Що таке лінійно-незалежні вектори. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектор. Приклади завдань дослідження коллінеарності векторів

Нехай L - Лінійний простір над полем Р . Нехай А1, а2, …, аn (*) кінцева система векторів з L . Вектор У = a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn (16) називається Лінійною комбінацією векторів ( *), або кажуть, що вектор У лінійно виражається через систему векторів (*).

Визначення 14. Система векторів (*) називається Лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли існує такий ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … , an, що a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0. Якщо ж a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) називається Лінійно незалежною.

Властивості лінійної залежності та незалежності.

10. Якщо система векторів містить нульовий вектор, вона лінійно залежна.

Дійсно, якщо в системі (*) вектор А1 = 0, То 1× 0 + 0× А2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Якщо система векторів містить два пропорційні вектори, вона лінійно залежна.

Нехай А1 = L×а2. Тоді 1× А1 -l× А2 + 0× А3 + … + 0× А N = 0.

30. Кінцева система векторів (*) при n ³ 2 лінійно залежна тоді і лише тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Þ Нехай (*) лінійно залежна. Тоді знайдеться ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … an, при якому a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 . Не порушуючи спільності, можна вважати, що a1 ¹ 0. Тоді існує і А1 = ×a2× А2 + … + ×an× А N. Отже, вектор А1 є лінійною комбінацією інших векторів.

Ü Нехай один із векторів (*) є лінійною комбінацією інших. Можна вважати, що це перший вектор, тобто. А1 = B2 А2+ … + bn А N, Звідси (–1)× А1 + b2 А2+ … + bn А N = 0 , Т. е. (*) лінійно залежна.

Зауваження. Використовуючи останню властивість, можна дати визначення лінійної залежності та незалежності нескінченної системи векторів.

Визначення 15. Система векторів А1, а2, …, аn , … (**) називається Лінійно залежною, Якщо хоча б її вектор є лінійною комбінацією деякого кінцевого числа інших векторів. В іншому випадку система (**) називається Лінійно незалежною.

40. Кінцева система векторів лінійно незалежна тоді й тільки тоді, коли жоден із її векторів не можна лінійно виразити через інші її вектори.

50. Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема теж лінійно незалежна.

60. Якщо деяка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, і вся система теж лінійно залежна.

Нехай дані дві системи векторів А1, а2, …, аn , … (16) та В1, в2, …, вs, … (17). Якщо кожен вектор системи (16) можна як лінійної комбінації кінцевого числа векторів системи (17), то говорять, що система (17) лінійно виражається через систему (16).

Визначення 16. Дві системи векторів називаються Еквівалентними якщо кожна з них лінійно виражається через іншу.

Теорема 9 (Основна теорема про лінійну залежність).

Нехай і – дві кінцеві системи векторів з L . Якщо перша система лінійно незалежна та лінійно виражається через другу, то N£ s.

Доведення.Припустимо, що N> S.За умовою теореми

(21)

Оскільки система лінійно незалежна, то рівність (18) Х1 = х2 = ... = хN = 0.Підставимо сюди вирази векторів: …+=0 (19). Звідси (20). Умови (18), (19) та (20), очевидно, еквівалентні. Але (18) виконується тільки за Х1 = х2 = ... = хN = 0.Знайдемо, коли правильна рівність (20). Якщо його коефіцієнти дорівнюють нулю, воно, зрозуміло, правильно. Прирівнявши їх нулю, отримаємо систему (21). Так як ця система має нульове, то вона

спільна. Так як число рівнянь більше від кількості невідомих, то система має нескінченно багато рішень. Отже, вона має ненульове Х10, х20, …, хN0. При цих значеннях рівність (18) вірно, що суперечить тому, що система векторів лінійно незалежна. Отже, наше припущення не вірне. Отже, N£ s.

Слідство.Якщо дві еквівалентні системи векторів кінцеві і лінійно незалежні, вони містять однакове число векторів.

Визначення 17. Система векторів називається Максимально лінійно незалежною системою векторів Лінійний простір L якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого вектора з L , що не входить до цієї системи, вона стає вже лінійно залежною.

Теорема 10. Будь-які дві кінцеві максимальні лінійно незалежні системи векторів з L Містять однакове число векторів.

Доведеннявипливає з того, що будь-які дві максимальні лінійно незалежні системи векторів еквівалентні .

Легко довести, що будь-яку лінійно незалежну систему векторів простору L можна доповнити максимальної лінійно незалежної системи векторів цього простору.

Приклади:

1. У багатьох колінеарних геометричних векторів будь-яка система, що складається їх одного ненульового вектора, є максимальною лінійно незалежною.

2. У багатьох всіх компланарних геометричних векторів будь-які два не колінеарні векторскладають максимальну лінійно незалежну систему.

3. У багатьох всіх можливих геометричних векторів тривимірного евклідового простору будь-яка система трьох некомпланарних векторів є максимальною лінійно незалежною.

4. У багатьох багаточленів ступеня не вище NЗ дійсними (комплексними) коефіцієнтами система багаточленів 1, х, х2, … , хnЄ максимальною лінійно незалежною.

5. У багатьох багаточленів з дійсними (комплексними) коефіцієнтами прикладами максимальної лінійно незалежної системи є

а) 1, х, х2, …, хn, …;

б) 1, (1 - х), (1 - х)2, … , (1 - х)N, …

6. Безліч матриць розмірності M´ Nє лінійним простором (перевірте це). Прикладом максимальної лінійно незалежної системи у цьому просторі є система матриць Е11= , Е12 =, …, ЕMn = .

Нехай дана система векторів С1, с2, …, порівн (*). Підсистема векторів із (*) називається Максимальної лінійно незалежної ПідсистемоюСистеми ( *) якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого іншого вектора ця система вона стає лінійно залежною. Якщо система (*) кінцева, то будь-яка її максимальна лінійно незалежна підсистема містить одне й те число векторів. (Доказ проведіть самостійно). Число векторів у максимальній лінійно незалежній підсистемі системи (*) називається Рангом Цієї системи. Очевидно, що еквівалентні системи векторів мають однакові ранги.

Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , серед яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівність. >.

Якщо ж ця рівність виконується тільки в тому випадку, коли всі , то система векторів називається лінійно незалежною.

Теорема.Система векторів буде лінійно залежноютоді і лише тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших.

приклад 1.Багаточлен є лінійною комбінацією багаточленів. Багаточлени становлять лінійно незалежну систему, так як багаточлен https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

приклад 2.Система матриць , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" є лінійно незалежною, так як лінійна комбінація дорівнює нульовій матриці тільки в тому випадку, коли https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21"> /images/image022_26.gif" width="40" лінійно залежною.

Рішення.

Складемо лінійну комбінацію даних векторів https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" 22">.

Прирівнюючи однойменні координати рівних векторів, отримуємо width="289" height="69">

Остаточно отримаємо

і

Система має єдине тривіальне рішення, тому лінійна комбінація даних векторів дорівнює нулю лише у випадку, коли всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Тому система векторів лінійно незалежна.

приклад 4.Вектори лінійно незалежні. Якими будуть системи векторів

a).;

b).?

Рішення.

a).Складемо лінійну комбінацію та прирівняємо її до нуля

Використовуючи властивості операцій з векторами в лінійному просторі, перепишемо останню рівність у вигляді

Так як вектори лінійно незалежні, то коефіцієнти повинні бути дорівнюють нулю, тобто gif.

Отримана система рівнянь має єдине тривіальне рішення .

Оскільки рівність (*) виконується тільки при - лінійно незалежні;

b).Складемо рівність https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" (**)

Застосовуючи аналогічні міркування, отримаємо

Вирішуючи систему рівнянь методом Гауса, отримаємо

або

Остання система має безліч рішень https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким чином, існує, ненульовий набір коефіцієнтів, для якого виконується рівність (**) . Отже, система векторів - Лінійно залежна.

Приклад 5Система векторів лінійно незалежна, а система векторів лінійно залежна. gif. (***)

У рівності (***) . Дійсно, система була б лінійно залежною.

Зі співвідношення (***) отримуємо або Позначимо .

Отримаємо

Завдання для самостійного вирішення (в аудиторії)

1. Система, що містить нульовий вектор, є лінійно залежною.

2. Система, що складається з одного вектора а, лінійно залежна тоді і лише тоді, коли, а=0.

3. Система, що складається з двох векторів, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли вектори пропорційні (тобто один з них виходить з іншого множенням на число).

4. Якщо до лінійно залежної системи додати вектор, то вийде лінійно залежна система.

5. Якщо з лінійно незалежної системи видалити вектор, отримана система векторів лінійна незалежна.

6. Якщо система Sлінійно незалежна, але стає лінійно залежною при додаванні вектора b, то вектор bлінійно виражається через вектори системи S.

c).Система матриць , у просторі матриць другого порядку.

10. Нехай система векторів a,b,cвекторного простору лінійно незалежно. Доведіть лінійну незалежність наступних систем векторів:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–довільне число

c).a+b, a+c, b+c.

11. Нехай a,b,c– три вектори на площині, у тому числі можна скласти трикутник. Чи ці вектори будуть лінійно залежні?

12. Дано два вектори a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Підібрати ще два чотиривимірні вектори a3 таa4так, щоб система a1,a2,a3,a4була лінійно незалежною .

Введені нами лінійні операції над векторамидають можливість складати різні вирази для векторних величинта перетворювати їх за допомогою встановлених для цих операцій властивостей.

З заданого набору векторів а 1 , ..., а n , можна скласти вираз виду

де а 1 ..., а n - довільні дійсні числа. Цей вираз називають лінійною комбінацією векторіва 1, ..., а n. Числа α i , i = 1, n , являють собою коефіцієнти лінійної комбінації. Набір векторів називають ще системою векторів.

У зв'язку з введеним поняттям лінійної комбінації векторів виникає задача опису безлічі векторів, які можуть бути записані у вигляді лінійної комбінації даної системи векторів а 1 ..., а n . Крім того, закономірні питання про умови, за яких існує уявлення вектора у вигляді лінійної комбінації, та про єдиність такого уявлення.

Визначення 2.1.Вектори а 1 ..., а n називають лінійно залежнимиякщо існує такий набір коефіцієнтів α 1 , ... , α n , що

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

і при цьому хоча б один із цих коефіцієнтів ненульовий. Якщо зазначеного набору коефіцієнтів немає, то вектори називають лінійно незалежними.

Якщо α 1 = ... = α n = 0, то, очевидно, α 1 а 1 + ... + α n а n = 0. Маючи це на увазі, можемо сказати так: вектори а 1 , ..., а n лінійно незалежні, якщо з рівності (2.2) випливає, що всі коефіцієнти 1, ... , n рівні нулю.

Наступна теорема пояснює, чому нове поняття названо терміном "залежність" (або "незалежність") і дає простий критерій лінійної залежності.

Теорема 2.1.Щоб вектори а 1 , ..., а n , n > 1, були лінійно залежні, потрібно й достатньо, щоб одне із них був лінійної комбінацією інших.

◄ Необхідність. Припустимо, що вектори а 1 ..., а n лінійно залежні. Згідно з визначенням 2.1 лінійної залежності, в рівності (2.2) зліва є хоча б один ненульовий коефіцієнт, наприклад, α 1 . Залишивши перший доданок в лівій частині рівності, перенесемо інші в праву частину, змінюючи, як завжди, у них знаки. Розділивши отриману рівність на α 1 , отримаємо

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

тобто. подання вектора a 1 як лінійної комбінації інших векторів а 2 , ..., а n .

Достатність. Нехай, наприклад, перший вектор а 1 можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів: а 1 = β 2 а 2 + ... + β n а n. Перенісши всі складові з правої частини ліву, отримаємо а 1 - β 2 а 2 - ... - β n а n = 0, тобто. лінійну комбінацію векторів а 1 , ..., а n з коефіцієнтами α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , рівну нульовий вектор.У цій лінійній комбінації не всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Відповідно до визначення 2.1, вектори а 1 ..., а n лінійно залежні.

Визначення та критерій лінійної залежності сформульовані так, що мають на увазі наявність двох або більше векторів. Однак можна також говорити про лінійну залежність одного вектора. Щоб реалізувати таку можливість, потрібно замість "вектори лінійно залежні" говорити "система векторів лінійно залежна". Неважко переконатися, що вираз "система з одного вектора лінійно залежна" означає, що цей єдиний вектор є нульовим (у лінійній комбінації є лише один коефіцієнт, і він не повинен дорівнювати нулю).

Поняття лінійної залежності має просту геометричну інтерпретацію. Цю інтерпретацію проясняють такі три твердження.

Теорема 2.2.Два вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони колінеарні.

◄ Якщо вектори а і b лінійно залежні, один із них, наприклад а, виражається через інший, тобто. а = b для деякого дійсного числа . Відповідно до визначення 1.7 творивектора на число, вектори і b є колінеарними.

Нехай тепер вектори а та b колінеарні. Якщо вони обидва нульові, то очевидно, що вони лінійно залежні, тому що будь-яка їхня лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору. Нехай один із цих векторів не дорівнює 0, наприклад вектор b. Позначимо через λ відношення довжин векторів: λ = |а|/|b|. Колінеарні вектори можуть бути односпрямованимиабо протилежно спрямованими. В останньому випадку у λ змінимо знак. Тоді, перевіряючи визначення 1.7, переконуємось, що а = b. Відповідно до теореми 2.1, вектори а та b лінійно залежні.

Зауваження 2.1.У разі двох векторів, враховуючи критерій лінійної залежності, доведену теорему можна переформулювати так: два вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли один з них представляється як твір іншого на число. Це є зручним критерієм колінеарності двох векторів.

Теорема 2.3.Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони компланарні.

◄ Якщо три вектори а, Ь, з лінійно залежними, то згідно з теоремою 2.1 один з них, наприклад а, є лінійною комбінацією інших: а = βb + γс. Сумісний початок векторів b і с у точці A. Тоді вектори βb, γс матимуть загальний початок у точці A і по правилу паралелограма їх сума,тобто. вектор а, буде вектор з початком A і кінцем, що є вершиною паралелограма, побудованого на векторах-доданків. Отже, всі вектори лежать у одній площині, т. е. компланарны.

Нехай вектори а, b, компланарні. Якщо один із цих векторів є нульовим, то очевидно, що він буде лінійною комбінацією інших. Достатньо всі коефіцієнти лінійної комбінації взяти рівними нулю. Тому можна вважати, що всі три вектори не є нульовими. Сумісний початкуцих векторів у загальній точці O. Нехай їх кінцями будуть відповідно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведемо прямі, паралельні прямим, що проходить через пари точок O, A і O, B. Позначивши точки перетину через A" та B", отримаємо паралелограм OA"CB", отже, OC" = OA" + OB" . OA" і ненульовий вектор а=OA колінеарні, а тому перший з них може бути отриманий множенням другого на дійсне число α:OA" = αOA . Аналогічно OB" = βOB , β ∈ R. В результаті отримуємо, що OC" = α + βOB , тобто вектор є лінійною комбінацією векторів а і b. Відповідно до теореми 2.1, вектори a, b, з є лінійно залежними.

Теорема 2.4.Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

◄ Доказ проводимо за тією самою схемою, що й у теоремі 2.3. Розглянемо довільні чотири вектори a, b, c і d. Якщо один із чотирьох векторів є нульовим, або серед них є два колінеарні вектори, або три з чотирьох векторів компланарні, то ці чотири вектори лінійно залежні. Наприклад, якщо вектори а і b колінеарні, то ми можемо скласти їх лінійну комбінацію αa + βb = 0 з ненульовими коефіцієнтами, а потім до цієї комбінації додати два вектори, взявши в якості коефіцієнтів нулі. Отримаємо рівну 0 лінійну комбінацію чотирьох векторів, де є ненульові коефіцієнти.

Таким чином, ми можемо вважати, що серед обраних чотирьох векторів немає нульових, жодні два не колінеарні і ніякі три не є компланарними. Виберемо як їхній загальний початок точку О. Тоді кінцями векторів a, b, с, d будуть деякі точки A, B, С, D (рис. 2.2). Через точку D проведемо три площини, паралельні площин ОВС, OCA, OAB, і нехай A", B", С" - точки перетину цих площин з прямими OA, OB, ОС відповідно. Ми отримуємо паралелепіпед OA"C"B"C" B"DA", і вектори a, b, з лежать на його ребрах, що виходять з вершини О. Так як чотирикутник OC"DC" є паралелограмом, то OD = OC" + OC". У свою чергу, відрізок ОС є діагоналлю паралелограма OA"C"B", тому OC" = OA" + OB" , а OD = OA" + OB" + OC" .

Залишається помітити, що пари векторів OA ≠ 0 і OA" , OB ≠ 0 і OB" , OC ≠ 0 і OC колінеарні, і, отже, можна підібрати коефіцієнти α, β, γ так, що OA" = αOA , OB" = βOB і OC" = γOC. Остаточно отримуємо OD = αOA + βOB + γOC. Отже, вектор OD виражається через решту трьох векторів, а всі чотири вектори, згідно з теоремою 2.1, лінійно залежні.

Нехай у -мірному арифметичному просторі є сукупність векторів .

Визначення 2.1.Сукупність векторів називається лінійно незалежноюсистемою векторів, якщо рівність виду

виконується лише за нульових значень числових параметрів .

Якщо рівність (2.1) може бути виконано за умови, що хоча б один із коефіцієнтів відмінний від нуля, то така система векторів буде називатися лінійно залежною .

приклад 2.1.Перевірити лінійну незалежність векторів

Рішення.Складемо рівність виду (2.1)

Ліва частинаданого виразу може звертатися в нуль тільки при виконанні умови що означає, що система є лінійно-незалежною.

приклад 2.1.Чи будуть вектори лінійно незалежними?

Рішення.Неважко перевірити, що рівність вірна при значеннях , . Отже, ця система векторів лінійно залежить.

Теорема 2.1. Якщо система векторів є лінійно залежною, будь-який вектор із цієї системи може бути представлений у вигляді лінійної комбінації (або суперпозиції) інших векторів системи.

Доведення. Припустимо, що система векторів лінійно залежна. Тоді через визначення існує набір чисел , Серед яких хоча б одне число відмінно від нуля, і при цьому справедлива рівність (2.1):

Без втрати спільності припустимо, що ненульовим коефіцієнтом є , тобто . Тоді останню рівність можна розділити на і далі виразити вектор:

.

Таким чином, вектор представлений у вигляді суперпозиції векторів. . Теорему 1 доведено.

Слідство. Якщо – сукупність лінійно незалежних векторів, то жоден вектор із цього набору не може бути виражений через інші.

Теорема 2.2. Якщо система векторів містить нуль-вектор, то така система обов'язково буде лінійно залежною.

Доведення. Нехай вектор є нуль-вектором, тобто .

Тоді вибираємо постійні ( ) наступним чином:

, .

У цьому рівність (2.1) виконується. Перший доданок зліва дорівнює нулю внаслідок того, що нуль-вектор. Інші доданки перетворюються на нуль, будучи помноженими на нульові константи ( ). Таким чином,

при , а значить, вектори лінійно залежні. Теорему 2.2 доведено.

Наступне питання, на який нам належить відповісти, яке найбільше векторів може скласти лінійно незалежну системув n-мірному арифметичному просторі У пункті 2.1 було розглянуто природний базис (1.4):

Було встановлено, що довільний вектор мірного простору є лінійною комбінацією векторів природного базису, тобто довільний вектор виявляється у природному базисі у вигляді

, (2.2)

де – координати вектора , які є деякі числа. Тоді рівність

можливо лише при , а значить, векторів природного базису утворюють лінійно незалежну систему. Якщо додати до цієї системи довільний вектор , то на підставі слідства теореми 1 система буде залежною, оскільки вектор виражається через вектори за формулою (2.2).

Цей приклад показує, що в n-мірному арифметичному просторі існують системи, що складаються з лінійно незалежних векторів А якщо до цієї системи додати хоча б один вектор, то отримаємо систему лінійно залежних векторів. Доведемо, що й число векторів перевищує розмірність простору, всі вони лінійно залежні.

Теорема 2.3.У -мірному арифметичному просторі не існує системи, що складається більш ніж з лінійно незалежні вектори.

Доведення. Розглянемо довільних-мірних векторів:

………………………

Нехай . Складемо лінійну комбінацію векторів (2.3) та прирівняємо її до нуля:

Векторна рівність (2.4) рівнозначна скалярним рівностям для координат векторів :

(2.5)

Ці рівності утворюють систему однорідних рівнянь із невідомими . Оскільки число невідомих більше числа рівнянь ( ), то через наслідки теореми 9.3 розділу 1 однорідна система (2.5) має ненульове рішення. Отже, рівність (2.4) справедлива при деяких значеннях серед яких не всі рівні нулю, а значить, система векторів (2.3) лінійно залежна. Теорему 2.3 доведено.

Слідство. У мірному просторі існують системи, що складаються з лінійно незалежних векторів, а будь-яка система, що містить більше векторів, буде лінійно залежною.

Визначення 2.2.Систему лінійно незалежних векторів називають базисом просторуякщо будь-який вектор простору може бути виражений у вигляді лінійної комбінації цих лінійно незалежних векторів.

2.3. Лінійне перетворення векторів

Розглянемо два вектори і -мірного арифметичного простору.

Визначення 3.1.Якщо кожному вектору зіставлений вектор із цього ж простору , то кажуть, що задано деяке перетворення -мірного арифметичного простору.

Будемо позначати це перетворення через . Вектор називатимемо образом. Можна записати рівно

. (3.1)

Визначення 3.2.Перетворення (3.1) називатимемо лінійним, якщо воно задовольняє наступним властивостям:

, (3.2)

, (3.3)

де – довільний скаляр (число).

Задамо перетворення (3.1) у координатній формі. Нехай координати векторів і пов'язані залежністю

(3.4)

Формули (3.4) задають перетворення (3.1) координатної формі. Коефіцієнти ( ) системи рівностей (3.4) можна подати у вигляді матриці

званою матрицею перетворення (3.1).

Введемо вектори-стовпці

,

елементи яких суть координати векторів і відповідно, так що і . Далі будемо вектори-стовпці і називати векторами.

Тоді перетворення (3.4) може бути записане у матричній формі

. (3.5)

Перетворення (3.5) є лінійним з властивостей арифметичних операцій над матрицями .

Розглянемо деяке перетворення , чином якого є нуль-вектор. У матричному вигляді це перетворення матиме вигляд

, (3.6)

а в координатній формі – являти собою систему лінійних однорідних рівнянь

(3.7)

Визначення 3.3.Лінійне перетворення називається невиродженим, якщо визначник матриці лінійного перетворення не дорівнює нулю, тобто . Якщо визначник перетворюється на нуль, то перетворення буде виродженим .

Відомо, що система (3.7) має тривіальне (очевидне) рішення – нульове. Це рішення є єдиним, якщо тільки визначник матриці не дорівнює нулю.

Ненульові рішення системи (3.7) можуть з'являтися, якщо лінійне перетворення є виродженим, тобто за нульового визначника матриці .

Визначення 3.4. Рангом перетворення (3.5) називається ранг матриці перетворення.

Можна сказати, що цьому ж числу дорівнює кількість лінійно-незалежних рядків матриці.

Звернемося до геометричної інтерпретації лінійного перетворення (3.5).

Приклад 3.1.Нехай задана матриця лінійного перетворення , де Візьмемо довільний вектор , де і знайдемо його образ:
Тоді вектор
.

Якщо то вектор змінить і довжину і напрямок. На рис.1 .

Якщо , то отримаємо образ

,

тобто вектор
або , а це означає, що змінить лише довжину, але не змінить напрямок (рис. 2).

Приклад 3.2.Нехай , . Знайдемо образ:

,

тобто
, або .

Вектор в результаті перетворення змінив свій напрямок на протилежний, при цьому довжина вектора збереглася (рис. 3).

приклад 3.3.Розглянемо матрицю лінійного перетворення. Нескладно показати, що у цьому випадку образ вектора повністю збігається із самим вектором (рис. 4). Справді,

.

Можна сказати, що лінійне перетворення векторів змінює вихідний вектор і за довжиною, і за напрямом. Однак у деяких випадках існують такі матриці, які перетворюють вектор лише за напрямом (приклад 3.2) або лише за довжиною (приклад 3.1, випадок) ).

Слід зауважити, що всі вектори, що лежать на одній прямій, утворюють лінійно залежні вектори.

Повернімося до лінійного перетворення (3.5)

і розглянемо сукупність векторів , для яких чином є нуль-вектор, так що .

Визначення 3.5. Сукупність векторів, які є рішенням рівняння , утворює підпростір -мірного арифметичного простору і називається ядром лінійного перетворення.

Визначення 3.6. Дефектом лінійного перетворення називається розмірність ядра цього перетворення, тобто найбільше число лінійно-незалежних векторів, що задовольняють рівняння .

Оскільки рангом лінійного перетворення ми називаємо ранг матриці , можна сформулювати таке твердження щодо дефекту матриці: дефект дорівнює різниці , де - розмірність матриці, - її ранг.

Якщо ранг матриці лінійного перетворення (3.5) шукається методом Гаусса, ранг збігається з кількістю відмінних від нуля елементів на головній діагоналі вже перетвореної матриці, а дефект визначається кількістю нульових рядків.

Якщо лінійне перетворення є невиродженим, тобто , його дефект звертається в нуль, оскільки ядром є єдиний нульовий вектор.

Якщо лінійне перетворення вироджене та , то система (3.6) крім нульового рішення має інші, і дефект у разі вже відрізняється від нуля.

Особливий інтерес викликають перетворення, які, змінюючи довжину, не змінюють напрямок вектора. Точніше, залишають вектор на прямий, що містить вихідний вектор, за умови, що пряма проходить через початок координат. Такі перетворення будуть розглянуті у пункті 2.4.

Поняття лінійної залежності та незалежності системи векторів є дуже важливими щодо алгебри векторів, оскільки на них базуються поняття розмірності та базису простору. У цій статті ми дамо визначення, розглянемо властивості лінійної залежності та незалежності, отримаємо алгоритм дослідження системи векторів на лінійну залежність та детально розберемо рішення прикладів.

Навігація на сторінці.

Визначення лінійної залежності та лінійної незалежності системи векторів.

Розглянемо набір з p n-вимірних векторів, позначимо їх наступним чином. Складемо лінійну комбінацію цих векторів та довільних чисел (дійсних чи комплексних): . Відштовхуючись від визначення операцій над n-вимірними векторами, а також властивостей операцій складання векторів і множення вектора на число, можна стверджувати, що записана лінійна комбінація являє собою деякий n-вимірний вектор , тобто .

Так ми підійшли до визначення лінійної залежності системи векторів.

Визначення.

Якщо лінійна комбінація може бути нульовим вектором тоді, коли серед чисел є хоча б одне, відмінне від нуля, то система векторів називається лінійно залежною.

Визначення.

Якщо лінійна комбінація є нульовим вектором тільки тоді, коли всі числа рівні нулю, то система векторів називається лінійно незалежною.

Властивості лінійної залежності та незалежності.

На підставі даних визначень, сформулюємо та доведемо властивості лінійної залежності та лінійної незалежності системи векторів.

Якщо до лінійно залежної системи векторів додати кілька векторів, отримана система буде лінійно залежною.

Доведення.

Оскільки система векторів лінійно залежить, то рівність можлива за наявності хоча б одного ненульового числа з чисел . Нехай.

Додамо до вихідної системи векторів ще s векторів , у своїй отримаємо систему . Так як і , то лінійна комбінація векторів цієї системи виду

являє собою нульовий вектор, а . Отже, одержана система векторів є лінійно залежною.

Якщо з лінійно незалежної системи векторів виключити кілька векторів, отримана система буде лінійно незалежною.

Доведення.

Припустимо, отримана система лінійно залежна. Додавши до системи векторів всі відкинуті вектори, ми отримаємо вихідну систему векторів. За умовою – вона лінійно незалежна, а в силу попередньої властивості лінійної залежності вона має бути лінійно залежною. Ми дійшли протиріччя, отже, наше припущення неправильне.

Якщо системі векторів є хоча б один нульовий вектор, то така система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай вектор у цій системі векторів є нульовим. Припустимо, вихідна система векторів лінійно незалежна. Тоді векторна рівність можлива лише тоді, коли . Однак, якщо взяти будь-яке , відмінне від нуля, то рівність все одно буде справедливо, оскільки . Отже, наше припущення є невірним, і вихідна система векторів лінійно залежить.

Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один із її векторів лінійно виражається через інші. Якщо система векторів лінійно незалежна, то жоден із векторів не виражається через інші.

Доведення.

Спочатку доведемо перше твердження.

Нехай система векторів лінійно залежна, тоді існує хоча б одне відмінне від нуля число і при цьому правильна рівність. Цю рівність можна розв'язати щодо , оскільки при цьому маємо

Отже, вектор лінійно виражається через інші вектори системи , що потрібно було довести.

Тепер доведемо друге твердження.

Оскільки система векторів лінійно незалежна, то рівність можлива лише за .

Припустимо, що вектор системи виражається лінійно через інші. Нехай цим вектором є тоді. Цю рівність можна переписати як , у його лівій частині знаходиться лінійна комбінація векторів системи, причому коефіцієнт перед вектором відмінний від нуля, що вказує на лінійну залежність вихідної системи векторів. Так ми дійшли протиріччя, отже, властивість доведено.

З двох останніх властивостей випливає важливе твердження:
якщо система векторів містить вектори і , де - довільне число, вона лінійно залежна.

Вивчення системи векторів на лінійну залежність.

Поставимо завдання: нам потрібно встановити лінійну залежність або лінійну незалежність системи векторів.

Логічне питання: «як її вирішувати?»

Щось корисне з практичної точки зору можна винести з розглянутих вище визначень та властивостей лінійної залежності та незалежності системи векторів. Ці визначення та властивості дозволяють нам встановити лінійну залежність системи векторів у таких випадках:

Як же бути в інших випадках, яких більшість?

Розберемося із цим.

Нагадаємо формулювання теореми про ранг матриці, яке ми наводили в статті .

Теорема.

Нехай r - ранг матриці А порядку p на n, . Нехай М - базовий мінор матриці А . Усі рядки (всі стовпці) матриці А , які беруть участь у освіті базисного мінору М , лінійно виражаються через рядки (стовпці) матриці, які породжують базисний мінор М .

А тепер пояснимо зв'язок теореми про ранг матриці з дослідженням системи векторів на лінійну залежність.

Складемо матрицю A, рядками якої будуть вектори досліджуваної системи:

Що означатиме лінійна незалежність системи векторів?

З четвертої якості лінійної незалежності системи векторів знаємо, що жоден із векторів системи не виражається через інші. Іншими словами, жодний рядок матриці A не буде лінійно виражатися через інші рядки, отже, лінійна незалежність системи векторів буде рівнозначною умовою Rank(A)=p.

Що ж означатиме лінійна залежністьсистеми векторів?

Все дуже просто: хоча б один рядок матриці A лінійно виражатиметься через інші, отже, лінійна залежність системи векторів буде рівнозначною умовою Rank(A)

.

p align="justify"> Отже, завдання дослідження системи векторів на лінійну залежність зводиться до завдання знаходження рангу матриці, складеної з векторів цієї системи.

Слід зазначити, що з p>n система векторів буде лінійно залежною.

Зауваження: при складанні матриці А вектори системи можна брати не як рядки, а як стовпці.

Алгоритм дослідження системи векторів на лінійну залежність.

Розберемо алгоритм на прикладах.

Приклад дослідження системи векторів на лінійну залежність.

приклад.

Дана система векторів. Досліджуйте її на лінійну залежність.

Рішення.

Так як вектор з нульовою, то вихідна система векторів лінійно залежить від третього властивості.

Відповідь:

Система векторів лінійно залежить.

приклад.

Вивчіть систему векторів на лінійну залежність.

Рішення.

Не складно помітити, що координати вектора c дорівнюють відповідним координатам вектора , помноженим на 3 , тобто . Тому вихідна система векторів лінійно залежна.