§24. Диференціал функції. Диференціал функції Диференціал твори двох функцій

24.1. Поняття диференціалу функції

Нехай функція у = ƒ (х) має в точці х відмінну від нуля похідну.

Тоді, за теоремою про зв'язок функції, її межі та нескінченно малої функції, можна записати D у/D х=ƒ"(х)+α, де α→0 при ∆х→0, або ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.

Таким чином, збільшення функції ∆у являє собою суму двох доданків ƒ"(х) ∆х і а ∆х, які є нескінченно малими при ∆x→0. При цьому перший доданок є нескінченно мала функціяодного порядку з ∆х, оскільки а другий доданок є нескінченно мала функція вищого порядку, ніж ∆х:

Тому перший доданок ƒ"(х) · ∆х називають головною частиною збільшенняфункції ∆у.

Диференціалом функціїу=ƒ(х) у точці х називається головна частина її збільшення, рівна добутку похідної функції на збільшення аргументу, і позначається dу (або dƒ(х)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (24.1)

Диференціал dу називають також диференціалом першого порядку.Знайдемо диференціал незалежної змінної х, тобто диференціал функції у = х.

Так як у "=х" = 1, то, згідно з формулою (24.1), маємо dy = dx = ∆x, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної: dх = ∆х.

Тому формулу (24.1) можна записати так:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

іншими словами, диференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції на диференціал незалежної змінної.

З формули (24.2) випливає рівність dy/dx=ƒ"(х). Тепер позначення

похідної dy/dx можна як ставлення диференціалів dy і dх.

<< Пример 24.1

Знайти диференціал функції ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).

Рішення: За формулою dy=ƒ"(х) dx знаходимо

dy=(3х2-sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

<< Пример 24.2

Знайти диференціал функції

Обчислити dy при x=0, dx=0,1.

Рішення:

Підставивши х=0 та dx=0.1, отримаємо

24.2. Геометричний зміст диференціала функції

З'ясуємо геометричне значення диференціала.

Для цього проведемо до графіка функції у=ƒ(х) у точці М(х; у) дотичну МТ і розглянемо ординату цієї дотичної точки х+∆х (див. рис. 138). На малюнку ½ АМ½ = ∆х, | AM 1 | = ∆у. З прямокутного трикутника МАВ маємо:

Але, згідно з геометричним змістом похідної, tga=ƒ"(х). Тому АВ=ƒ"(х) ∆х.

Порівнюючи отриманий результат з формулою (24.1), отримуємо dy=АВ, тобто диференціал функції у=ƒ(х) у точці х дорівнює приросту ординати щодо графіку функції в цій точці, коли х отримає приріст ∆х.

У цьому полягає геометричний сенс диференціала.

24.3 Основні теореми про диференціали

Основні теореми про диференціали легко отримати, використовуючи зв'язок диференціала і похідної функції (dy=f"(x)dx) та відповідні теореми про похідні.

Наприклад, так як похідна функції у = дорівнює нулю, то диференціал постійної величини дорівнює нулю: dy = з "dx = 0 dx = 0".

Теорема 24.1.Диференціал суми, твору та частки двох диференційованих функцій визначаються такими формулами:

Доведемо, наприклад, другу формулу. За визначенням диференціалу маємо:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Теорема 24.2.Диференціал складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на диференціал цього проміжного аргументу.

Нехай у=ƒ(u) і u=φ(х) дві функції, що диференціюються, що утворюють складну функцію у=ƒ(φ(х)). За теоремою про похідну складну функцію можна написати

у "х = у" u u" x.

Помноживши обидві частини цієї рівності на dx, повчаємо у "х dx=у" u u" х dx. Але у" х dx=dy і u" х dx=du. Отже, останню рівність можна переписати так:

dy=у" u du.

Порівнюючи формули dy=у" х dx і dy=у" u du, бачимо, що перший диференціал функції у=ƒ(х) визначається однією і тією ж формулою незалежно від того, є її аргумент незалежною змінною або є функцією іншого аргументу.

Цю властивість диференціалу називають інваріантністю (незмінністю) форми першого диференціалу.

Формула dy=у" х dx на вигляд збігається з формулою dy=у" u du, але між ними є принципова відмінність: у першій формулі х - незалежна змінна, отже, dx=∆х, у другій формулі і є функція від х тому, взагалі кажучи, du≠∆u.

За допомогою визначення диференціалу та основних теорем про диференціали легко перетворити таблицю похідних у таблицю диференціалів.

Наприклад: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Таблиця диференціалів

24.5. Застосування диференціала до наближених обчислень

Як вже відомо, збільшення ∆у функції у=ƒ(х) у точці х можна представити у вигляді ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, де α→0 при ∆х→0, або ∆у= dy+α ∆х Відкидаючи нескінченно малу α ∆х вищого порядку, ніж ∆х, отримуємо наближену рівність

∆у≈dy, (24.3)

причому ця рівність тим точніша, чим менше ∆х.

Ця рівність дозволяє з великою точністю обчислити приблизно збільшення будь-якої диференційованої функції.

Диференціал зазвичай знаходиться значно простіше, ніж збільшення функції, тому формула (24.3) широко застосовується у обчислювальній практиці.

<< Пример 24.3

Знайти наближене значення збільшення функції у=х 3 -2х+1 при х=2 і ∆х=0,001.

Рішення: Застосовуємо формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.

Отже, ∆у» 0,01.

Подивимося, яку похибку допустили, обчисливши диференціал функції замість її збільшення. Для цього знайдемо ∆у:

∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 ∆х+3х (∆х) 2 +(∆х ) 3 -2х-2 ∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х ∆х+(∆х) 2 -2);

Абсолютна похибка наближення дорівнює

| ∆у-dy | = | 0,010006-0,011 = 0,000006.

Підставляючи в рівність (24.3) значення ∆у та dy, отримаємо

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Формула (24.4) використовується для обчислення наближених значень функцій.

<< Пример 24.4

Обчислити приблизно arctg(1,05).

Рішення: Розглянемо функцію ƒ(х)=arctgx. За формулою (24.4) маємо:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

тобто.

Так як х + ∆х = 1,05, то при х = 1 і ∆х = 0,05 отримуємо:

Можна показати, що абсолютна похибка формули (24.4) вбирається у величини М (∆х) 2 , де М - найбільше значення |ƒ"(х)| на сегменті [х;х+∆х].

<< Пример 24.5

Який шлях пройде тіло при вільному падінні на Місяці за 10,04 з початку падіння. Рівняння вільного падіння тіла

H = g л t 2/2, g л = 1,6 м/с 2 .

Рішення: Потрібно знайти H(10,04). Скористаємося наближеною формулою (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. При t=10 с і ∆t=dt=0,04 с, H"(t)=g л t, знаходимо

Завдання (для самостійного вирішення).Тіло масою m=20 кг рухається зі швидкістю =10,02 м/с. Обчислити приблизно кінетичну енергію тіла

24.6. Диференціали вищих порядків

Нехай у = ƒ (х) диференційована функція, а її аргумент х - незалежна змінна.Тоді її перший диференціал dy=ƒ"(х)dx є також функція х; можна знайти диференціал цієї функції.

Диференціал від диференціала функції у = ƒ (х) називається її другим диференціалом(або диференціалом другого порядку) і позначається d 2 y або d 2 (х).

Отже, визначення d 2 y=d(dy). Знайдемо вираз другого диференціала функції у = ƒ (х).

Так як dx = ∆х не залежить від х, то при диференціюванні вважаємо dx постійним:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(х)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 тобто .

d 2 y=ƒ"(х)dх 2 . (24.5)

Тут dx 2 означає (dx) 2 .

Аналогічно визначається та знаходиться диференціал третього порядку

d 3 y = d (d 2 y) = d (ƒ "(х) dx 2) f" (x) (dx) 3 .

І, взагалі, диференціал n-го порядку є диференціал від диференціалу (n-1)-го порядку: dn y = d (dn-l y) = f (n) (x) (dx) n .

Звідси знаходимо, що, зокрема, при n=1,2,3

відповідно отримуємо:

тобто похідну функції можна розглядати як відношення її диференціалу відповідного порядку до відповідного ступеня диференціалу незалежної змінної.

Зазначимо, що це наведені вище формули справедливі лише, якщо х - незалежна змінна. Якщо ж функцію у = ƒ (х), де х - функція від будь-якої іншої незалежної змінної, то диференціали другого і вище порядків не мають властивість інваріантності форми і обчислюються за іншими формулами. Покажемо це з прикладу диференціала другого порядку.

Використовуючи формулу диференціала твору (d(uv)=vdu+udv), отримуємо:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(х))dx+ƒ"(х) d(dx)=ƒ"(х)dx dx+ƒ"(х) d 2 x , тобто.

d 2 y=ƒ"(х)dx 2 +ƒ"(х) d 2 x. (24.6)

Порівнюючи формули (24.5) і (24.6), переконуємося, що у разі складної функції формула диференціала другого порядку змінюється: з'являється другий доданок ƒ"(х) d 2 х.

Зрозуміло, що якщо х – незалежна змінна, то

d 2 x = d (dx) = d (l dx) = dx d (l) = dx 0 = 0

і формула (24.6) перетворюється на формулу (24.5).

<< Пример 24.6

Знайти d 2 y, якщо у = е 3х і х - незалежна змінна.

Рішення: Так як у "=3е 3х, у" = 9e 3х, то за формулою (24.5) маємо d 2 y = 9e 3x dx 2 .

<< Пример 24.7

Знайти d 2 y, якщо у = х 2 і х = t 3 +1і t-незалежна змінна.

Рішення: Використовуємо формулу (24.6): оскільки

у"=2х, у"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2

то d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Інше рішення: у = х 2, х = t 3 +1. Отже, у = (t 3 +1) 2 . Тоді за формулою (24.5)

d 2 у=у ¢¢ dt 2 ,

d 2 y = (30t 4 +12t) dt 2 .

Диференціаломфункції у=ƒ(х) у точці х називається головна частина її збільшення, рівна добутку похідної функції на збільшення аргументу, і позначається dу (або dƒ(х)): dy=ƒ"(х) ∆х.

Основні диференціали:

Диференціал функції має властивості, аналогічні властивостям похідної.

Диференціал постійноїдорівнює нулю:
dc = 0, з = const.
Диференціал суми функцій, що диференціюютьсядорівнює сумі диференціалів доданків:

Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються постійним доданком, то їх диференціали рівні

d(u+c) = du(c=const).

Диференціал творудвох функцій, що диференціюються, дорівнює добутку першої функції на диференціал другий плюс добуток другий на диференціал першої:

d(uv) = udv + vdu.

Слідство. Постійний множник можна виносити за знак диференціалу

d(cu) = cdu (з = const).

Диференціал приватного u/v двох функцій, що диференціюються і = і(х) і v = v(x) визначається формулою

Властивість незалежності виду диференціала від вибору незалежної змінної (інваріантність форми диференціала): диференціал функції дорівнює добутку похідної на диференціал аргументу незалежного від того, чи є цей аргумент незалежною змінною або функцією іншої незалежної змінної.

Похідні та диференціали вищих порядків.

Нехай похідна деякою функцією fдиференційована. Тоді похідна від похідної цієї функції називається другий похіднийфункції fі позначається f". Таким чином,

f"(x) = (f"(x))" .

Якщо диференційована ( n- 1)-а похідна функції f, то її n-ї похідноїназивається похідна від ( n- 1)-ї похідної функції fі позначається f(n). Отже,

f(n)(x) = (f (n-1)(x))" , n ϵ N, f(0)(x) = f(x).

Число nназивається порядком похідної.

Диференціалом n-го порядкуфункції fназивається диференціал від диференціалу ( n- 1)-го порядку цієї функції. Таким чином,

d n f(x) = d(d n -1 f(x)), d 0 f(x) = f(x), n ϵ N.

Якщо x- незалежна змінна, то

dx= const та d 2 x = d 3 x = ... = d n x = 0.

І тут справедлива формула

d n f(x) = f (n) (x)(dx)n.

Похідні n-го порядку від основних елементарних функцій

Справедливі формули

Застосування похідних для вивчення функцій.

Основні теореми диференціювання функцій:

Теорема Роля

Нехай функція f: [a, b] → Rбезперервна на сегменті [ a, b], і має кінцеву або нескінченну похідну усередині цього сегмента. Нехай, крім того, f(a) = f(b). Тоді всередині сегмента [ a, b] знайдеться точка ξ така, що f"(ξ ) = 0.

Теорема Лагранжа

Якщо функція f: [a, b] → Rбезперервна на сегменті [ a, b] і має кінцеву або нескінченну похідну у внутрішніх точках цього сегмента, таке, що f(b) - f(a) = f"(ξ )(b - a).

Теорема Коші

Якщо кожна з функцій fі gбезперервна на [ a, b] і має кінцеву або нескінченну похідну на ] a, b[і якщо, крім того, похідна g"(x) ≠ 0 на ] a, b[, то таке, що справедлива формула

Якщо додатково зажадати, щоб g(a) ≠ g(b), то умова g"(x) ≠ 0 можна замінити менш жорстким:

Якщо функція диференційована в точці , то її приріст можна у вигляді суми двох доданків

. Ці доданки є нескінченно малими функціями при
. Перше доданок лінійно щодо
,друге є нескінченно малою вищого порядку, ніж
.Справді,

Таким чином другий доданок при
швидше прагне до нуля та при знаходженні збільшення функції
головну роль відіграє перший доданок
або (оскільки
)
.

Визначення . Головна частина збільшення функції
у точці , лінійна щодо
,називається диференціалом функції у цій точці і позначаєтьсяdyабоdf(x)

. (2)

Таким чином, можна зробити висновок: диференціал незалежної змінної збігається з її збільшенням, тобто
.

Співвідношення (2) тепер набуває вигляду

(3)

Зауваження . Формулу (3) для стислості часто записують у вигляді

(4)

Геометричний зміст диференціала

Розглянемо графік диференційованої функції
. Крапки
іналежать графіку функції. У точці Мпроведена дотична Додо графіка функції, кут якої з позитивним напрямом осі
позначимо через
. Проведемо прямі MN паралельно осі Ox і
паралельно осі Ой. Приріст функції дорівнює довжині відрізка
. З прямокутного трикутника
, в якому
, отримаємо

Викладені вище міркування дозволяють зробити висновок:

Диференціал функції
у точці зображується збільшенням ординати, що стосується графіка цієї функції у відповідній її точці.
.

Зв'язок диференціалу з похідним

Розглянемо формулу (4)

Розділимо обидві частини цієї рівності на dxтоді

Таким чином, похідна функції дорівнює відношенню її диференціала до диференціалу незалежної змінної.

Часто це ставлення розглядається просто як символ, що означає похідну функції уза аргументом х.

Зручними позначеннями похідної є:

,
і так далі.

Використовуються також записи

,
,

особливо зручні, коли береться похідна від складного виразу.

2. Диференціал суми, твору та приватного.

Так як диференціал виходить з похідною множенням її на диференціал незалежної змінної, то, знаючи похідні основних елементарних функцій, а також правила для відшукання похідних, можна дійти аналогічних правил для відшукання диференціалів.

1 0 . Диференціал постійної дорівнює нулю

2 0 . Диференціал суми алгебри кінцевого числа диференційованих функцій дорівнює сумі алгебри диференціалів цих функцій

3 0 . Диференціал твору двох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів першої функції на диференціал другої і другої функції на диференціал першої

Слідство. Постійний множник можна виносити за знак диференціалу

приклад. Знайти диференціал функції.

Рішення. Запишемо цю функцію у вигляді

тоді отримаємо

4. Функції, задані параметрично, їхнє диференціювання.

Визначення . Функція
називається заданою параметрично, якщо обидві змінні х і у визначаються кожна окремо як однозначні функції від однієї й тієї ж допоміжної змінної – параметраt:

деtзмінюється в межах
.

Зауваження . Параметричне завдання функцій широко застосовується у теоретичній механіці, де параметр t позначає час, а рівняння
являють собою закони зміни проекцій точки, що рухається
на осі
і
.

Зауваження . Наведемо параметричні рівняння кола та еліпса.

а) Коло з центром на початку координат та радіусом r має параметричні рівняння:

де
.

б) Запишемо параметричні рівняння для еліпса:

де
.

Виключивши параметр t з параметричних рівнянь розглянутих ліній, можна дійти їх канонічних рівнянь.

Теорема . Якщо функція у від аргументу х задана параметрично рівняннями
, де
і
диференційовані поtфункції та
, то

приклад. Знайти похідну функції увід х, заданою параметричними рівняннями

Рішення.
.

Переобзвемо збільшення незалежної змінної х диференціалом цієї змінної, позначивши його як dx, тобто для незалежної змінної за визначенням будемо вважати

Назвемо диференціаломфункції у = f (х) вираз

Позначивши його символом dyабо df(х)за визначенням матимемо

Остання формула називається "формою" "першого" диференціала. Забігаючи вперед наведемо і пояснимо «архі найважливіше» властивість диференціала - так звану інваріантність (незмінність) його форми. Отже

Форма диференціалуне залежить (інваріантна)від того, чи хнезалежною змінною, або ж ця х- Залежна змінна - функція.

Справді, нехай
, тобто у – складна функція «від t» За визначенням диференціалу маємо
. Але

тобто знову має ту саму форму.

Проте «суть» (а чи не форма) диференціала у цих двох випадках різна. Щоб це пояснити з'ясуємо спочатку геометричний сенс диференціалу та деякі інші його властивості. З наведеного нижче малюнка видно, що диференціал є частиною збільшення ∆у. Можна показати, що dy є головна і лінійна частина ∆у. Головна в тому сенсі, що різниця ∆у – dy є величина нескінченно мала вищого, що ∆х порядку малості, а лінійна у сенсі лінійності своєї залежності від ∆х.

Можна сказати також, що диференціал є (дивися малюнок) відповідне збільшення ординати дотичної. Тепер зрозуміла і різниця в суті та значенні диференціальної форми при незалежному та залежному аргументі. У першому випадку dx є все збільшення ∆х. За допомогою визначення легко доводяться та

Арифметичні властивості диференціалу

Визначимо тепер

Похідні та диференціали вищих порядків.

За визначенням
- друга похідна;
- третя похідна та взагалі
- n – а похідна функції
.

Так само за визначенням

; - Другий диференціал;

- третій диференціал і взагалі - n-ий диференціал функції

. Можна, можливо

показати що

Програми похідних до дослідження функцій.

Найважливішою теоремою, на якій базуються майже всі методи дослідження функцій, є теорема Лангранжа: Якщо функція f (год) безперервна на відрізку (а, b) і диференційована у всіх внутрішніх точках, то знайдеться така точка, що

Геометрично (рис. 6) теорема стверджує, що на відповідному інтервалі
знайдеться крапка така, що кутовий коефіцієнт щодо графіка в точці
дорівнює кутовому коефіцієнту січної, що проходить через точки
і
.

Іншими словами, для «шматка» графіка описаної в теоремі функції знайдеться дотична, паралельна січній, яка проходить через граничні точки цього шматка. З цієї теореми зокрема випливає чудове правило розкриття невизначеностей типу -так званої правила маркіза Лопіталя: Якщо функціїf(x ) таg(x) диференційовані в точці а та деякої її околиціf(а) = g(а) = 0, аf"(а) іg"(а) не рівні нулю одночасно то
.

Зауваження: Можна показати, що 1. Правило можна застосувати і для розкриття невизначеності типу ; 2. Якщо f"(а) = g"(а)= 0 або ∞, а f""(а)і g""(а)існує і не дорівнюють нулю одночасно, то
.

З За допомогою теореми Лангранжа можна довести і ознаку монотонності функції:

Якщо
на інтервалі (а, b) тоf(x ) Зростає (зменшується) на цьому інтервалі.

Слід зазначити, що постійність похідної є і необхідною ознакою монотонності. А вже з цих ознак можна вивести:

а) необхідна ознака існування екстремуму

Для того, щоб точка х 0 була точкою максимуму (мінімуму), необхідно, щоб f"(x 0 ) або дорівнювала нулю, або не існувала. Такі точки х 0 , у яких f"(x 0 ) = 0 або не існують називають критичними.

б ) достатня ознака існування екстремуму:

Якщо при переході через критичну точку х 0 похідна (див. рис.) f"(x) функції змінює знак, то ця точка - точка екстремуму. Якщо, при цьому, f"(x) змінює знак з "+" на "-", то х 0 - точка максимуму, а якщо з "-" на "+", то точка х 0 - точка мінімуму.

І нарешті, наведемо ще одну ознаку, що використовує поняття похідної. Це

Д залишковий ознака опуклості (увігнутості) графіку функції над інтервалом (а, b).