Що називається підмножиною даної множини. Що таке підмножина? Елементи теорії графів

Належні A, також належить B. Формальне визначення:

(A \subset B) \Leftrightarrow \forall x. (x \in A \Rightarrow x \in B).

Безліч Bназивається надмножиноюбезлічі A, якщо A- підмножина B.

Існує два символічні позначення для підмножин:

Обидві системи позначень використовують символ \subsetу різних сенсах, що може призвести до плутанини. У цій статті ми будемо використовувати останню систему позначень.

Те, що Bназивається надмножиною A, часто записують B \supset A.

Безліч всіх підмножин множини Aпозначається \mathcal(P)(A)і називається булеаном.

Власна підмножина

Будь-яка безліч Bє своєю підмножиною. Якщо ми хочемо виключити Bз розгляду ми користуємося поняттям власного

Безліч Aє власним підмножиною множини B, якщо A \subset Bі A \ne B.

Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Якщо ми також хочемо виключити з розгляду порожню безліч, ми користуємося поняттям нетривіальногопідмножини, що визначається так:

Безліч Aє нетривіальним підмножиною множини B, якщо Aє власним підмножиною Bі A \ne \varnothing.

Приклади

  • Безліч \varnothing, \(0\), \(1,3,4\). \{ 0,1,2,3,4,5\}
  • Безліч \(\varnothing, \uparrow, moose\), \($,%,*,\uparrow\), \(\varnothing\), \varnothingє підмножинами множини \($, %, \varnothing, \uparrow, *, moose \)
  • Нехай A = \(a,b\)тоді \mathcal(P)(A) = \(\varnothing, \(a\), \(b\), \(a,b\) \).
  • Нехай A = \ (1,2,3,4,5 \), \; B = \ (1,2,3 \), \; C = \ (4,5,6,7). Тоді B \subset A,\; C \not\subset A.

Властивості

Ставлення підмножини має цілу низку властивостей.

  • Відношення підмножини є ставленням часткового порядку:
    • Відношення підмножини рефлексивно: B \subset B
    • Відношення підмножини антисиметрично: (A \subset B \; \and \; B \subset A) \Leftrightarrow (A = B)
    • Ставлення підмножини транзитивно: (A \subset B \;\and \; B \subset C) \Rightarrow (A \subset C)
  • Порожня множина є підмножиною будь-якого іншого, тому вона є найменшою множиною щодо відношення підмножини: \varnothing\subset B
  • Для будь-яких двох множин Aі Bнаступні твердження еквівалентні:
    • A \subset B.
    • A \ cap B = A.
    • A \cup B = B.
    • B^(\complement) \subset A^(\complement).

Підмножини кінцевих множин

Якщо вихідна множина звичайно, то у нього існує кінцева кількість підмножин. А саме, у n-елементної множини існує 2^nпідмножин (включаючи порожнє). Щоб переконатися в цьому, достатньо помітити, що кожен елемент може або входити, або не входити до підмножини, а отже, загальна кількість підмножин буде n-кратним твором двійок. Якщо ж розглядати лише підмножини n-елементної множини з k\le nелементів, їх кількість виражається биномиальным коефіцієнтом \textstyle\binom(n)(k). Для перевірки цього факту можна вибирати елементи підмножини послідовно. Перший елемент можна вибрати nспособами, другий n-1способом, і так далі, і, нарешті, k-й елемент можна вибрати n-k+1способом. Таким чином ми отримаємо послідовність з kелементів, і рівно k!таким послідовностям відповідає одне підмножина. Значить, найдеться \textstyle\frac(n(n-1)\dots(n-k+1))(k=\binom{n}{k}!}таких підмножин.

Напишіть відгук про статтю "Підмножина"

Примітки

Література

  • Верещагін Н. К., Шень А.Лекції з математичної логіки та теорії алгоритмів. Частина 1. Початки теорії множин. - 3-тє вид., стереотип. – М.: МЦНМО, 2008. – 128 с. - ISBN 978-5-94057-321-0.

Уривок, що характеризує підмножину

– Я не винен, що розмова зайшла за інших офіцерів. Можливо, не треба було говорити при них, та я не дипломат. Я потім у гусари і пішов, думав, що тут не потрібно тонкощів, а він мені каже, що я брешу… то хай дасть мені задоволення…
- Це все добре, ніхто не думає, що ви боягуз, та не в тому річ. Запитайте у Денисова, схоже це на щось, щоб юнкер вимагав задоволення у полкового командира?
Денисов, закусивши вус, з похмурим виглядом слухав розмову, мабуть не бажаючи вступати до нього. На запитання штаб ротмістра він заперечливо похитав головою.
— Ви при офіцерах кажете полковому командиру про цю гидоту, — вів далі штаб ротмістр. – Богданович (Богдановичем називали полкового командира) вас обложив.
- Не обложив, а сказав, що я неправду говорю.
- Ну так, і ви наговорили йому дурниць, і треба перепросити.
- Нізащо! – крикнув Ростов.
- Не думав я цього від вас, - серйозно і суворо сказав штаб ротмістр. — Ви не хочете вибачитись, а ви, батюшка, не тільки перед ним, а перед усім полком, перед усіма нами, ви навкруги винні. А от як: якби ви подумали та порадилися, як обійтися з цією справою, а то ви прямо, та за офіцерів, і бухнули. Що тепер робити полковому командиру? Потрібно віддати під суд офіцера і забруднити весь полк? За одного негідника весь полк осоромити? Так, чи що, на вашу думку? А на нашу думку, не так. І Богданович молодець, він вам сказав, що ви неправду кажете. Неприємно, та що робити, батюшка, самі наскочили. А тепер, як справу хочуть зам'яти, так ви з-за фанаберії якийсь не хочете вибачитися, а хочете все розповісти. Вам прикро, що ви подежурите, та що вибачитися перед старим і чесним офіцером! Який би там не був Богданович, а все чесний і хоробрий, старий полковнику, так вам прикро; а забруднити полк вам нічого? - Голос штабу ротмістра починав тремтіти. - Ви, батюшка, у полку без року тиждень; нині тут, завтра перейшли кудись до ад'ютантики; вам начхати, що будуть говорити: «Між Павлоградськими офіцерами злодії!» А нам не байдуже. То чи що, Денисов? Не все одно?
Денисов все мовчав і не ворушився, зрідка поглядаючи своїми блискучими чорними очима на Ростова.
– Вам своя фанаберія дорога, вибачитись не хочеться, – продовжував штаб ротмістр, – а нам, старим, як ми виросли, та й померти, Бог дасть, приведеться в полку, то нам честь полку дорога, і Богданович це знає. Ох, як дорога, тату! А це недобре, недобре! Там ображайтеся чи ні, а я завжди скажу правду матку. Не добре!
І штаб ротмістр підвівся і відвернувся від Ростова.
- Пг"авда, чог"т візьми! - Закричав, схоплюючись, Денисов. - Ну, Г"кістя! Ну!
Ростов, червоніючи й блідівши, дивився то на одного, то на іншого офіцера.
– Ні, панове, ні… ви не думайте… я дуже розумію, ви даремно про мене думаєте так… я… для мене… я за честь полку… та що? це насправді я покажу, і для мене честь прапора… ну, все одно, правда, я винен!.. – Сльози стояли в його очах. – Я винен, навкруги винен!… Ну, що вам ще?…
- Оце так, графе, - повертаючись, гукнув штаб ротмістр, ударяючи його великою рукою по плечу.
- Я тобі кажу, - закричав Денисов, - він малий славний.
- Так краще, графе, - повторив штаб ротмістр, ніби за його визнання починаючи звати його титулом. - Ідіть і вибачтеся, ваше сіятельство, та с.
- Панове, все зроблю, ніхто від мене слова не почує, - благаючим голосом промовив Ростов, - але вибачатися не можу, їй Богу, не можу, як хочете! Як я вибачатимуся, точно маленький, прощення просити?
Денисов засміявся.
– Вам гірше. Богданович зла пам'ятний, поплатіться за впертість, – сказав Кірстен.
- Їй Богу, не впертість! Я не можу вам описати, яке почуття не можу…
– Ну, ваша воля, – сказав штаб ротмістр. — Що ж, мерзотник цей куди подівся? - Запитав він у Денисова.
- Дався взнаки хворим, завтга велено пказином виключити, - промовив Денисов.
- Це хвороба, інакше не можна пояснити, - сказав штаб ротмістр.
- Вже там хвороба не хвороба, а не трапляйся він мені на очі - уб'ю! – кровожерно прокричав Денисов.
До кімнати зайшов Жерков.
- Ти як? – раптом звернулися офіцери до того, хто увійшов.
- Похід, панове. Мак у полон здався і з армією, зовсім.
- Брешеш!
– Сам бачив.
– Як? Мака живого бачив? з руками, з ногами?
– Похід! Похід! Дати йому пляшку за таку новину. Ти як сюди потрапив?
– Знову в полк вислали за чорта, за Мака. Австрійський генерал поскаржився. Я його привітав з приїздом Мака… Ти що, Ростов, з лазні?
– Тут, брате, у нас така каша другий день.
Увійшов полковий ад'ютант і підтвердив звістку, привезену Жерковим. На завтра велено було виступати.
- Похід, панове!
- Ну, і слава Богу, засиділися.

Кутузов відступив до Відня, знищуючи за собою мости на річках Інні (у Браунау) та Трауні (у Лінці). 23 жовтня. Російські війська переходили річку Енс. Російські обози, артилерія і колони військ у середині дня тяглися через місто Енс, звідси і з того боку мосту.

Урок та презентація на тему: "Множества та підмножини, приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Мультимедійний навчальний посібник для 9 класу "Алгебра за 10 хвилин"
Електронний навчальний посібник для учнів 7-9 класів "Зрозуміла алгебра"

Множини та підмножини

Хлопці, ми переходимо до вивчення дуже важливої ​​теми "Множини". Безліч нам будуть зустрічатися постійно, в курсах математики за старші класи і в 9 класі майже всі теми тісно пов'язані з цим поняттям. Тому постарайтеся добре засвоїти цю тему.

То що таке безліч?
Безліч займається спеціальний розділ математики теорія множин. Безліч – одне з головних та фундаментальних понять. Визначення у нього немає, але давайте спробуємо зрозуміти, що таке безліч? Багато - це сукупність різних елементів, їх можна порахувати, згрупувати. Прикладами множин можуть бути літери алфавіту – безліч, що складається з 33 елементів. Безліч яблук на дереві – кількість яблук на дереві, звичайно його можна порахувати і занумерувати. Прикладів множин можна вигадати дуже багато. Спробуйте самі придумати якийсь приклад.
У математиці безліч позначається у фігурних дужках (,). Наприклад, безліч перших п'яти літер англійського алфавіту означать так: (A,B,C,D,E). Якщо записати цю множину в іншому порядку, вона не зміниться.
Математика настільки цікавий предмет, що ми маємо поняття порожньої множини і нескінченної множини. Порожня множина – множина, в якій немає жодного елемента, його позначають без дужок та використовують значок Ø. Нескінченна множина, напевно зрозуміла з назви – множина, в якій нескінченна кількість елементів, наприклад, множина всіх чисел.
Багато можна описати різними словами, наприклад, (10, 12, 16, 18, ..., 96, 98) – це безліч парних двозначних чисел. Багатокрапка використовується, коли елементів дуже багато і всі їх записати складно, але при цьому запис множини повинен бути зрозумілим, і щоб по ньому можна було визначити, що це за безліч.
$ \(x|-2

Існують спеціальні позначення множин. Наприклад, для множини натуральних чисел. Хлопці, а ви пам'ятаєте, як це безліч позначається?
Для позначення приналежності елемента множині використовується спеціальний знак $ϵ$. Запис $2 ϵ \(2,4,6,8... \)$. Читається так: "Два належить множині парних чисел".

приклад.
Деяка множина складається з коренів рівняння $x^3+3x^2+2x=0$. Знайдіть елементи цієї множини і перерахуйте все можливі варіантирозташування елементів.

Рішення.
Давайте розв'яжемо рівняння, винесемо х за дужки:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Тоді рішення нашого рівняння: $x=0;-2;-1$ – це і є елементи шуканої множини.
Давайте запишемо можливі варіанти розташування елементів:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

приклад.
Опишіть дані множини.

$а) \(1,2,3,4,...,9,10 \) \\ б) \(1,8,27,64 ... \)$
Рішення.
а) Безліч натуральних чисел від 1 до 10.
б) Безліч всіх значень кубів натуральних чисел.

приклад.
Вирішивши нерівність, записати її рішення у вигляді числового проміжку:

А) $ \ (x ^ 2 | x ^ 2 + 1> 0 \) $
б) $\(x| 1/x в) $\(x |x^2+7x+12
Рішення.
а) $x^2+1>0$ більше за нуль при всіх х. Тоді числовий проміжок запишеться у вигляді $(-∞;+∞)$.
б) 1/x в) $x^2+7x+12

Підмножина

Якщо з нашої множини вибрати кілька елементів і згрупувати їх окремо – то це буде підмножина нашої множини. Комбінацій, у тому числі можна отримати підмножина багато, кількість комбінацій лише залежить кількості елементів у вихідному множині.
Нехай у нас є дві множини А і Б. Якщо кожен елемент множини Б є елементом множини А, то множина Б називається підмножиною А. Позначається: Б ⊂ А. Приклад.
Скільки існує підмножини множини А = (1, 2, 3).
Рішення.
Підмножина складається з елементів нашої множини. Тоді у нас існує 4 варіанти за кількістю елементів у підмножині:
Підмножина може складатися з 1 елемента, 2, 3 елементів і може бути порожнім. Давайте послідовно запишемо наші елементи.
Підмножина з одного елемента: (1), (2), (3).
Підмножина із 2 елементів: (1, 2); (1, 3); (2, 3).
Підмножина з трьох елементів: (1, 2, 3).

Не забудемо, що порожня множина так само є підмножиною нашої множини. Тоді отримуємо, що у нас є 3+3+1+1=8 підмножин.

Завдання для самостійного вирішення

1. Знайдіть безліч розв'язків рівняння: $2x^3+8x^2+6x=0$. Перерахуйте всі можливі варіанти розташування елементів.
2. Опишіть безліч:
$a) \(1, 3, 5, 7...99 \) \\b) \(1, 4, 7, 10, 13, 16 \) \\ c) \(5, 10, 15, 20 ... 995 \)$
3. Скільки існує підмножини множини А = (3, 4, 5, 6).

на простому прикладінагадаємо, що називається підмножиною, які бувають підмножини (власні та невласні), формулу знаходження числа всіх підмножин, а також калькулятор, який видає безліч усіх підмножин.

приклад 1. Дано безліч А = (а, с, р, о). Випишіть усі підмножини
даної множини.
Рішення:

Власні підмножини:(а), (с), (р), (о), (а, с), (а, р), (а, о), (с, р), (с, о) ∈, (р, о), (а, с, р), (а, с, о), (с, р, о).

Невласні:(а, с, р, про), Ø.

Всього: 16 підмножин.

Пояснення. Множина A є підмножиною множини B якщо кожен елемент множини A міститься також у B.

Порожня множина ∅ є підмножиною будь-якої множини, називається невласною;
. будь-яка множина є підмножиною самого себе, також називається невласною;
. У будь-якої n-елементної множини рівно 2 n підмножин.

Останнє твердження є формулою для знаходження числа всіх підмножинбез перерахування кожного.

Висновок формули:Припустимо, у нас є безліч з n-елементів. При складанні підмножин перший елемент може належати підмножини або належати, тобто. перший елемент можемо вибрати двома способами, аналогічно для всіх інших елементів (всього n-елементів), кожен можемо вибрати двома способами, і за правилом множення отримуємо: 2∙2∙2∙ ...∙2=2 n

Для математиків сформулюємо теорему і наведемо суворий доказ.

Теорема. Число підмножин кінцевої множини, що складається з n елементів, дорівнює 2 n.

Доведення.Безліч, що складається з одного елемента a, має два (тобто 2 1) підмножини: ∅ та (a). Безліч, що складається з двох елементів a та b, має чотири (тобто 2 2) підмножини: ∅, (a), (b), (a; b).
Множина, що складається з трьох елементів a, b, c, має вісім (тобто 2 3) підмножин:
∅, (a), (b), (b; a), (c), (c; a), (c; b), (c; b; a).
Можна припустити, що додавання нового елемента подвоює кількість підмножин.
Завершимо доказ застосуванням методу математичної індукції. Сутність цього методу в тому, що якщо твердження (властивість) справедливе для деякого початкового натурального числа n 0 і якщо припущення, що воно справедливе для довільного натурального n = k ≥ n 0 можна довести його справедливість для числа k + 1, то це властивість справедливо всім натуральних чисел.

1. Для n = 1 (база індукції) (і навіть n = 2, 3) теорема доведена.

2. Припустимо, що теорема підтверджена для n = k, тобто. число підмножин множини, що складається з елементів, дорівнює 2 k .

3. Доведемо, що число підмножин множини B, що складається з n = k + 1 елемента, дорівнює 2 k+1 .
Вибираємо деякий елемент b множини B. Розглянемо безліч A = B \ (b). Воно містить елементи k. Всі підмножини множини A - це підмножини множини B, що не містять елемента b і, за припущенням, їх 2 k штук. Підмножини множини B, що містять елемент b, стільки ж, тобто. 2 к
штук.

Отже, всіх підмножин множини B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорему доведено.

У прикладі 1 безліч А = (а, с, р, о)складається з чотирьох елементів, n=4, отже, число всіх підмножин дорівнює 24 =16.

Якщо вам необхідно виписати всі підмножини, або скласти програму для написання безлічі всіх підмножин, то є алгоритм для вирішення: представляти можливі комбінації у вигляді двійкових чисел. Пояснимо на прикладі.

приклад 2.Є безліч (ab c), у відповідність ставляться такі числа:
000 = (0) (порожня множина)
001 = (c)
010 = (b)
011 = (b c)
100 = (a)
101 = (a c)
110 = (a b)
111 = (a b c)

Калькулятор безлічі всіх підмножин.

У калькуляторі вже набрано елементи множини А = (а, с, р, о), достатньо натиснути кнопку Submit. Якщо вам необхідне вирішення свого завдання, то набираємо елементи множини на латиниці, через кому, як показано в прикладі.

Визначення:

Безліч – це будь-яка сукупність об'єктів, які називаються його елементами.

Якщо х-елемент множини М, то позначають: х М (х – належить М), якщо не належить, то х ∉ М; Безліч елементів, що не містять, називається порожнім і позначається ∅

Безліч, в якому містяться всі елементи, що знаходяться в розгляді, називають універсальним або універсумом і позначаються –

Ư. Безліч, що складаються з тих самих елементів, називаються рівними і позначаються А = В.

Якщо будь-який елемент множини є елементом множини А, то множина В називається підмножиною множини А (частиною множини А) і позначається В ⊂ А; Звідси випливає, що будь-яка множина є частиною самого себе.

За визначенням порожня множина ∅ є підмножиною будь-якої множини. Т.о. у будь-якої множини А є дві підмножини:

Вони називаються невласними підмножинами множини А. Будь-яка множина У множини А, яка не є невласними підмножинами А, (тобто вони відмінні від А і ∅) і називаються власними підмножинами підмножини А. Безліч з одного елемента а позначається (а).

Приклад: А = (1; 2; 3) тоді порожня множина ∅ і сама множина А є невласними підмножинами А.

Безліч: (1), (2), (3), (1; 2), (1; 3), (2; 3) називаються власними підмножинами множини А. Сукупність всіх множин А називається його булеаном і позначається - 2 А; В А означає, що В А, В ≠ А. У цьому випадку кажуть, що В строго включено в А або є власним підмножиною А;

Що стосується У ⊆ А, У = А кажуть, що у суворе включення в А, тобто. У є невласним підмножиною А.

Основні логічні символи

ХР(х) – квантор спільності (означає “для будь-якого х виконується

ХР(х) – квантор існування (означає “існує х, котрій виконується Р(х)”.)

Р ⇒ Q – імплікація (“з Р слідує Q ”)

⟺ - еквівалентність (“тоді і лише тоді”)

Р ∧ Q – кон'юнкція (“Р та Q”)

Р ∨ Q – диз'юнкція (“Р чи Q”)

Не Р або - заперечення Р

: = - символи присвоєння (“покладемо”)

def – (“покладемо за визначенням”)

Використовуючи ці символи, можна записати:

1) (А = В) ⟺(( х ∈ А ⇒ х ∈ В) ∧ ( х ∈ В ⇒ х ∈ А)

2) (А ⊆ В) ⟺ ( х/х ∈А ⇒ х ∈ В)

3) (А = В) ⟺ (В ⊂ А ∧ А⊂ В)

Завдання множин

Перерахуванням елементів: М: = (а 1; а 2; а 3; …; а n)

або характеристичною властивістю Р(х)

(Предикатом): М: = (х | Р (х))

Наприклад:

1) В = (х ∈ N | х< 3} означает, что В= { 1; 2}

2) А = (х ∈ N | х +1 = 5) означає, що А = (4)

3) В = (х ∈ N | х M5) або (5; 10; 15 ...)

тобто. ( х | Р(х) ) означає, що безліч елементів х множини має властивість Р(х)

4) М = (х ∈ N | х 3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}

Операції над множинами

Розглядаються такі операції над множинами:

1 0 . Об'єднання множин А та В.

U

А ∪ У = ( х/х ∈ А чи х ∈ В) – тобто. складається з елементів, що належать хоча б одному з множин А або Ст.

2 0 . Перетин множин А та В.

A∩B = (x/x ∈ A та x ∈ B) – тобто. складаються з елементів, що належать одночасно А та В.

3º. Різниця множин А і Ст.

A/B = (x/x ∈ A та x ∉ B) – тобто. складається з елементів А, які не належать Ст.

4º. Симетрична різниця А та В (або кільцева сума А та В)

А B = (x/x ∈ A і x ∉ B) ∪ (x/x ∈ В і x ∉ А) або (А\В ∪ В\А)

5º. Доповнення А до універсуму

= U\A = (x|x ∈ Uux та x ∉ А)

Твір множин

Прямим (декартовим) твором двох множин А і В називається безліч всіх упорядкованих пар, в якій I елемент із множини А, II елемент – з множини В, тобто. А×В = ((а, в)/а Є А ̂в Є В)

Приклад: А = (2; 5; 7; 9) і В = (2; 4; 7),

Тоді А×В = ((2,2) ; (2,4) ; (2,7) ; (5,2) ; (5,4) ; (5,7) ; (7,2) ; (7 ,4);(7,7);(9,2);(9,4);(9,7))

А∩В=(2,7); А∪В=(2,4,5,7,9); А/В=(5,9); В/А=(4); А? В = (4,5,9)

Елементи множини А×В називаються точками; У парі (х, у) абсцису - х і ордината - у точки, що відповідає цій парі.

Безліч точок площини є прямим добутком виду R×R=R 2 , де R–множина дійсних чисел.

R 2 називається декартовим квадратом R.

Елементи теорії графів

Йдеться про нечислові множини. Наприклад, говорять про безліч діагоналей багатокутника, про безліч точок на координатній прямій, про безліч прямих, що проходять через точку.

Предмети або об'єкти, що утворюють цю множину, називаються його елементами. Наприклад, число $6$ буде елементом безлічі натуральних чисел, а число $0,9$ не буде елементом безлічі натуральних чисел.

Види множин

Багато можуть бути кінцевими і нескінченними, порожніми.

Визначення 2

Кінцевимназивають безліч, що складається з кінцевого числа елементів, але при цьому кінцева множина може мати будь-яку кількість елементів.

Серед кінцевих множин виділяють множину, що не має жодного елемента. Така множина називається порожньою множиною.

Визначення 3

Безліч, що не є кінцевим, називають нескінченним безліччю.

Підмножини

Якщо деяка множина не є порожньою, то з неї можна виділити інші множини, які будуть його частинами.

Наприклад, з множини натуральних чисел можна виділити безліч парних.

У математиці частину множини називають - підмножина.Кажуть, що множина є підмножиною іншого, якщо кожен елемент підмножини є одночасно і елементом більшої множини.

Позначення множин, підмножин та їх елементів

Найчастіше безлічі позначаються латинськими літерами-$A, B, C, D, X, Y, Z, W$ і т.д.

Елементи множин позначаються малими літерами $ a, b, c, d, x, y, z $ і т.д.

Записати належність деякого елемента до деякої множини, наприклад те, що деякий елемент $a$ буде входити в безліч $A$ математично можна так: $a\in A$.Прочитати цей запис можна так: a належить безлічі $A$.

Якщо ж певний елемент, наприклад, $b$ не належить безлічі $B$, це записується так: $b\notin B$.Читають цей запис так: $b$ не належить безлічі $B$

Наприклад, якщо позначити безліч цілих чисел за $A$, тоді можна записати: $3\in A$, $7,5\notin B$

Порожнє безліч у математиці позначають так: $ᴓ$

Для позначення того, що множина $B$ є підмножиною множини $A$, використовують позначення: Знак $\subset $ позначає включення однієї множини в іншу множину.

Приклад 1

Визначити які елементи з перерахованих $12,38,54,79,934$ входитимуть у безліч $A$- чисел кратних $3$.

Рішення:За умовою безліч $A$ містить у собі елементи, кожен із яких може бути кратним, тобто. ділиться без залишку $3.

Згадаймо ознака подільності на $3$: Якщо сума цифр, що входять до складу числа, ділиться на $3$, то число ділиться на $3$ без залишку.

$12$ ділиться на $3$, т.к. сума цифр числа $12$ дорівнює $3$

число $38$ на $3$ без залишку ділиться нічого очікувати, т.к. сума цифр $3+8=11$ не ділиться на $3$ без залишку

аналогічно т.к. суми цифр числа $54$ дорівнює $9$ доводимо, що у $3$ воно ділиться, до $74$ на $3$ ділиться нічого очікувати, т.к. сума цифр дорівнює $11.$

Знайдемо суму цифр числа $934: 9+3+4=16$, число $16$ не кратно $3$ ,означає і число $934$ на $3$ без залишку ділитися не буде

Тепер зробимо висновок, які числа будуть елементами множини $A$:

Способи завдання множин

Існує два глобально різні способи завдання множин.

Першийполягає в тому, що безліч задається вказівкою всіх його елементів. У такому разі говорять, що безліч задано перерахуванням усіх своїх елементів або списком своїх елементів. Перерахуванням елементів можна задати тільки кінцеві множини і при невеликій кількості елементів, що входять до нього

Кінцеві множини з невеликою кількістю елементів зазвичай записують у фігурних дужках $\left\(a,b,c\right\)$

При такому способі завдання множин кажуть, що множина задано перерахуванням його елементів.

Другий спосібЗавдання множин застосуємо як для кінцевих. так і для нескінченних множин. Він у тому, що вказується властивість, яким має кожен елемент даної множини - безліч задають описом, тобто. вказавши його характеристичну властивість, тобто властивість, якою володіють всі елементи цієї множини і не мають жодних інших об'єктів.

Приклад 2

Наприклад, за допомогою опису можна встановити такі безліч натуральних чисел від $1$ до $9$ включно. Характеристичною властивістю, тобто властивістю, якою володіють всі елементи цієї множини для даних елементів буде те, що всі вони є натуральними числами і кожне з них не менше $1$ і не більше $9$. Переліком зазначену множину можна задати таким чином:

$ A = \ left \ (1 \, 2 \, 3,4,5,6,7,8,9 \ right \) $

Рівність множин

Багато рівні в тому випадку, якщо рівні їх елементи. При цьому якщо множини складаються з одних і тих же елементів, але записаних у різному порядку, то ці множини різні, хоча й рівні.

Об'єднання множин

З двох множин $A$ і $B$ можна утворити нову множину, поєднуючи всі елементи множини $A$ і всі елементи множини $B$

Математично це можна позначити так: $ \ А \ \ cup B $

Об'єднанням множин $A$ і $B$ називається нове безліч$\ А\ \cup B$, що складається з тих і тільки тих елементів, які входять хоча б в одну з множин $A$ або $B$.

Різниця множин

Різницею двох множин $A$ і $B$ називають таку множину, до якої входять всі елементи з множини $A$, що не належать множині $B$.

Сподобалася стаття? Поділіться їй
Роздрукувати статтю
Вгору