1 лінійна залежність векторів. Лінійна залежність системи векторів. Колінеарні векторів. Приклади дослідження системи векторів на лінійну залежність

Нехай L - Лінійний простір над полем Р . Нехай А1, а2, …, аn (*) кінцева система векторів з L . Вектор У = a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn (16) називається Лінійною комбінацією векторів ( *), або кажуть, що вектор У лінійно виражається через систему векторів (*).

Визначення 14. Система векторів (*) називається Лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли існує такий ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … , an, що a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0. Якщо ж a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) називається Лінійно незалежною.

Властивості лінійної залежності та незалежності.

10. Якщо система векторів містить нульовий вектор, вона лінійно залежна.

Дійсно, якщо в системі (*) вектор А1 = 0, То 1× 0 + 0× А2 + … + 0 × Аn = 0 .

20. Якщо система векторів містить два пропорційні вектори, вона лінійно залежна.

Нехай А1 = L×а2. Тоді 1× А1 -l× А2 + 0× А3 + … + 0× А N = 0.

30. Кінцева система векторів (*) при n ³ 2 лінійно залежна тоді і лише тоді, коли хоча б один із її векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.

Þ Нехай (*) лінійно залежна. Тоді знайдеться ненульовий набір коефіцієнтів a1, a2, … an, при якому a1× А1 + a2× А2 + … + an× Аn = 0 . Не порушуючи спільності, можна вважати, що a1 ¹ 0. Тоді існує і А1 = ×a2× А2 + … + ×an× А N. Отже, вектор А1 є лінійною комбінацією інших векторів.

Ü Нехай один із векторів (*) є лінійною комбінацією інших. Можна вважати, що це перший вектор, тобто. А1 = B2 А2+ … + bn А N, Звідси (–1)× А1 + b2 А2+ … + bn А N = 0 , Т. е. (*) лінійно залежна.

Зауваження. Використовуючи останню властивість, можна дати визначення лінійної залежності та незалежності нескінченної системи векторів.

Визначення 15. Система векторів А1, а2, …, аn , … (**) називається Лінійно залежною, Якщо хоча б її вектор є лінійною комбінацією деякого кінцевого числа інших векторів. В іншому випадку система (**) називається Лінійно незалежною.

40. Кінцева система векторів лінійно незалежна тоді й лише тоді, коли жоден із її векторів не можна лінійно висловити через інші її вектори.

50. Якщо система векторів лінійно незалежна, будь-яка її підсистема теж лінійно незалежна.

60. Якщо деяка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, і вся система теж лінійно залежна.

Нехай дані дві системи векторів А1, а2, …, аn , … (16) та В1, в2, …, вs, … (17). Якщо кожен вектор системи (16) можна як лінійної комбінації кінцевого числа векторів системи (17), то говорять, що система (17) лінійно виражається через систему (16).

Визначення 16. Дві системи векторів називаються Еквівалентними якщо кожна з них лінійно виражається через іншу.

Теорема 9 (Основна теорема про лінійну залежність).

Нехай і – дві кінцеві системи векторів з L . Якщо перша система лінійно незалежна та лінійно виражається через другу, то N£ s.

Доведення.Припустимо, що N> S.За умовою теореми

(21)

Оскільки система лінійно незалежна, то рівність (18) Х1 = х2 = ... = хN = 0.Підставимо сюди вирази векторів: …+=0 (19). Звідси (20). Умови (18), (19) та (20), очевидно, еквівалентні. Але (18) виконується тільки за Х1 = х2 = ... = хN = 0.Знайдемо, коли правильна рівність (20). Якщо його коефіцієнти дорівнюють нулю, воно, зрозуміло, правильно. Прирівнявши їх нулю, отримаємо систему (21). Так як ця система має нульове, то вона

спільна. Так як число рівнянь більше від кількості невідомих, то система має нескінченно багато рішень. Отже, вона має ненульове Х10, х20, …, хN0. При цих значеннях рівність (18) вірно, що суперечить тому, що система векторів лінійно незалежна. Отже, наше припущення не вірне. Отже, N£ s.

Слідство.Якщо дві еквівалентні системи векторів кінцеві і лінійно незалежні, вони містять однакове число векторів.

Визначення 17. Система векторів називається Максимально лінійно незалежною системою векторів Лінійний простір L якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого вектора з L , що не входить до цієї системи, вона стає вже лінійно залежною.

Теорема 10. Будь-які дві кінцеві максимальні лінійно незалежні системи векторів з L Містять однакове число векторів.

Доведеннявипливає з того, що будь-які дві максимальні лінійно незалежні системи векторів еквівалентні .

Легко довести, що будь-яку лінійно незалежну систему векторів простору L можна доповнити максимальної лінійно незалежної системи векторів цього простору.

Приклади:

1. У багатьох колінеарних геометричних векторів будь-яка система, що складається їх одного ненульового вектора, є максимальною лінійно незалежною.

2. У багатьох компланарних геометричних векторів будь-які два неколлінеарних вектори становлять максимальну лінійно незалежну систему.

3. У багатьох всіх можливих геометричних векторів тривимірного евклідового простору будь-яка система трьох некомпланарних векторів є максимальною лінійно незалежною.

4. У багатьох багаточленів ступеня не вище NЗ дійсними (комплексними) коефіцієнтами система багаточленів 1, х, х2, … , хnЄ максимальною лінійно незалежною.

5. У багатьох багаточленів з дійсними (комплексними) коефіцієнтами прикладами максимальної лінійно незалежної системи є

а) 1, х, х2, …, хn, …;

б) 1, (1 - х), (1 - х)2, … , (1 - х)N, …

6. Безліч матриць розмірності M´ Nє лінійним простором (перевірте це). Прикладом максимальної лінійно незалежної системи у цьому просторі є система матриць Е11= , Е12 =, …, ЕMn = .

Нехай дана система векторів С1, с2, …, порівн (*). Підсистема векторів із (*) називається Максимальної лінійно незалежної ПідсистемоюСистеми ( *) якщо вона лінійно незалежна, але при додаванні до неї будь-якого іншого вектора ця система вона стає лінійно залежною. Якщо система (*) кінцева, то будь-яка її максимальна лінійно незалежна підсистема містить одне й те число векторів. (Доказ проведіть самостійно). Число векторів у максимальній лінійно незалежній підсистемі системи (*) називається Рангом Цієї системи. Очевидно, що еквівалентні системи векторів мають однакові ранги.

У цій статті ми розповімо:

• що таке колінеарні вектори;
• які існують умови колінеарності векторів;
• які існують властивості колінеарних векторів;
• що таке лінійна залежність колінеарних векторів

Визначення 1

Колінеарні вектори – це вектори, які є паралелями однієї прямої або лежать на одній прямій.

Приклад 1

Умови колінеарності векторів

Два вектори є колінеарними, якщо виконується будь-яка з наступних умов:

• умова 1 . Вектори a і b колінеарні за наявності такого числа λ, що a = b;
• умова 2 . Вектори a і b колінеарні при рівному відношенні координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• умова 3 . Вектори a та b колінеарні за умови рівності векторного твору та нульового вектора:

a b ⇔ a , b = 0

Зауваження 1

Умова 2 не застосовується, якщо одна з координат вектора дорівнює нулю.

Зауваження 2

Умова 3 застосовується лише до тих векторів, які в просторі.

Приклади завдань дослідження коллінеарності векторів

Приклад 1

Досліджуємо вектори а = (1; 3) і b = (2; 1) на колінеарність.

Як вирішити?

В даному випадку необхідно скористатися 2 умовою колінеарності. Для заданих векторів воно виглядає так:

Рівність неправильна. Звідси можна дійти невтішного висновку, що вектори a і b неколлинеарны.

Відповідь : a | | b

Приклад 2

Яке значення m вектора a = (1; 2) і b = (- 1; m) необхідне для колінеарності векторів?

Як вирішити?

Використовуючи другу умову коллінераності, вектори будуть колінеарними, якщо їх координати будуть пропорційними:

Звідси видно, що m = -2.

Відповідь: m = -2.

Критерії лінійної залежності та лінійної незалежності систем векторів

Теорема

Система векторів векторного простору лінійно залежить тільки у тому випадку, коли один із векторів системи можна виразити через інші вектори даної системи.

Доведення

Нехай система e 1, e 2,. . . , n є лінійно залежною. Запишемо лінійну комбінацію цієї системи рівну нульовому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0

в якій хоча б один із коефіцієнтів комбінації не дорівнює нулю.

Нехай a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . , n.

Ділимо обидві частини рівності на ненульовий коефіцієнт:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Позначимо:

Ak - 1 a m , де m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В такому випадку:

β 1 e 1 +. . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +. . . + β n e n = 0

або e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Звідси випливає, що один із векторів системи виражається через всі інші вектори системи. Що потрібно було довести (ч.т.д.).

Достатність

Нехай один із векторів можна лінійно виразити через решту векторів системи:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносимо вектор e k у праву частину цієї рівності:

0 = γ 1 e 1 +. . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Оскільки коефіцієнт вектора e k дорівнює -1 ≠ 0, у нас виходить нетривіальне уявлення нуля системою векторів e1, e2,. . . , e n , але це, своєю чергою, означає, що це система векторів лінійно залежна. Що потрібно було довести (ч.т.д.).

Наслідок:

• Система векторів є лінійно незалежною, коли жоден із її векторів не можна виразити через решту векторів системи.
• Система векторів, яка містить нульовий вектор або два рівні вектори, лінійно залежна.

Властивості лінійно залежних векторів

1. Для 2-х і 3-х мірних векторів виконується умова: два лінійно залежні вектори - колінеарні. Два колінеарні вектори - лінійно залежні.
2. Для 3-х мірних векторів виконується умова: три лінійно залежні вектори – компланарні. (3 компланарні вектори - лінійно залежні).
3. Для n-вимірних векторів виконується умова: n + 1 вектор завжди лінійно залежні.

Приклади розв'язання задач на лінійну залежність або лінійну незалежність векторів

Приклад 3

Перевіримо вектори a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 на лінійну незалежність.

Рішення. Вектори є лінійно залежними, оскільки розмірність векторів менша за кількість векторів.

Приклад 4

Перевіримо вектори a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 на лінійну незалежність.

Рішення. Знаходимо значення коефіцієнтів, при яких лінійна комбінація дорівнюватиме нульовому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записуємо векторне рівняння у вигляді лінійного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Вирішуємо цю систему за допомогою методу Гауса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

З 2-го рядка віднімаємо 1-й, з 3-го - 1-й:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

З 1-го рядка віднімаємо 2-й, до 3-го додаємо 2-й:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

З рішення випливає, що система має безліч рішень. Це означає, що є ненульова комбінація значення таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , у яких лінійна комбінація a , b , c дорівнює нульовому вектору. Отже, вектори a, b, c є лінійно залежними. ​​​​​​​

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Лінійна залежність та незалежність векторів

Визначення лінійно залежної та незалежної систем векторів

Визначення 22

Нехай маємо систему з n-векторів та маємо набір чисел
тоді

(11)

називається лінійною комбінацією даної системи векторів із цим набором коефіцієнтів.

Визначення 23

Система векторів
називається лінійно залежною, якщо існує такий набір коефіцієнтів
, з яких хоча б не дорівнює нулю, що лінійна комбінація даної системи векторів з цим набором коефіцієнтів дорівнює нульовому вектору:

Нехай
тоді

Визначення 24 (через уявлення одного вектора системи у вигляді лінійної комбінації інших)

Система векторів
називається лінійно залежною, якщо хоча б один із векторів цієї системи можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів цієї системи.

Твердження 3

Визначення 23 та 24 еквівалентні.

Визначення 25(через нульову лінійну комбінацію)

Система векторів
називається лінійно незалежною, якщо нульова лінійна комбінація цієї системи можлива лише за всіх
рівних нулю.

Визначення 26(через неможливість уявлення одного вектора системи у вигляді лінійної комбінації інших)

Система векторів
називається лінійно незалежною, якщо не один із векторів цієї системи не можна уявити у вигляді лінійної комбінації інших векторів цієї системи.

Властивості лінійно залежної та незалежної систем векторів

Теорема 2 (нульовий вектор у системі векторів)

Якщо системі векторів є нульовий вектор, то система лінійно залежна.

 Нехай
тоді.

Отримаємо
, отже, за визначенням лінійно залежної системи векторів через нульову лінійну комбінацію (12) система лінійно залежна. 

Теорема 3 (Залежна підсистема в системі векторів)

Якщо системі векторів є лінійно залежна підсистема, те й система лінійно залежна.

 Нехай
- лінійно залежна підсистема
, серед яких хоча б одне не дорівнює нулю:

Отже, за визначенням 23 система лінійно залежна. 

Теорема 4

Будь-яка підсистема лінійно-незалежної системи лінійно незалежна.

 Від неприємного. Нехай система лінійно незалежна і в ній є лінійно залежна підсистема. Але тоді за теоремою 3 вся система буде також лінійно залежною. Протиріччя. Отже, підсистема лінійно незалежної системи може бути лінійно залежною. 

Геометричний зміст лінійної залежності та незалежності системи векторів

Теорема 5

Два вектори і лінійно залежні тоді і лише тоді, коли
.

 Необхідність.

і - лінійно залежні
, що виконується умова
. Тоді
, тобто.
.

Достатність.

Лінійно залежні. 

Наслідок 5.1

Нульовий вектор колінеарен будь-якому вектору

Наслідок 5.2

Для того щоб два вектори були лінійно незалежні, необхідно і достатньо, щоб був не колінеарен .

Теорема 6

Для того, щоб система з трьох векторів була лінійно залежна, необхідно і достатньо, щоб ці вектори були компланарними. .

 Необхідність.

- лінійно залежні, отже, один вектор можна подати у вигляді лінійної комбінації двох інших.

, (13)

де
і
. За правилом паралелограма є діагональ паралелограма зі сторонами
, але паралелограм – плоска фігура
компланарні
- теж компланарні.

Достатність.

- Компланарні. Прикладемо три вектори до точки:

C

B`

– лінійно залежні 

Наслідок 6.1

Нульовий вектор компланарен будь-якої пари векторів.

Наслідок 6.2

Для того, щоб вектори
були лінійно незалежні і необхідно, щоб вони були не компланарні.

Наслідок 6.3

Будь-який вектор площини можна подати у вигляді лінійної комбінації будь-яких двох неколлінеарних векторів цієї ж площини.

Теорема 7

Будь-які чотири вектори у просторі лінійно залежні. .

 Розглянемо 4 випадки:

Проведемо площину через вектори, потім площину через вектори та площину через вектори. Потім проведемо площини, що проходять через точку D, паралельні парам векторів; ; відповідно. По лініях перетину площин будуємо паралелепіпед OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Розглянемо OB 1 D 1 C 1 – паралелограм за побудовою за правилом паралелограма
.

Розглянемо OADD 1 – паралелограм (з властивості паралелепіпеда)
тоді

EMBED Equation.3.

За теоремою 1
такі, що . Тоді
, та за визначенням 24 система векторів лінійно залежна. 

Наслідок 7.1

Сумою трьох некомпланарних векторів у просторі є вектор, що збігається з діагоналлю паралелепіпеда, побудованого на цих трьох векторах, прикладених до загального початку, причому початок вектора суми збігається із загальним початком цих трьох векторів.

Наслідок 7.2

Якщо в просторі взяти 3 некомпланарні вектори, то будь-який вектор цього простору можна розкласти в лінійну комбінацію даних трьох векторів.

Поняття лінійної залежності та незалежності системи векторів є дуже важливими щодо алгебри векторів, оскільки на них базуються поняття розмірності та базису простору. У цій статті ми дамо визначення, розглянемо властивості лінійної залежності та незалежності, отримаємо алгоритм дослідження системи векторів на лінійну залежність та детально розберемо рішення прикладів.

Навігація на сторінці.

Визначення лінійної залежності та лінійної незалежності системи векторів.

Розглянемо набір з p n-вимірних векторів, позначимо їх наступним чином. Складемо лінійну комбінацію цих векторів та довільних чисел (дійсних чи комплексних): . Відштовхуючись від визначення операцій над n-вимірними векторами, а також властивостей операцій складання векторів і множення вектора на число, можна стверджувати, що записана лінійна комбінація являє собою деякий n-вимірний вектор , тобто .

Так ми підійшли до визначення лінійної залежності системи векторів.

Визначення.

Якщо лінійна комбінація може бути нульовим вектором тоді, коли серед чисел є хоча б одне, відмінне від нуля, то система векторів називається лінійно залежною.

Визначення.

Якщо лінійна комбінація є нульовим вектором тільки тоді, коли всі числа рівні нулю, то система векторів називається лінійно незалежною.

Властивості лінійної залежності та незалежності.

На підставі даних визначень, сформулюємо та доведемо властивості лінійної залежності та лінійної незалежності системи векторів.

Якщо до лінійно залежної системи векторів додати кілька векторів, отримана система буде лінійно залежною.

Доведення.

Оскільки система векторів лінійно залежить, то рівність можлива за наявності хоча б одного ненульового числа з чисел . Нехай.

Додамо до вихідної системи векторів ще s векторів , у своїй отримаємо систему . Так як і , то лінійна комбінація векторів цієї системи виду

являє собою нульовий вектор, а . Отже, одержана система векторів є лінійно залежною.

Якщо з лінійно незалежної системи векторів виключити кілька векторів, отримана система буде лінійно незалежною.

Доведення.

Припустимо, отримана система лінійно залежна. Додавши до системи векторів всі відкинуті вектори, ми отримаємо вихідну систему векторів. За умовою – вона лінійно незалежна, а в силу попередньої властивості лінійної залежності вона має бути лінійно залежною. Ми дійшли протиріччя, отже, наше припущення неправильне.

Якщо системі векторів є хоча б один нульовий вектор, то така система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай вектор у цій системі векторів є нульовим. Припустимо, вихідна система векторів лінійно незалежна. Тоді векторна рівність можлива лише тоді, коли . Однак, якщо взяти будь-яке , відмінне від нуля, то рівність все одно буде справедливо, оскільки . Отже, наше припущення є невірним, і вихідна система векторів лінійно залежить.

Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один із її векторів лінійно виражається через інші. Якщо система векторів лінійно незалежна, то жоден із векторів не виражається через інші.

Доведення.

Спочатку доведемо перше твердження.

Нехай система векторів лінійно залежна, тоді існує хоча б одне відмінне від нуля число і при цьому правильна рівність. Цю рівність можна розв'язати щодо , оскільки при цьому маємо

Отже, вектор лінійно виражається через інші вектори системи , що потрібно було довести.

Тепер доведемо друге твердження.

Оскільки система векторів лінійно незалежна, то рівність можлива лише за .

Припустимо, що вектор системи виражається лінійно через інші. Нехай цим вектором є тоді. Цю рівність можна переписати як , у його лівій частині знаходиться лінійна комбінація векторів системи, причому коефіцієнт перед вектором відмінний від нуля, що вказує на лінійну залежність вихідної системи векторів. Так ми дійшли протиріччя, отже, властивість доведено.

З двох останніх властивостей випливає важливе твердження:
якщо система векторів містить вектори і , де - довільне число, вона лінійно залежна.

Вивчення системи векторів на лінійну залежність.

Поставимо завдання: нам потрібно встановити лінійну залежність або лінійну незалежність системи векторів.

Логічне питання: «як її вирішувати?»

Щось корисне з практичної точки зору можна винести з розглянутих вище визначень та властивостей лінійної залежності та незалежності системи векторів. Ці визначення та властивості дозволяють нам встановити лінійну залежність системи векторів у таких випадках:

Як же бути в інших випадках, яких більшість?

Розберемося із цим.

Нагадаємо формулювання теореми про ранг матриці, яке ми наводили в статті .

Теорема.

Нехай r - ранг матриці А порядку p на n, . Нехай М - базовий мінор матриці А . Усі рядки (всі стовпці) матриці А , які беруть участь у освіті базисного мінору М , лінійно виражаються через рядки (стовпці) матриці, які породжують базисний мінор М .

А тепер пояснимо зв'язок теореми про ранг матриці з дослідженням системи векторів на лінійну залежність.

Складемо матрицю A, рядками якої будуть вектори досліджуваної системи:

Що означатиме лінійна незалежністьсистеми векторів?

З четвертої якості лінійної незалежності системи векторів знаємо, що жоден із векторів системи не виражається через інші. Іншими словами, жодний рядок матриці A не буде лінійно виражатися через інші рядки, отже, лінійна незалежність системи векторів буде рівнозначною умовою Rank(A)=p.

Що ж означатиме лінійна залежність системи векторів?

Все дуже просто: хоча б один рядок матриці A лінійно виражатиметься через інші, отже, лінійна залежність системи векторів буде рівнозначною умовою Rank(A)

.

p align="justify"> Отже, завдання дослідження системи векторів на лінійну залежність зводиться до завдання знаходження рангу матриці, складеної з векторів цієї системи.

Слід зазначити, що з p>n система векторів буде лінійно залежною.

Зауваження: при складанні матриці А вектори системи можна брати не як рядки, а як стовпці.

Алгоритм дослідження системи векторів на лінійну залежність.

Розберемо алгоритм на прикладах.

Приклад дослідження системи векторів на лінійну залежність.

приклад.

Дана система векторів. Досліджуйте її на лінійну залежність.

Рішення.

Так як вектор з нульовою, то вихідна система векторів лінійно залежить від третього властивості.

Відповідь:

Система векторів лінійно залежить.

приклад.

Вивчіть систему векторів на лінійну залежність.

Рішення.

Неважко бачити, що координати вектора c дорівнюють відповідним координатам вектора, помноженим на 3, тобто . Тому вихідна система векторів лінійно залежна.