacio H-hilbert con cuajada escalar yo, aparentemente, la norma
... Un extremo importante de tal espacio є por lo que los títulos del espacio
- el espacio de las funciones f (x), que es la integral de Kintsevia:

(1)

Aquí h (x) se llama así función de carro, scho feliz con las mentes:

Yaksho w = (0 + ), luego maє vikonuvatisya umova:

tobto. culpa por los momentos de tu función.

Valor 1.

Para
scalar tv_r se asigna:

(2)

y según la norma:

buena suerte (1).

Vikoristovuchi se reconocerá la inercia de Koshi - Bunyakovsky - Schwartz

Para eso, escalar tvіr no es para

Valor 2.

Hazte igual con los elementos f y g para comenzar con el mismo valor:

.

Nutrición Winikak, elemento cero de yak rosumiti. Norma Yaksho
, Chi viplivaє estrellas, scho f = g? Terminología introducida: f = g puede estar en todas partes, de modo que pueda verse al final del número de puntos.

Valor 3.

f y g ortogonal en v_drizku con vagoya h (x), yaksho = 0 (escribir corto
).

En cuanto al espacio de Hilbert, tomaré el sistema linealmente
, i = 0,1,2, ..., entonces її se puede ortogonalizar.

Puedes ver el sistema de trasero de yak:
A
El conjunto de funciones de estado de Kintseviy es linealmente independiente, por lo tanto, debido a la estructura de todo el sistema, es posible crear polinomías ortogonales. Ahora está disponible un procedimiento de ortogonalización recurrente (procedimiento de Gram-Schmidt):

(3)

Los coeficientes b k + 1, j se basan en mentes de ortogonalidad:

Último día multiplicando (3) por
otrimmo

(4)

stock 1.

Hop h (x) 1, = [- 1,1].

Siga las tres primeras polinomías ortogonales para el procedimiento (3) - (4).

Dali maєmo:

ya,

Para un sistema de orejetas ortogonales de longitud [-1,1] con h (x) = 1, la fórmula de Rodrig es válida:

(5)

Ç (5) último reconocido:

La obsesión de esta forma se denominan polinomías de Legendre.

El respeto.

Conociendo el procedimiento (3) - (4), el afilado ortogonal solo puede verse mediante multiplicadores para conocer la fórmula explícita de Rodrigue (5).

El cuadrado de normas para polinomios cich en la entrada:

El embolsado de Tobto tsі no es normal, astillas

Para todos los errores clásicos, existe una fórmula recursiva. Para los polinomios de Legendre vona, existe tal viglyad:

Vamos
La aproximación cuadrática media es visible:

Delaware
- calificación de aproximación cuadrática media,

- similar a la serie Fur'є para la función f (x) detrás del sistema de puntos de bolsa ortogonales (Pk (x)).

Debido a la ortogonalidad del equipaje de Legendre, el sistema de líneas normales (2) de §1.5 se convierte en diagonal, y la solución es crear antes del inicio de cambios para actuaciones con k:

(7)

tener en cuenta las normas mínimas L 2.

El informe ha recibido un indulto de aproximación.

Desde el lado

s ortogonalidad.

Pidstavlyayuchi en (8), otrimaєmo

. (9)

stock 2.

Vaya f (x) = | x |.

Aproxime f (x) por [-1,1] y a una bolsa cuadrada media afilada a otro paso. Calcule el perdón cuadrático medio.

Sistema Legendre ortogonal de Vikoristov:

Las coeficientes con k se conocen a partir de la fórmula (7), la forma completa de los polinomios de Legendre:

1.7. Deyakі zagalnі poder de polinomivismo ortogonal.

P n (x) es ortogonal a cualquier bolsa algebraica de m-ésimo nivel M m (x) para m

M m (x) puede ser por el mismo orden de impuestos a la vista de la combinación de línea de equipaje de Legendre:

La equivalencia (10) es la misma, porque la eficiencia ak por el mismo rango se calcula equiparando la eficiencia con los escalones superiores. Multiplique la infracción de la parte (10) por P n (x), maєmo

debido a la ortogonalidad del sistema

Polynom P n (x) se puede utilizar para adaptarse a [-1,1] exactamente n raíces efectivas y diferentes.

Sorprendentemente, con los teoremas de Gauss, el polinomio P n (x) puede tener más o menos n raíces (aparentemente, complejas). No moleste a P n (x) menos, menos n raíces reales simples. Significativamente їх
Detrás de los puntos, hay un problema fundamental.

Claramente claro:
- la bolsa está inclinada (k + n), que es baja
multiplicidad pareada. Esto significa que la nueva bolsa es suficiente.
signo zberigє antes de la hora cruzando el cero tsi, tobto. signo zberig en [-1,1]. Zvidsi siguiente

Si vamos más allá de la potencia de 1, entonces P n (x) está ligado por unión pero ortogonal a M k (x).

Entre dos ceros dobles, la bolsa apunta P n (x) para situarse exactamente en un cero. La bolsa apunta P n-1 (x).

Proceda de acuerdo con la inducción para obtener la ayuda adicional de la comunicación recurrente (6).

En el caso de n-emparejamiento, P n (x) es una función emparejada de x, con n-no emparejado, P n (x) es una función no emparejada de x.

El pasamanos iz de los polinomios de Legendre se denomina polinomios ortogonales clásicos para tales sistemas de polinomios (dal (a, b) - intervalo de ortogonalidad, r (x) - función wag).

1) Bagatole Jacobi {R NS (l m) ( NS)) - a a = -1, B= 1 r ( NS) = (1-NS) l (1 + X) m, l> -1, m> -1. Las condiciones especiales para el tamaño del equipaje en Jacobi corresponden a los valores de avance lym: l= m- embolsado ultrasférico (los llaman bagatons de Gegenbauer); l= m = - 1/2, tobto. -harpillera Chebisheva 1er tipo T norte (X); l= m = 1/2, tobto. - harpillera Chebisheva 2do tipo U norte (X);

2) Bagatoleni Laguerre L norte (X) - a a = 0, B= + ∞ y r ( NS) = mi -NS(їх estrellas son también el equipaje Chebishev - Laguerre) y el equipaje Laguerre - en. 3) METROsegmentos de pierna Ermita norte norte (NS) - a a = -∞, B= + ∞ і (їх también se llaman Chebishev - Ermіt baguettes).